一导体棒ab在均匀磁场中沿金属导轨向右作匀加速运动

1第九章电磁感应§9-1电磁感应定律§9-2动生电动势感生电动势§9-3电子感应涡电流§9-4自感与互感§9-5磁场能量磁悬浮列车首页上页下页退出2前面所争论的都是不随时间变化的稳恒场我们现将争论随时间变化的磁场，电场，以进一步提醒电与磁的联系。3§9-1电磁感应定律一、法拉第电磁感应定律1、电磁感应现象：回路某一局部相对磁场运动或回路发生形变使回路中磁通量变化而产生电流回路静止而磁场变化使回路中磁通量变化而产生电流两种状况：42、法拉第电磁感应定律(１〕感应电动势的概念①从全电路欧姆定律动身——电路中有电流就必定有电动势，故感应电流应源于感应电动势。②从电磁感应本身来说：电磁感应直接鼓励的是感应电动势。如何定量计算感应电动势的大小？5

不论何种原因使通过回路面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势的大小与磁通量对时间的变化率成正比。即(２〕法拉第电磁感应定律③假设为N匝线圈，则式中

=N称作磁通匝链数，简称磁链。①在SI制中K=1②式中的负号是楞次定律的数学表示(请记住)6(3〕磁通计那么t1

～t2

时间内通过导线上任一截面的感应电量大小为式

1,

2

中是t1

,t2

时刻回路中的磁通。＊：假设能测出导线中的感应电量，且回路中的电阻为时，那么由上面公式，即可算出回路所围面积内的磁通的变化量——磁通计就是依据这个原理设计的。假设闭合回路为纯电阻R时，则回路中的感应电流为

上式说明，在一段时间内，通过导线截面的电量与这段时间内导线所围磁通的增量成正比。7二、楞次定律*：留意其“补偿”的是磁通的变化，而不是磁通本身。１、定律内容：闭合回路中产生的感应电流的方向，总是使得这感应电流在回路中所产生的磁通去补偿〔或反抗〕引起感应电流的磁通的变化。82、感应电流方向的推断3、楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象上的具体表达。确定外磁场方向→分析磁通量的增减△m→运用“反抗磁通量的变化”推断感应电流磁场的方向→运用右手缧旋法则确定感应电流方向〔即感应电动势方向〕。NSNS9§9-2动生电动势感生电动势

感应电动势的非静电力实质？争论说明对应于磁通变化的两种方式，其产生电动势的非静电力的实质是不同的。一是磁场不变,回路的一局部相对磁场运动或回路面积发生变化致使回路中磁通量变化而产生的感应电动势，谓之动生电动势。另一种状况是回路面积不变,因磁场变化使回路中磁通量变化而产生的感应电动势,谓之感生电动势。10一、动生电动势1、动生电动势的经典电子理论解释

图中导线ab以v向右切割磁力线，导体中自由电子也以v速向右运动。

则由 知电子将向下堆积，而a端将因缺少电子而带正电，vabfm＋＋11

当fe与fm平衡时,即有eE=evB,于是ab两端形成稳定的电势差电子又将受到一个电场力向上，

于是在导体内就形成一个由a

b的附加电场E/，

kvab＋＋fmE/ƒe假设把这段导体看成电源，那么电源中的非静电力就是洛仑兹力，其电动势的大小，即为12

由电源电动势的定义在任意的稳恒磁场中，一个任意外形的导线线圈L(闭合的或或不闭合的)在运动或发生形变时，各个线元的速度v的大小和方向都可能是不同的。这时，在整个线圈L中所产生的动生电动势为2、动生电动势计算式的一般表示式式中是单位正电荷在磁场力作用下的位移。(请记住)13产生动生电动势的非静电力是洛仑兹力，说明洛仑兹力在输运电荷的过程中作了功，可在§9-4中已交待因洛仑兹力总是垂直于电荷的运动速度而不做功，这是一对冲突。

