五年级培优数学

目录第一讲找规律填数………………1第二讲定义新运算………………4第三讲简便运算…………………7第四讲简单的数列求和…………11第五讲简易方程（一）…………14第六讲简易方程（二）…………19第七讲简易方程（三）…………24第八讲简易方程（四）…………28第九讲方程问题综合试卷………34第十讲求平均数应用题…………37第十一讲和倍问题应用题…………39第十二讲差倍问题应用题…………43第十三讲植树问题应用题…………47第十四讲长方形和正方形的周长…………………50第十五讲组合图形的面积…………54---------------------------------------------------------------------------------------------------南阳市格瑞特教育机构卓越数学学校第一讲找规律填数知识要点寻找规律一般分为寻找数列的规律、数组的规律、图形的变化规律和计算中的规律等几种情况。对于数列中的规律，我们一般情况下是观察前后两个数的变化情况，也可以联系第几个数的“几”去观察规律。对于数组中的规律，我们往往是寻找这一组中几个数之间的变化规律。图形的变化规律往往比较复杂，同学们要从大小、方向、位置等几个方面去观察图形。例1找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填上合适的数。（1）1，5，9，13，17，（），（），……（2）18，19，21，24，28，（），……解：（1）先计算相邻的两个数的差，5-1=4，9-5=4，13-9=4，17-13=4。由此可得相邻的两个数后一个都比前一个大4。故应填21和25。（2）在这一组数列中每相邻两个数的差依次是1，2，3，4……，由此可以推算出28和括号里的数相差5，括号里应填33。例2先找出下面数列中的规律，并根据规律在括号内填上合适的数。（1）12，2，10，2，8，（），（）（2）6，1，8，3，10，5，12，7，（），（）解：（1）仅从相邻的两个数难以看出这列数的排列规律，这时，我们不妨隔着一个数来观察，把数列中的数隔一个抽一个，分成两组：12，10，8，（）2，2，2，（）这时很容易看出第一组8后面填6，第二组2后面还是2，按照这样的规律，括号里面填6，2。（2）同样，我们把这组数列中的数隔一个抽一个分成两组：6，8，10，12，（）1，3，5，7，（）从这两组数列中，我们可以确定括号中应分别填14和9。例3数列1，1，2，3，5，8，13，21，（），（），……中，括号里应该填什么数？解：通过观察不难看出在这组数列中从第三个数开始，前两个数的和等于第三个数，根据这一规律，括号里应填34和55。例4根据下面各数列的规律，在括号里填上合适的数。（1）2，3，5，9，17，（）（2）99，36，15，（）解：（1）在这一数列中，第一个数2×2-1=3即是第二个数，第二个数3×2-1=5即是第三个数，也就是相邻的两个数，前一个数的2倍减去1等于后一个数，根据这一规律括号里应填33。（2）在这一数列中，相邻的两个数，前一个数除以3的商再加上3的和等于后一个数，根据这一规律括号里应填8。课堂练习下面数列中的规律，并根据规律在括号里填上合适的数。（1）2，4，6，8，10，（），（），……（2）1，4，8，13，19，（），……（3）3，6，12，24，48，（），……2、先找出下面数列中的规律，并根据规律在括号中填什么数？（1）23，1，20，1，17，1，（），（）（2）3，10，5，20，7，30，（），（）3、数列3，4，7，11，18，（），（）中，括号里应填什么数？4、根据下面各数列的规律，在括号里填上合适的数。（1）3，8，18，38，（）（2）126，45，18，9，（）课后作业1、按规律填数。（1）3，29，4，28，6，26，9，23，（），（）（2）128，64，32，（），8，（），22、找出规律，在括号内填上合适的数。（1）4，9，14，（），24，29（2）5，25，125，625，（）3、数列21，13，8，5，3，（），（）中，括号里应填什么数？