第六章短期聚合风险模型课件

[知识要点]1、短期聚合风险模型对于

,其中N表示保险期内所有承保保单发生索赔的次数随机变量，Xi表示第I次发生理赔时的理赔额随机变量，S为保险期内的理赔总额随机变量。Xi

对不同的i是独立同分布的，N与各Xi是独立的。称此模型为短期聚合风险模型。2、理赔次数和理赔额的分布

（1）

泊松分布的定义、分布列、期望与方差、矩母函数：

（2）

负二项分布的定义、分布列、期望与方差、矩母函数。

负二项分布可以看作是泊松分布的一种推广，假设泊松参数也是一个随机变量，且有密度函数f(x)，由全概率公式有：

牛牛文库文档分享1而：特别地，当λ的密度为，x＞0时，N服从参数r=a,p=β/1+β的负二项分布。

（3）S的分布问题

假设S的分布函数和密度函数分别为F（x）和f(x),则：

牛牛文库文档分享2

除用卷积方法之外，还可以用矩母函数法及逆转公式来求S的分布，由矩母函数的定义有：其中X是与各Xi

同分布的随机变量。

也就是说，若知道Xi和N的矩母函数，就可计算出S的矩母函数，

牛牛文库文档分享3而4、复合泊松分布在聚合风险 中，当N服从泊松分布时，S的分布就称为复合泊松分布。这样：E（S）=E（X）•E（N）=λ

•E（X）其中λ为泊松参数。

牛牛文库文档分享4

关于复合泊松分布有如下的几个定理和规律：

（1）如果S1，S2，…，Sm是相互独立的随机变量，且Si服从参数为λi

的复合泊松分布，理赔额的分布为Pi(x),i=1,2,…,m,则服从参数为 的复合泊松分布，且个别理赔额分布为：（2）对于一个复合泊松分布随机，可以分解为：个别理赔额的分布列为：Xx1x2…xmPp1p2…pm

牛牛文库文档分享5

则N1，N2，…，Nm相互独立且Ni服从参数为λ

i=λ

pi的泊松分布，其中λ为S的泊松参数。对于此定理，若xi仅取正整数值，则理赔总额S的密度函数为：

合风险模型

量为X，保对于此定理，还有更普遍的推广，也就是说在聚中，若理赔额只取正整数，理赔次数N的分布满足：(n=1,2,…)（3）在复合泊松分布中，若保险标的损失随机变险合同有一个免赔额d，即

，X>d, X≤

d

是其真正的理赔额随机变量，泊松参数为λ，则带免赔的理赔总额S仍是复合泊松分布，泊松参数变为λ

•P（x>d),个别理赔额的分布密度函数为：

牛牛文库文档分享65、聚合理赔量的近似模型（1）正态近似

定理 如果S是复合泊松分布，泊松参数为λ

，个别理赔额的数学期望μ

与方差σ

2有界，则：

定理 如果S服从复合负二项分布，参数为r,p,个别理赔额随机变量的数学期望与方差分别为有界的μ

与σ2

，则：

牛牛文库文档分享7（2）平移伽马近似定义

x）为相应

如果能定出可解决这一其中，g（x）为Γ(α,β)分布的概率密度函数，h（的平移x0个单位的平移伽马分布的概率密度函数。由定义知平移伽马分布有三个参数x0，α,β，这三个参数，这个分布也就已知。求解下面的方程组问题：

牛牛文库文档分享8[重点及难点解析]

牛牛文库文档分享9

本章的重点内容是复合泊松分布，包括当个别理赔额是正整数时的复合泊松分布，另外，理赔总额S分布的正态近似及平移伽马近似也是本章的重点内容。当然，对重点内容可以进行引申，譬如当索赔次数分布为负二项分布、几何分布、超几何分布、二项分布等；更简单的还有二点分布，这时聚合风险模型与个别风险模型有相通之处。当然，个别索赔额的分布形式更加多样，特别是当个别索赔额随机变量的取值仅为正整数值时，是本章的难点。下面看几个例子，以便让读者有一些感性认识。

例1

一组一年期的定期寿险组合，每份保单的保险金额都相同为B个单位元，索赔次数N服从泊松分布，参数为λ

，以下陈述中哪一项是不正确的？A、E(S)=E(N)•B=λ

BB、Var(S)=Var(N)•B2C、S的可能取值为0，B，2B，…D、E(X

)=B,Var(X)=B2E、P(S≤Bx)=P(N≤x)解由聚合风险模型有：E

(S

)=E

(N

)E（X）=λ•B所以A正确。Var

(

S

)=

E2（X）Var(

N

)+E（N）•Var

(X)=

B2

•λ所以B正确。

由于每次理赔额均为常数B，所以在保险期内索赔总额仅取B的倍数，所以C正确。依题意有：P（X=B）=1

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所以

E（X）=BM，Var(X)=0所以D错误。因为S=BN所以P（S≤BX）=P（BN≤BX）=P（N≤X）所以E正确。所以选D。

例2

保险人承保了保险金额为1万元的一年定期意外险保险单

1000份，假设投保人出险的概率是独立的，每个被保险人索赔的概率为0.0002，求索赔总额超过12000元的概率。以上两道例题有相似之处，理赔额均为常数，这样索赔总额S的E（S）为：

