高中数学 第1章 数列 3.1 等比数列 第2课时 等比数列的性质教案 高二数学教案

第2课时等比数列的性质学习目标核心素养1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来．2．理解等比数列的性质及应用．(重点)3．掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点)1.通过等比数列性质的研究，培养逻辑推理的数学素养．2．通过学习等比中项的概念．提升数学运算的素养.1．等比数列的单调性阅读教材P23思考交流以下P24例3以上部分，完成下列问题．对于等比数列{an}，通项公式an＝a1·qn－1＝eq\f(a1,q)·qn.根据指数函数的单调性，可分析当q＞0时的单调性如下表：a1a1＞0a1＜0q的范围0＜q＜1q＝1q＞10＜q＜1q＝1q＞1{an}的单调性递减数列常数列递增数列递增数列常数列递减数列思考：(1)若等比数列{an}中，a1＝eq\r(2)，q＝eq\f(1,2)，则数列{an}的单调性如何？[提示]递减数列．(2)等比数列{an}中，若公比q＜0，则数列{an}的单调性如何？[提示]数列{an}不具有单调性，是摆动数列．2．等比中项阅读教材P25练习2以上最后两段部分，完成下列问题．(1)前提：在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列．(2)结论：G叫作a，b的等比中项．(3)满足关系式：G2＝ab．思考：(1)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？[提示]不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为相反数，两个异号的实数无等比中项．(2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a，b存在等比中项，唯一吗？[提示]不唯一，如2和8的等比中项是4或－4.1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则公比q等于()A．－eq\f(1,2) B．－2C．2 D．eq\f(1,2)D[由a5＝a2q3，得q3＝eq\f(a5,a2)＝eq\f(\f(1,4),2)＝eq\f(1,8)，所以q＝eq\f(1,2)，故选D．]2．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3A．公比为q的等比数列B．公比为q2的等比数列C．公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列B[由于eq\f(anan＋1,an－1an)＝eq\f(an,an－1)×eq\f(an＋1,an)＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，所以{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B．]3．等比数列{an}中，若a1＝2，且{an}是递增数列，则数列{an}的公比q的取值范围是________．(1，＋∞)[因为a1＝2＞0，要使{an}是递增数列，则需公比q＞1.]4．4－2eq\r(3)与4＋2eq\r(3)的等比中项是________．2或－2[由题意知4－2eq\r(3)与4＋2eq\r(3)的等比中项为±eq\r(4－2\r(3)4＋2\r(3))＝±eq\r(16－12)＝±2.]等比中项及应用【例1】(1)设x,2x＋2,3x＋3成等比数列，则x＝_____________.(2)设a，b，c是实数，若a，b，c成等比数列，且eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，则eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)的值为________．(1)－4(2)2[(1)由题意得(2x＋2)2＝x(3x＋3)，x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4，当x＝－1时，2x＋2＝0，不符合题意，舍去，所以x＝－4.(2)由a，b，c成等比数列，eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2＝ac，,\f(2,b)＝\f(1,a)＋\f(1,c)，))即eq\f(4,ac)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,c)))2，故(a－c)2＝0，则a＝c，所以eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)＝1＋1＝2.]应用等比中项解题的两个注意点(1)要证三数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零．(2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即aeq\o\al(2,n)＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程．1．(1)已知1既是a2与b2的等比中项，又是eq\f(1,a)与eq\f(1,b)的等差中项，则eq\f(a＋b,a2＋b2)的值是()A．1或eq\f(1,2) B．1或－eq\f(1,2)C．1或eq\f(1,3) D．1或－eq\f(1,3)(2)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.(1)D(2)4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1[(1)由题意得，a2b2＝(ab)2＝1，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝1，,a＋b＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝－1，,a＋b＝－2.))因此eq\f(a＋b,a2＋b2)的值为1或－eq\f(1,3).(2)由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，所以q＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(6,4)＝eq\f(3,2)，所以an＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1.]等比数列的设法与求解【例2】已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80，则这四个数为________．1，－2,4,10或－eq\f(4,5)，－2，－5，－8[由题意设此四个数分别为eq\f(b,q)，b，bq，a，则b3＝－8，解得b＝－2，q与a可通过解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2bq＝a＋b，,ab2q＝－80))求出，即为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝10，,b＝－2，,q＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－8，,b＝－2，,q＝\f(5,2)，))所以此四个数为1，－2,4,10或－eq\f(4,5)，－2，－5，－8.]