4、下面括号里两个数按一定规律组合，在横线上填上适合的数。（1）（7，8），（6，9），（5，10），（_____，11）（2）（4，5），（5，7），（7，10），（10，_____）5、根据规律，在下面空格中填上合适的数。37701548265992统计学家的故事有个从未管过自己孩子的统计学家，在一个星期六下午妻子要外出买东西时，勉强答应照看一下四个年幼好动的孩子。当妻子回家时，他交给妻子一张纸条，上写着：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次；每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿马路26次；我还要再过这样的星期六0次。”第二讲定义新运算知识要点按照新定义的运算计算算式的结果，一定要掌握解题的关键和注意点。解题关键：要正确理解新运算的意义，并严格按新定义的要求，将数值代入新定义的式子进行运算。注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律，结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的，通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。例1“★”表示一种新运算，规定A★B=5A+7B，求4★5。解：4★5=5×4+7×5=20+35=55例2“◎”表示一种新的运算，它是这样定义的：a◎b=a×b-a÷b求6◎3和（6◎3）◎2。解：6◎3=6×3-6÷3=18-2=16利用这个结果，（6◎3）◎2=16◎2=16×2-16÷2=24例3A解：（45▼55）▼60=[（45+55）÷2]▼60=50▼60=（50+60）÷2=55例4如果1※3=1+2+3=6，5※4=5+6+7+8=26,那么9※5=？解：9※5=9+10+11+12+13=55课堂练习1、“#”表示一种新的运算，规定A#B=2A+3B，求3#1。2、“*”表示一种新的运算，它是这样定义的：a*b=a×b+a÷b,求4*2和（4*2）*5。3、A、B表示两个数，“○”表示一种新的运算，A○B=（A+B）÷2，求4○（1○3）。4、如果4*3=4×5×6=120，1*4=1×2×3×4=24，那么1*6=？5、“☆”表示一种新运算，使下列等式成立：2☆3=8，4☆2=8，5☆3=11，7☆10=27。按此规律计算：7☆4。课后作业1、“#”表示一种新的运算，规定A#B=5A-2B，求2#3。2“*”表示一种新的运算，它是这样定义的：a*b=a×b－（a+b）,求4*3和（4*3）*2。3、A、B表示两个数，“○”表示一种新的运算，A○B=（A+B）÷3，求（1○5）○4。4、如果1*3=1+2+3=6，2*4=2+3+4+5=14，那么3*6=？蝴蝶效应气象学家Lorenz提出一篇论文，名叫「一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在Taxas州引起龙卷风？」论述某系统如果初期条件差一点点，结果会很不稳定，他把这种现象戏称做「蝴蝶效应」。就像我们投掷骰子两次，无论我们如何刻意去投掷，两次的物理现象和投出的点数也不一定是相同的。Lorenz为何要写这篇论文呢？这故事发生在1961年的某个冬天，他如往常一般在办公室操作气象电脑。平时，他只需要将温度、湿度、压力等气象数据输入，电脑就会依据三个内建的微分方程式，计算出下一刻可能的气象数据，因此模拟出气象变化图。这一天，Lorenz想更进一步了解某段纪录的后续变化，他把某时刻的气象数据重新输入电脑，让电脑计算出更多的后续结果。当时，电脑处理数据资料的数度不快，在结果出来之前，足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵。在一小时后，结果出来了，不过令他目瞪口呆。