在运动导体中载流子具有随导体本身的运动速度v，而受洛仑兹力fmv=qv

B

载流子相对于导体的定向运动速度u，所受洛仑兹力

fmu=

qu

B

总洛仑兹力

Ｆ＝qv

B＋qu

B３、产生动生电动势过程中的能量转换

14

载流子的合速度总的洛仑兹力的功率为利用混合积公式15可知所以总的洛仑兹力的功率为零，即总的洛仑兹力仍旧不做功。但为维持导体棒以速度v作匀速运动，必需施加外力以抑制洛仑兹力的一个分力fmu=qu×B。由前述可知即外力抑制洛仑兹力的一个分力fmu=qu×B所做的功率fmu·v刚好等于通过洛仑兹力的另一个分力fmv对电子的定向运动所做的正功的功率fmv·u。16

即，总的洛仑兹力不对电子作功，而只是传递能量。在这里，洛仑兹力起到了能量转化的传递作用。17则oa棒所产生的总动生电动势为解：在oa棒上离o点l处取微元dl动生电动势的方向：由v×B知，其方向由a指向o。例9－1长为L的金属棒oa在与B的均匀磁场中以匀角速绕o点转动，求棒中的动生电动势的大小和方向。v与B垂直，且18

ab上的感应电动势由vB可推断,其方向从b到a，即a点电势高。例9－2一金属棒ab与长直电流I且共面，其相对关系如下图，ab以匀速v平行于长直导线向上运动，求金属棒中的动生电动的大小和方向。解:在ab上取dl,与长直导线的距离为l,该点的磁感强度为⊕Ｉ19例9－3一棒ab，绕OO／轴转动，ao长l2,bo长l1，匀强磁场B竖直向上，求动生电动势

abＢ则a端电势高,则a端电势低。20

(2)等效切割长度为ON〔ON为帮助线〕(OM=NM=a)。例10－４折线状导线oMN在匀强磁场B中以角速度

绕o点转动，如图所示，求动生电动势解：同上理

No060M

21例9－5四根辐条的金属轮子在均匀磁场B中转动，转轴与B平行，轮子和辐条都是导体，辐条长为R，轮子转速为n，则轮子中心a与轮边缘b之间的感应电动势为---------------------，电势最高点是在-----------处。解：由于轮子绕轴转动时，轮子边缘没有切割磁力线，故不产生感应电动势。

所以轮子中心a与轮边缘b之间的感应电动势即为一根辐条两端a、b之间的感应电动势：由于故a端的电势高于b端的电势。即a端的电势最高。

BRab22４、导体线圈在磁场中旋转时感应电动势的计算

如图，在一均匀磁场中，矩形线圈面积为S,共为N匝，可绕00/轴旋转，设t=0时线圈平面的法线方向n0与B的夹角为=0，假设线圈角速度为，则t时刻穿过该线圈的磁通为由法拉第电磁感应定律电动势的实质照旧是动生电动势,上述为沟通发电机的工作原理abcdno

00/

B23例9－6由导线弯成的宽为a高为b的矩形线圈，以不变速率v平行于其宽度方向从无磁场空间垂直于边界进入一宽为3a的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直〔如图〕，然后又从磁场中出来，连续在无磁场空间运动。设线圈右边刚进入磁场时为t=0时刻，试在附图中画出感应电流I与时间t的函数关系曲线。线圈的电阻为R，取线圈刚进入磁场时感应电流的方向为正向。〔无视线圈自感〕24解：从到，矩形线圈的边以切割磁力线，电动势为逆时针方向、大小为

电流按题意，此时电流为正〔逆时针〕；

I

-(Bvb)/R(Bvb)/Rt3t4t0从到，矩形线圈内磁通量不变，；

从到，矩形线圈的另一条边切割磁力线，电动势为顺时针方向、大小电流按题目规定I<

025二、感生电动势的概念

1、感生电场〔涡旋电场〕的提出假设磁通变化的缘由是回路所在处磁场本身的变化所引起，则这时回路中的电动势是感生电动势。感应电流的方向：顺时针感应电流的方向：逆时针26