灵活设项求解等比数列的技巧(1)三个数成等比数列设为eq\f(a,q)，a，aq.(2)四个符号相同的数成等比数列设为eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3.(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.2．已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－eq\f(3,2)，则这三个数依次为________．－eq\f(2,5)，1，－eq\f(5,2)[设这三个数分别为eq\f(a,q)，a，aq，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝1，,a＋aq＝－\f(3,2)，))解得a＝1，q＝－eq\f(5,2)，所以这三个数依次为－eq\f(2,5)，1，－eq\f(5,2).]等比数列的性质及应用[探究问题]1．在等差数列{an}中，an＝am＋(n－m)d，类比等差数列中通项公式的推广，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？[提示]an＝am·qn－m.2．在等差数列{an}中，由2a2＝a1＋a3,2a3＝a2＋a4，…我们推广得到若2p＝m＋n，则2ap＝am＋an，若{a[提示]若2p＝m＋n，则aeq\o\al(2,p)＝am·an.3．在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，类比这个性质，若{an}是等比数列，有哪个结论成立？[提示]若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.【例3】(1)在等比数列{an}中，an＞0，若a3·a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝________.(2)设{an}为公比q＞1的等比数列，若a2018和a2019是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2030＋a2031＝________.(3)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，则an思路探究：利用等比数列的性质求解．(1)128(2)2·312(3)－(－2)n－1[(1)a3a5＝aeq\o\al(2,4)＝4，又an＞0，所以a4＝2，a1a2a3a4a5a6a7＝(a1·a7)·(a2·＝aeq\o\al(2,4)·aeq\o\al(2,4)·aeq\o\al(2,4)·a4＝aeq\o\al(7,4)＝27＝128.(2)解方程4x2－8x＋3＝0得x1＝eq\f(1,2)，x2＝eq\f(3,2)，因为q＞1，故a2019＝eq\f(3,2)，a2018＝eq\f(1,2)，故q＝3，∴a2030＋a2031＝a2018q12＋a2019·q12＝(a2018＋a2019)q12＝2·312.(3)在等比数列{an}中，由a4a7＝－512得a3a又a3＋a8＝124，解得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4，因为公比q为整数，所以q＝eq\r(5,\f(a8,a3))＝－eq\r(5,\f(128,4))＝－2，故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1.]1．(变条件)将例3(3)中等比数列满足的条件改为“a4＋a7＝2，a5a6＝－8”，求a1＋a10[解]因为{an}是等比数列，所以a5a6＝a4a又a4＋a7＝2，解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，当a4＝4，a7＝－2时，q3＝－eq\f(1,2)，a1＋a10＝eq\f(a4,q3)＋a7q3＝－7，当a4＝－2，a7＝4时，q3＝－2，a1＋a10＝eq\f(a4,q3)＋a7q3＝－7.故a1＋a10＝－7.2．(变结论)例3(3)题的条件不变，求log4|a2|＋log4|a3|＋log4|a8|＋log4|a9|.[解]因为a4a7＝－512，所以a2a9＝a3故log4|a2|＋log4|a3|＋log4|a8|＋log4|a9|＝log4(|a2a9|·|a3a8|)＝log45122＝log229＝9.等比数列的常用性质性质1：通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N＋)．性质2：若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.特别的，若k＋φ＝2m(m，k，φ∈N＋)，则ak·aφ＝aeq\o\al(2,m).性质3：若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λbn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比数列．性质4：在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列．性质5：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＞0，,q＞1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＜0，,0＜q＜1))⇔{an}递增；eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＞0，,0＜q＜1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＜0，,q＞1))⇔{an}递减；q＝1⇔{an}为常数列；q＜0⇔{an}为摆动数列．1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列－1，－2，－4，－8，－16是递减数列．()(2)等比数列{an}中，a1＞1，q＜0，则数列|a1|，|a2|，|a3|，…，|an|，…是递增数列．()(3)若G是a，b的等比中项，则G2＝ab，反之也成立．()[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)正确；(2)不正确，如a1＝2，q＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，则|an|＝2×eq\f(1,2n－1)＝eq\f(1,2n－2)是递减数列；(3)不正确，当G是a，b的等比中项时，G2＝ab成立，但当G2＝ab时，G不一定是a，b的等比中项，如G＝a＝b＝0.2．在等比数列{an}中，a4＝6，则a2a6A．4 B．8C．36 D．32C[因为{an}