结果和原资讯两相比较，初期数据还差不多，越到后期，数据差异就越大了，就像是不同的两笔资讯。而问题并不出在电脑，问题是他输入的数据差了0.000127，而这些微的差异却造成天壤之别。所以长期的准确预测天气是不可能的。第三讲简便运算知识要点首先必须掌握一些计算法则、定律、性质和拆、并等一些技巧性方法。其次是要整体观察题目，找出数据特点及它们之间的联系。三是联想一些相关的运算定律和性质，选择最佳算法。例1计算下列各题。（1）567-357+433-643（2）41×45÷78÷45×78÷41（3）（13×4×5×6）÷（4×5×6）（4）100000÷32÷125÷25解：（1）567-357+433-643=（567+433）-（357+643）=1000-1000=0（2）41×45÷78÷45×78÷41=（41÷41）×（45÷45）×（78678）=1（3）（13×4×5×6）÷（4×5×6）=（4×5×6）÷（4×5×6）×13=13（4）100000÷32÷125÷25=100000÷（125×8）÷（25×4） =1例2计算下列各题。（1）97＋979＋24（2）82＋84＋79＋78＋80＋83解：（1）97＋979+24=（97＋3）＋（979＋21）=1000＋10000=11000（2）82＋84＋79＋78＋80＋83=80×6＋（2＋4＋3-1-2）=480＋6=486例3简便计算99×99＋199解：99×99＋199=99×99＋99＋100=（99＋1）×99＋100=9900+100=10000课堂练习1、计算下列各题。（1）842-438-62-42（2）56÷23×98÷56÷98×23（3）（12×5×7×13×7）÷（7×7×13）（4）4500÷8÷1252、计算199+99×99课后作业1、计算下列各题。（1）76×32×125×25（2）125×23×72÷9（3）11×9×11+11×11（4）75×24+25×24（5）（17×12×3）÷（3×2×6）（6）9+98+997+9996（7）94+88+90+92+89+93+85+94动物中的数学“天才”蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。第四讲简单的数列求和知识要点等差数列求和公式和求项数的公式：总和=（首项+末项）×项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1例1求数列3，5，7，9，11，13，15，17的和。解：3+5+7+9+11+13+15+17=（3+17）×8÷2=80例2计算：1+2+3+4+……+199解：1+2+3+4+……+199=（1+199）×199÷2=19900例3计算：7+7×2+7×3+……+7×200原式=7×（1+2+3+……+100）=7×（101×100÷2）=35350课堂练习1、计算下列各式的和。（1）2+4+6+……+2008（2）11+12+13+……+39+40（3）2+5+10+15+……+5×99（4）（7+6）+（7+6×2）+……+（7+6×99）+（7+6×100）课后作业数列2，1，2，2，2，3，……，2，10，2，11，……中第100个数是多少？前100个数的和是多少？校图书馆准备将44本故事书借给某班上的9位同学，每人至少1本，且使每位同学借的本数互不相等，能否办到。学校乒乓训练室里有10个盒子和44个乒乓球，你能不能把这44个乒乓球放到盒子中去，使任意两个盒子中的乒乓球个数都不相等？蜗牛何时爬上井？一只蜗牛不小心掉进了一口枯井里。它趴在井底哭了起来。一只癞蛤蟆爬过来，瓮声瓮气的对蜗牛说：“别哭了，小兄弟！哭也没用，这井壁太高了，掉到这里就只能在这生活了。我已经在这里过了多年了，很久没有看到过太阳，就更别提想吃天鹅肉了！”蜗牛望着又老又丑的癞蛤蟆，心里想：“井外的世界多美呀，我决不能像它那样生活在又黑又冷的井底里！”蜗牛对癞蛤蟆说：“癞大叔，我不能生活在这里，我一定要爬上去！