因此，导体内自由电荷作定向运动的非静电力只能是变化的磁场引起的。

这种非静电力能对静止电荷有作用力，因此，其本质是电场力。那么导体中的自由电荷是在什么力的驱动下运动呢？※不是电场力：※不是洛仑兹力：——由于四周没有静电场源。——麦克斯韦在进展了上述分析之后，提出了涡旋电场的概念。

——洛仑兹力要求：运动电荷进入磁场才受洛仑兹力，而现在是先有磁场变化而后才有自由电荷作定向运动。27１８６１年，麦克斯韦提出了感生电场〔涡旋电场〕的概念，麦克斯韦认为：

涡旋电场是一种客观存在的物质，它对电荷有作用力。２、涡旋电场的性质〔1〕只要有变化的磁场，就有涡旋电场。涡旋电场不是由电荷激发的。变化的磁场在其四周空间激发出一种新的涡旋状电场，不管其四周空间有无导体，也不管四周空间有否介质还是真空；并称其为感生电场〔涡旋电场)。 相应引入涡旋电场场强28(２)涡旋电场的电力线是围绕磁感应线的闭合曲线。（3）Ｅr的通量与B类似，涡旋电场是无源场。因此涡旋电场的环流不为零,即３、Ｅr的环流与感生电动势由法拉第电磁感应定律又有29由于回路不动，所以可见，只要，涡旋电场的环流就不为零。(请记住)30〔1〕、计算磁通的面积的周界就是式中的积分回路。（2）、公式中的负号是楞次定律的数学表示式。这时Er的回绕方向与组成左螺旋。即用左手四指表示Er的回绕方向，则大姆指表示的方向。注意是Er是与，而不是与B组成左螺旋。

ErBBErrE31４、涡旋电场与静电场的比较①

共同处：这两种电场都对电荷有作用。激发力线通量②

不同处：环流32———运用法拉第电磁感应定律即即先求线圈所在处的磁通，再求磁通的变化率。

*感生电动势计算方法之一33例9－7如下图，长直电流中的电流I＝5t2+6t求线圈中的感生电动势。方向：逆时针34

*感生电动势计算方法之二——运用Ｅr的环流定理即35解：因螺旋管内涡旋电场的分布具有轴对称性，即距轴心等距的各点的Ek相等，故以r为半径作一与R同心圆形回路，积分回路的缭绕方向与Er的缭绕方向全都，则有RErrr假设回路半径r＜R例9-8设螺旋管内的场为均匀场，其半径为R，管内磁场对时间的变化率为，试求离开轴线r处的Er。36若

r＝R假设r＞R因螺旋管外Ｂ＝０，故对任一回路均有RErrr37例9-9一长直螺线管半径为R，单位长度上的线圈匝数为n，电流以dI/dt=c匀速率增加，磁感应强度方向如图示，一导线ab放在螺线管外与螺线管截面在同一平面，oa=ob,∠aob=

0,计算ab中的感生电动势，并确定哪端电势高？解：螺线管外感生电场的分布具有轴对称性，取半径为r〔r>R〕的圆形环路与ab交于P点，Er沿P点的逆时针切线方向。则Er38Er

h0/d

求感生电动势：设0点到ab的距离为h，并以垂足0/点为原点，则39εab沿ab方向。

如图，

P点到0/点的距离为l，则Er

h0/d

40例9－10dB／dt=c，假设导体线框abcd的一局部置于磁场内，如下图，其中ab弧,cd弧是=／3的圆心角所对应的圆弧，bc,ad在直径上，ad/=dd/=oa=R／2,c/、d/是线框与圆柱面的交点。求：〔1〕导线各边ab,bc,cd,da上的感生电动势；〔2〕导线框总的感生电势。解〔１〕对于ba弧，它是半径为R/2的圆弧，且弧上各点Er值相等，由上例可知，EbrEar41对于cd