牛牛文库文档分享11

例3

设Si，i=1，2，…，n

,是一系列相互独立的且具有相同分布的复合负二项分布，负二项分布的参数分别为K和P，个别索赔额的密度函数为ƒ(x),令： ，下面有关S的陈述哪一项是错误的？A、S仍是复合负二项分布B、S的个体索赔额的密度函数仍为ƒ(x)C、复合负二项分布具有可加性

牛牛文库文档分享12所以S的分布仍是复合负二项分布，参数为nk和P，个别索赔额的密度函数仍为ƒ(wxw)，w.n因iuw此k.coAm、牛B牛、文D库正文档确分。享13

但是，上述结果并不意味着复合负二项分布与复合泊松分布具有一样的可加性。如果Si不独立同分布，S的矩母函数为：

也就是说，如果负二项分布参数qi不一样，即使K、MX（t）对每个Si都相同，复合负二项分布也没有可加性，但是P和MX（t）对每个Si都相同，K参数对每个Si具有不同的ki时，复合负二项分布是具有可加性的。因为

牛牛文库文档分享14所以，综合以上分析，此题的答案应选C。例4

保险人提供具有如下情形的三种保险：

对于每一个保险标的，方差和期望的索赔金额是相等的，对于每一类型的保单，保费是按（1+θ

）倍的期望值收取，求θ，使总索赔额超过总保费的概率为0.05。A.

0.09 B.

0.1 C.

0.11

D.0.12

E.0.13解 期望的总索赔额是：种类保单数索赔概率期望索赔金额15000.055210000.101035000.155

牛牛文库文档分享15总索赔额的方差是：

牛牛文库文档分享16

这道题可用个别风险模型解决，两种方法难度相当；由于保单数量较多，正态分布近似总是不错的选择。例5

具有正整数个别索赔额的复合泊松分布的总索赔额随机数。

0变量的概率密度函数如下：已知索赔总额的数学期望为1.68，求期望的索赔次A.

0.60 B.

0.70 C.

0.80 D.0.90

E.1.

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例6 S是具有下列特征的复合泊松分布；

①

个别索赔额为1，2或3；②

E（S）=56；③Var（S）=126；④

λ

=29。决定索赔额为2时的期望索赔次数是多少？A.10

B.11

C.12

D.13

E.15

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此例和上例也有相似之处，对于复合泊松分布、λ

（泊松参数）、个别索赔的正整数值及对应的概率值，这两个量已知，所

有未知的量即可求出；或知道其余的一些量就可求出另外一些量，但此题也可推广到其他一些情况，譬如索赔次数分布改为负二项分布或二点分布时，λ已知改为负二项分布的参数k与p已知或二项分布的参数n与p已知，再计算本题。此方面的具体题目参见本

章思考题。

牛牛文库文档分享19

由于复合分布的重要性，再看如下的例子：例7

对于泊松参数λ为6的复合泊松分布，个别索赔额的分布为

,另外，还已知索赔总额的一些如下概率值：x124P1/31/31/3S…34567…P…0.01320.02150.0271P(6)0.0410…C.0.039

求P（6）A.0.031D.0.0365B.0.066E.0.0345

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当然此题也可在没有P（3）、P（4）、P（5）、P（7）的值时算出，不过那要算出P（0）、P（1）、P（2）、P（3）P（4）、P（5）的值才能求P（6）的值。当然这种计算读者会感了灵性。

与Xi

独立，)；

到很无聊，如果给出一些特殊的值，此题便立刻具有例8

设复合分布 ，其中Xi相互独立且N问下面选项哪一项是正确的？①如果个别索赔额P(x)=e-x,x＞0,那么Var(S)=E(N2②假设Var(N)=E（N），那么Var(S)=P2•E（N）；③

E(S2)

=

E（N）

E(X2)

+P12

E(N2)A、仅①正确 B、仅②正确 C、仅③正确D、②③正确 E、都不对

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例9

对复合负二项分布，参数r=1，p=1/3，个别索赔额服从参数为λ

的指数分布，已知Ms（1，0）=3，求λ

。A.4.9

B.5.0

C.3.5

D.4.0

E.4.5

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例10

没有再保险时的总索赔分布为复合泊松分布,如果用平移伽马分布来近似,则平移伽马分布的参数为(α

=2.0,

β

=5,x0=40).如果有50％

的比例再保险,也用平移伽马分布来近似,求有再保险时的平移伽马分布的有关参数.A.x0

=

20,α

=

20,β

=

10B.x0

=

40,α

=

40,β

=

20C.x0

=

20,α

=

20,β

=

20D.

x0

=

10,α

=

10,β

=

10E.x0

=

20,α

=

20,β

=

30解 依题在没有再保险时有:

牛牛文库文档分享23

在有50％的比例再保险时,泊松参数λ不会发生改变,个别索赔额会变为原来的1/2,再保后有:

解得:

x0R=20,aR=20,

βR=10

,其中

x0R,aR,βR

为有再保险时的平移伽马分布参数,所以此题答案为A.例11

某保险人承保了一医疗保险,其中包括住院费和其他费用,个别赔付的特征如下:

牛牛文库文档分享24另外,住院费用和其他赔付金额的协方差为100

000.保险人对住院花费全部保险,对其他花费保险了损失的80％,索赔次数服从参数为4的泊