请问这口井有多深？”“哈哈哈……，真是笑话！这井有10米深，你小小的年纪，又背负着这么重的壳，怎么能爬上去呢？”“我不怕苦、不怕累，每天爬一段，总能爬出去！”第二天，蜗牛吃得饱饱的，喝足了水，就开始顺着井壁往上爬了。它不停的爬呀，到了傍晚终于爬了5米。蜗牛特别高兴，心想：“照这样的速度，明天傍晚我就能爬上去。”想着想着，它不知不觉地睡着了。早上，蜗牛被一阵呼噜声吵醒了。一看原来是癞大叔还在睡觉。它心里一惊：“我怎么离井底这么近？”原来，蜗牛睡着以后从井壁上滑下来4米。蜗牛叹了一口气，咬紧牙又开始往上爬。到了傍晚又往上爬了5米，可是晚上蜗牛又滑下4米。爬呀爬，最后坚强地蜗牛终于爬上了井台。你能猜出来，蜗牛需要用几天时间就能爬上井台吗？第五讲简易方程（一）——用字母表示数专题简析：英语课上老师教会了大家认、说、读a、b、c…这些字母，这一讲将要教大家用这些字母，希望在学完本讲的时候，大家可以自豪地告诉老师“Nowyousee,IcanusemyABC”。在数学学习中常常用字母来表示数量，这一讲我们就来研究怎样用字母表示数。池塘音乐家，唱歌顶呱呱，小时穿黑衣，长大披绿褂，小时有尾没有脚，长大有脚没尾巴。猜一种动物。池塘音乐家，唱歌顶呱呱，小时穿黑衣，长大披绿褂，小时有尾没有脚，长大有脚没尾巴。猜一种动物。例1有一首有趣的小儿歌名字就叫“数青蛙”：1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿；2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿；3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿；……”这首儿歌你们听过吗？你能接着往下编这首儿歌？解：①青蛙的只数可以是任意一个自然数，②嘴的张数和只数相同，眼睛是只数的2倍，腿是只数的4倍。可以用字母把这首儿歌用一句话简明地表示出来，用字母表示时要体现出数量之间的关系。n只青蛙n张嘴，2×n只眼睛，4×n条腿例2：用a、b、c分别表示三个数，你能写出几个运算定律吗？解：用字母相乘时可省略乘号的写法进行解答。加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc在含有字母的式子里，数字和字母中间的乘号可以用“.”代替，也可以省略不写。省略乘号后，数字要写在字母的前面，“.”写在中间。加号、减号、除号不能省略，数字与数字中间的乘号也不能省略。例3：在月球上，人能举起物体的质量是地面上的6倍。你能用含有字母的式子表示出人在月球上能举起的质量吗？小刚在地球上只能举起15kg，在月球上他能举起的质量是多少呢？解：由于月球的引力比地球引力小的缘故，所以人到月球上举起的物体质量是地面上的6倍。在地球上能举起物体的质量/kg在月球上能举起物体的质量/kg161=6262=12363=18……可以用a表示人在地球上举起的质量，式子中的a可以表示1，2，3，…任意的数。人在月球上能举起的质量可以用字母表示为6a当a=15时，6a=615=90答：小刚在月球上能举起的质量是90kg。例4：亮亮买文具用去a元，比买书少用6元，当a=5时，用字母式子表示他一共花了多少元钱，再求出值。解：亮亮买文具用去a元，则一共用去的钱可用a+（a+6）=2a+6来表示。当a=5时，2a+6=25+6=16答：他一共花了16元钱。例5：王洪每分钟打50个字，计算他一小时打多少个字？解：根据“工作总量=工作效率工作时间”，即c=at来表示。c=at=5060=3000答：王洪一小时打3000个字。课堂作业：一、填空：1、小明今年a岁，老师比小明大16岁，老师今年（）岁。2、哈雷彗星每76年才出现一次，当它在公元s年出现后，下一次出现将是公元（）年。3、笑笑有20元钱，买书包用去a元，还剩下（）元。4、用a表示商品的单价，x表示数量，c表示总价，写出：c=__________，a=___________，x=____________二、列式计算：1、一本书有a页，小明每天看12页，看了b天，用式子表示还没有看的页数。