弧，它是半径为3R/2的圆弧，该处的Er大小为42〔２〕回路总的电动势为各段导线上的电动势之和，43例9－11在圆柱形空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场，如下图，B的大小以速率dB／dt变化，有一长度为l0的金属棒先后放在两个不同的位置1〔ab〕和2〔a/b/〕，则金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系为

答：

由例10－8可知，在圆柱内离轴心o点越远，Er越大

故知

应选（B）。

o

a

'a

'b

b44例10－12在圆柱形空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场，如下图，B的大小以速率dB／dt变化，在磁场中有A、B两点，其间可放直导线AB和弯曲的导线AB弧，则〔A〕电动势只在直导线AB中产生；〔B〕电动势只在弯曲弧AB中产生；〔C〕电动势在直导线和弯曲弧中都产生，且两者大小相等；〔D〕直导线中的电动势小于弯曲弧中的电动势。AB答：选〔D〕

由例10－8可知，在圆柱内离轴心o点越远，Er越大。

此处是非静电场，故A、B两端的电势差与积分路径有关。45●BCOD

解：①磁场均匀且稳恒不变，则任一时刻穿过三角形OMN的磁通为vMNxy例9－13如图，有一弯成

角的金属架COD放在磁场中，磁感应强度B的方向垂直于金属架COD所在平面，一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度v向右滑动，v与MN垂直，设t=0时,x=0,求下列两情形框架内的感应电动势。(1)磁场分布均匀且不随时间变化。(2)非均匀的交变磁场。46dxxy②对于非均匀场，设三角形中回路绕行方向为ONMO，(或截面法线方向纸面对外)，取面元如图，则任一时刻穿过面元的磁通为将

代入●BCOD

vMN47若

>0则方向为ONMO；若

<0则

方向为OMNO。48§9-3电子感应涡电流一、电子感应1、构造：

圆形电磁铁，环型真空室。强大的沟通电通过电磁铁线圈产生交变磁场和涡旋电场。2、电子加速原理：

交变磁场作用于电子的洛仑兹力作为电子圆周运动向心力；涡旋电场供给与电子速度方向一样的电场力使电子被加速。电子

vvf

电子束靶电子枪

环形真空室Bv49o

E感

TtB

电子得到加速的时间最长只是沟通电流周期T的四分之一。电子

vvf

电子束靶电子枪

环形真空室Bv从上图可以看出，只有时间内才使洛仑兹力指向圆心且与电子速度反向能给电子加速。所以，在结束时应把电子引向靶。另外，为使电子的轨道半径保持稳定，应当使轨道处的磁感应强度等于圆周内磁感应强度平均值的二分之一。50小型电子感应可把电子加速到0.1～1MeV,用来产生x射线。大型的可使电子能量达数百MeV，即可把电子加速到0.99998c，百分之几秒时间内电子在内的行程达几千米。用于科学争论。51二、涡电流金属导体块就会在导体块内形成自成回路的电流，这种电流就叫涡电流。１、涡电流dB／dt＞052◎可用作一些特殊要求的热源，◎利用涡流产生所谓临界电磁阻尼，在电工仪表中被广泛使用。２、涡电流利用在冶金工业中，熔化某些活泼的稀有金属时，在高温下简洁氧化，将其放在真空环境中的坩埚中，坩埚外围着通有沟通电的线圈，对金属加热，防止氧化。抽真空高频感应炉；优点是加热速度快，温度均匀，材料不受污染且易于掌握。53在制造电子管、显像管或激光管时，在做好后要抽气封口，但管子里金属电极上吸附的气体不易很快放出，必需加热到高温才能放出而被抽走,利用涡电流加热的方法，一边加热，一边抽气，然后封口。◎电子元件中的高纯真空；抽真空接高频发生器显像管54例如在各种电机，变压器中。就必需尽量削减铁芯中的涡流，以免过热而烧毁电气设备。涡电流的弊端是消耗能量，发散热量。３、涡电流的防止因此在制作变压器铁心时，用多片硅钢片叠合而成，使导体横截面减小，涡电流也较小。55三、趋肤效应在柱状导体中通以沟通电时，在导体中产生的涡流使沟通电在导体内的横截面中不再是均匀的，而是越靠近外表电流密度越大，这种交变电流集中于导体外表的效应，叫做趋肤效应。设图中I此时是增加的，因而B增加，于是涡电流的磁通阻碍Bi的增加。由图可知，此时是中心局部I涡与Ｉ反向，而外表局部I涡与I同向，这说明此时Ｉ不是均匀分布，而是趋肤〔即趋于导体的外表〕。II56§9-4自感与互感