这本书如果有100页，张华看了8天，用上面的式子求还没有看的页数。2、一根绳子用去n米，剩下的比用去的多0.5米，当n=2.5时，用字母式子表示绳子一共有多少米，再求出值。3、甲数是x，比乙数多20.当甲数是78时，用式子表示出两数的和，再求值。三、连线苹果和梨每千克的售价分别是a元、b元，各买m千克。（a＜b)am表示苹果和梨一共得价钱bm表示苹果的价钱（a+b）m表示梨比苹果多售出多少钱（b-a）m表示梨的价钱课后作业：1、请说一说并填写出以下含有字母的式子表示的意义例如：A2表示（2个A相乘，即A2=A×A）2A表示（2个A相加，即2A=A+A）B2表示（，即）C2表示（，即）D2表示（，即）2B表示（，即）2P表示（，即）2W表示（，即）2、用含有字母的式子表示下列数量关系18与a的和()c与13的差()6个b相加的和()B的3.5倍()a的平方加上b的2倍()比y少3的数()3、同学们在操场上做操，五年级站了x列，平均每列16人，六年级有a人。写出下面各式所表示的意义：16x表示（）16x+a表示（）a-16x表示（）4、用含有字母的式子列式（1）一箱苹果重9千克，吃了B千克，还有多少千克？（2）果园里有梨树X棵，苹果树的棵树比梨树的2倍多10棵。果园里有苹果树多少棵？（3）一个梯形的上底a是2.3米，下底b是3.2米，高h是4米，求它的面积S。（4）当A=3.3，B是A的30倍，C是B的10倍，D是C的10倍时，求D+6C+6B+20A的值。唐僧师徒摘桃子

一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。不长时间，徒弟三人摘完桃子高高兴兴回来。师父唐僧问：你们每人各摘回多少个桃子？八戒憨笑着说：师父，我来考考你。我们每人摘的一样多，我筐里的桃子不到100个，如果3个3个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘了多少个？

沙僧神秘地说：师父，我也来考考你。我筐里的桃子，如果4个4个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘了多少个？

悟空笑眯眯地说：师父，我也来考考你。我筐里的桃子，如果5个5个地数，数到最后还剩1个。你算算，我们每人摘多少个？

唐僧很快说出他们每人摘桃子的个数。你知道他们是怎么算出来的吗？第六讲简易方程（二）——解简易方程专题简析：等式：表示相等关系的式子叫做等式。方程：含有未知数的等式叫做方程。方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。解方程：求方程的解的过程叫做解方程。解方程的方法：解简易方程，要根据加、减、乘、除及个部分之间的关系求解。遇到较复杂的方程，要先分步进行必要的计算，然后再求方程的解。解方程的过程实际上是采用还原算法，先算二级运算，后算一级运算，有括号的先去括号。例1：下面哪些式子是方程？①40+60=100②28＜16+14③5x+32=47④7（a+2）=42解：含有未知数的等式叫做方程。方程有两个条件：是等式；含有未知数。①式虽然是等式，但不含有未知数，所以不是方程；②式既不是等式，也不含有未知数；③和④既含有未知数，又是等式，符合条件。所以，③④是方程。例2：天平左边放1个花盆和一个花瓶，右边放4个花瓶，保持平衡。若两边都拿掉一个花瓶，天平还会平衡吗？1个花盆和几个花瓶同样重？解：根据天平平衡的道理，方程左右两边同时加上或减去相同的数，等式不变，所以天平仍然保持平衡。设1个花盆重a克，1个花瓶重b克，则上面的过程可以表示为：a+b=4ba+b-b=4b-b，即a=3b。答：天平仍然保持平衡，一个花盆和3个花瓶同样重。例3：解方程x+3.2=4.6（写出演算过程）解：方程左右两边同时减去3.2，左右两边仍相等。解答x+3.2=4.6验算：方程左边x+3.2–3.2=4.6-3.2=x+3.2x=1.4=1.4+3.2=4.6=方程右边所以x=1.4式方程的解。