对于感应电动势因磁通变化方式不同而致产生感应电动势的非静电力不同,分为磁通的变化方式还有自动和他动之分，与之对应有1、自感现象一、自感

通电线圈由于自身电流的变化而引起本线圈所围面积里磁通的变化，并在回路中激起感应电动势的现象，叫自感现象。动生――洛仑兹力；感生――涡旋电场自感电动势；互感电动势

572、自感系数

则通过N匝线圈的磁通为式中

称之为磁链

一个密绕的N匝线圈，每一匝可近似看成一条闭合曲线,线圈中电流激发的穿过每匝的磁通近似相等，叫自感磁通，记作Φ自

IB58即

式中比例系数L叫做自感系数，且实验表明L与对于铁磁质，除了与上述缘由有关外，L还与回路中的电流有关.就是说，L根本上反映的是自感线圈自身性质的物理量。(1)L的引入

设回路中电流为I，如果回路的几何形状及大小不变，且回路中又无铁磁物质，则实验表明穿过该回路的磁通59〔２)回路中的自感系数等于回路中的电流为一个单位时，通过这个回路所围面积的磁通(磁通链)〔３)在(SI)制中，L的单位亨利(H)，1亨利=1韦伯/1安培603、自感电动势的计算自感电动势为当回路的几何外形和大小不变，匝数不变，回路中无铁磁质而其他磁介质均匀时，L为常数，则有１)式中负号是楞次定律的数学表示式——自感电动势的方向总是阻碍回路电流的变化，即３)上式还说明L∝L，自感系数表征了回路中的“电磁惯性”。２)上式说明回路中自感电动势的大小与回路中电流的变化率成正比。614、自感的利弊但过大的自感电动势也是造成回路短路的缘由。*计算自感系数的步骤①先求自感线圈中的B值；

自感现象在电工、电子技术中有广泛的应用。如日光灯镇流器,自感与电容组成的谐振电路和滤波器等。62解：由于是均匀磁场例9－14计算长直螺线管〔长l、截面面积S、单位匝数n、布满磁导率的磁介质〕的自感系数。63例9-15求一长为l的双长传输线的自感系数.两传输线截面半径都为r,两线中心距离为d〔l＞＞d〕。解：通以电流

I建立坐标OXYZX轴上磁场取面元ds

dIIXYzO

●x64单位长度的自感65二、互感应

1、互感现象

在相邻的线圈中，由于邻近线圈中电流发生变化而引起电磁感应的现象――谓之互感。I12、互感系数在两线圈的外形、匝数、相互位置保持不变时，依据毕奥——萨伐尔定律，由电流I1产生的空间各点磁感应强度B1均与I1成正比。