解方程1.6x=6.4解：方程左右两边同时除以1.6，左右两边仍相等。解答1.6x=6.41.6x÷1.6=6.4÷1.6x=4“方程的解”是一个数；“解方程”是一个过程。例4：小方在文具店买了3盒画笔，每盒12枝，每枝画笔0.50元，小方一共花了多少元？解：方法一根据“总价画笔的单价每盒枝数=盒数”列出方程。解：设小方共花了x元。x0.5012=3x0.50120.5012=30.5012x=18.00方法二：根据“总价盒数每盒枝数=画笔的单价”列出方程。解：设小方共花了x元。x312=0.50x312312=0.50312x=18.00答：小方一共花了18.00元。课堂作业：一、列方程（1）天平左边放了一只2kg的小猫和xkg的皮球，右边放了一个3kg的木块，天平平衡，你能用方程来表示吗？（2）4盒铅笔共有28枝，每盒有x枝，你能列出方程吗？二、解方程x-32=761.6x=6.42x=16.8x2.4=2.8三、用方程求解：（1）2袋果冻，每袋有20个，每个果冻重0.05千克，2袋果冻共重多少千克？（2）学校买了2箱乒乓球，每箱有25个，共花25元，每个乒乓球多少元？课后作业：填空使方程两边相等的_____________,叫做方程的解。求方程的解的过程叫做___________。选择①x=1是（）的解。A2x=2B3x-x=1Cx-2=0D3x=1.5②方程1.1+x=1.1的解是（）。Ax=2.2Bx=0Cx=1判断含有未知数的式子叫做方程（）x+x可以写成2x（）3x+5x=8x2（）用方程表示数量关系并求解x加上128等于215。②x的8倍等于20。解方程。2x=12x+1.5=10x3=1.2一个商店一天卖出15筐苹果，共卖出2100千克。每筐苹果多少千克？（用方程求解并写出验算过程）伽罗华的故事在数学史上，伽罗华（1811——1832）十七岁时就写了一篇关于《五次方程代数解法》这个世界数学难题的论文，最先提出了近代数学的一个基本概念——“群”。可是这篇论文被法国科学院一位目空一切的数学家丢失了。次年，他又写了几篇数学论文送交法国科学院，不料主审人因车祸去世，论文也不知所踪。又过两年，他被迫把自己的研究再次写成简述，寄往法国，他去信尖锐地提醒权威们：“第一，不要因为我叫伽罗华，第二，不要因为我是大学生，”而“预先决定我对这个问题无能为力。”在这封咄咄逼人的书信面前，有两位数学家不得不宣读了他的研究简述，但随即又以“完全不能理解”予以否定，其实，他们并没有读懂伽罗华的论文。伽罗华二十一岁那年死于决斗。临死前他对守在旁边的弟弟说：“不要忘了我，因为命运不让我活到祖国知道我的名字的时候。”在决斗前夜，他给友人写了著名的“科学遗嘱”，其中充满自信地说：“我一生中不只一次敢于提出我没有把握的命题，我期待着将来总会有人认识到：解开这个谜对高斯（一位伟大的数学家）是有好处的。”他的预言成为现实，那是在1938年他的六十页厚的论文终于出版的时候，从此，他被认为“群论”的奠基人。第七讲简易方程（三）——稍复杂的方程专题简析：解简易方程，要根据加、减、乘、除及个部分之间的关系求解。遇到较复杂的方程，要先分步进行必要的计算，然后再求方程的解。解方程的过程实际上是采用还原算法，先算二级运算，后算一级运算，有括号的先去括号。例1:解方程4x-5=31，并检验。解：先把4x看作一个整体，它就是被减数，被减速数=差+减数，即4x=31+5，再根据两个数与积的关系：一个因数=积÷另一个因数求出x。解：4x-5=31检验：把x=9代入原方程，x=36÷4左边=4×9-5=31，右边=31，x=9左边=右边4x=31+5所以x=9是原方程的解。4x=36例2：解方程3（2x-4）=49.2解：此方程可用多种方法求解。一是先按“一个数乘两个数的差”的运算性质，去括号后再解；二是把3与小括号看作是两个因数，49。2是它们的乘积，用“一个因数=积÷另一个因数”把括号去掉，最后用求被除数和求一个因数的算式可得到方程的解。