故B1穿过另一线圈(2)的磁通链Ψ21也与电流I1成正比，即Ψ21=M21I1

66Ψ12=M12I2

试验与理论均证明故用M表示，称为两线圈的互感系数，简称互感。１)互感系数的单位与自感系数一样。互感系数不易计算,一般常用试验测定。同理２)互感系数与673、互感电动势同理，电流I2的变化在线圈(1)中产生的互感电动势１)互感电动势的大小与互感系数成正比，与邻近线圈中电流的变化率正比。２)式中负号表示，互感电动势的方向总是阻碍邻近线圈中电流的变化。电流I1的变化在线圈(2)中产生的互感电动势684、互感的利弊L1L2磁棒放大器ML1L2电路符号：互感现象被广泛应用于无线电技术和电磁测量中。通过互感线圈能够使能量或信号由一个线圈传递到另一个线圈。各种电源变压器、中周变压器、输入输出变压器及电压互感器、电流互感器等都是利用互感原理制成的。但是，电路之间的互感也会引起相互干扰，必需承受磁屏蔽方法来减小这种干扰。69例10-16两线圈的自感分别为L1和L2它们之间的互感为M。〔1〕将两线圈顺串联，如下图，求a和d之间自感；〔2〕将两线圈反串联，如下图，求a，c之间的自感。解：①顺串联，即联接b、c，此时线圈中磁通相互加强，

11

22

即通过线圈1的磁通有，自感磁通互感磁通

12

21通过线圈2的磁通有自感磁通互感磁通

于是通过整个顺接线圈的磁通为70则总的等效自感系数②反串联，即连接b、d，线圈中磁通相互减弱，同样I1=I2=I

11

12

22

21则反串接时等效自感系数所以71

可见，两个有互感耦合的线圈串联后等效一个自感线圈，但其等效自感系数不等于原来两线圈的自感系数之和，其既与连接方式有关，又要考虑互感的影响。72解：设原螺线管中的电流为I1，它在线圈中段产生的磁感应强度为通过副线圈每匝的磁通量为例9－１7一长为l的直螺线管，截面积为S，共有Ｎ１匝，在其中段密绕一个匝数为Ｎ２的粗螺线管，试计算这两个线圈的互感系数。N1

SN273假设副线圈与原线圈一样长,即在无漏磁时,则故两线圈的互感糸数为在一般情况下k称为耦合系数，k的取值为

0≤k≤1。74

问题：一长为l、自感系数为L的长直螺线管，分为等长的两段，则每段线圈的自感系数为多少？解：设每段线圈的自感系数为L1、L2，且L/＝L1＝L2,则由例10－16〔1〕，有设无磁漏，又由例10－17可知，75例9-18一矩形线圈长为a，宽为b，由100匝外表绝缘的导线组成，放在一根很长的导线旁边并与之共面。求图中〔a〕、〔b〕两种状况下线圈与长直导线之间的互感。解如〔a〕图,长直导线在矩形线圈x处的磁感应强度为通过线圈的磁通链数为图〔b〕中，Ｍ=0，消退互感方法之一。B⊕⊙76例9－19如图，一导体棒ab在均匀磁场中沿金属导轨向右作匀加速运动，磁场方向垂直导轨所在平面。假设导轨电阻无视不计，并设铁芯磁导率为常数，则到达稳定后在电容器的M极上〔A〕带有肯定量的正电荷；〔B〕带有肯定量的负电荷；〔C〕带有越来越多的正电荷；〔D〕带有越来越多的负电荷。〔〕铁芯1277答：图中ab向右作匀加速运动，设其加速度为a，初始时刻的速度为0，则任意时刻，ab棒中产生的动生电动势为：负号说明电动势的方向为从b到a。设线圈2中的电阻为R，则流过线圈2的电流：则线圈1中感应出的互感电动势为：铁芯中磁感应线为图示方向，即逆时针方向。铁芯1278由于线圈外形、相对位置不变，并且铁芯磁导率为常数，故M不变，即ε为一常数。故最终稳定后，M极板上的电荷Q=Cε为肯定值。综上所述，最终M极板上将带有肯定量的负