解法一：3（2x-4）=49.2解法二：3（2x-4）=49.26x-12=49.22x-4=49.26x=49.2+122x=20.46x=61.2x=20.4÷2x=10.2x=10.2例3：解方程x-x=3.6-1.5解：把等式的左边运用乘法的分配率的逆运算合并。解：x-x=3.6-1.5 (-)x=2.1x=2.1x=2.1×x=4.52x-x-1=2x=2+1x=3例4：规定运算a*b=(a+b)÷2,且a*(x*2)=2，求X=？【思路导航】本题可综合运用定义新运算的关系式，用方程来解答。解：a*(x*2)=23*[（x+2）÷2]=23*（）=2(3+)÷2=23+=4=1x+2=2x=0课堂作业：一、解方程：（1）9.8-x=3.8（2）75.6÷x=12.6（3）3(x+0.5)=21（4）0.1(x+6)=3.3×0.4（5）7(6.5+x)=87.5（6）1.2x-0.5x=6.3（7）12x-8x=4.8（8）0.5×16―16×0.2=4x（9）6.7x－60.3＝6.7二、定义新运算设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，（1）求3△2，2△3（2）求（17△6）△2，17△（6△2）（3）如果已知4△b＝2，求b课后作业：解下列方程（1）81x-342=76（x-2）（2）0.3x+7x-0.25x=21.15（3）5x-0.2x-0.8x=32（4）3x-=2+列方程，解文字题（1）一个数加上它的0.25倍等于20的3倍，求这个数。（2）一个数的1.5倍减去4.46后，等于3.1与0.4的积，求这个数。（3）5.8减去8与0.5的积比x的5倍少1.91，求x。（4）一个数的6.1倍减1.2等于它的5.8倍加3.1，求这个数。（5）一个数的8倍加上10等于这个数的10倍加上8，求这个数。你会分吗？从前有一位老年人，在他临终时，三个儿子围在床前。他对儿子们说：“我有十七匹马，留给你们，三个人分。分马的时候，老大呢，出力最多，得总数的二分之一；老二嘛，得总数的三分之一；老三最小，你呀，就拿总数的九分之一。”勉强说完这几句，老人就去世了。三兄弟执行遗嘱时，一致认为这些马是父亲生前心爱之物，决不能将其中任何一匹劈成几块瓜分。但是遗嘱又要完全照办，如何是好呢？正巧，这时他们的老娘舅骑马赶来了，听完事由，眉毛一扬，说：“我来分。”猜猜看，老娘舅怎样分马？第八讲简易方程（四）——列方程解应用题专题简析：对于列方程解应用题是我们数学发展的趋势，能够掌握好此种解法对我们今后有一个很好的帮助。能够比较直观的去理解。列方程解决问题的步骤：①弄清题意，找出未知数，用x表示；②通过分析，找出题目中数量之间的相等关系；③列方程，解方程；④检验，写出答案。找等量关系的方法：①以相差量为等量关系建立方程；②以总量为等量关系建立方程；③以较大的量（或几倍量）为等量关系建立方程；④以题中的等量为等量关系建立方程。例1：足球上黑色的皮都是五边形的，白色的皮都是六边形的。白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块。共有多少块黑色皮？解：先写出用字母x表示的式子。根据题意，白色皮的块数与黑色皮的块数有这样的数量关系：黑色皮的块数×2-白色皮的块数=4。解题时，先把2x看作一个整体，先求出2x等于多少，再求出x等于多少。最后要验算。（法一）解：设共有x块黑色皮。验算：方程左边=2x-20=2验算：方程左边=2x-20=2×12-20=4=方程右边所以x=12是方程的解。2x-20+20=4+202x=242x÷2=24÷2x=12（法二）根据“黑色皮的块数×2-4=白色皮的块数“来列方程。解：设共有x块黑色皮。2x-4=202x-4+4=20+42x=242x÷2=24÷2x=12例2：兴华粮店运来12袋大米和9袋面粉，大米和面粉共重465千克，已知大米每袋20千克，面粉每袋多少千克？解：要求每袋面粉多少千克，从已知条件可知，此题等量关系式为：12袋大米的重量+9袋面粉的重量=面粉和大米一共得重量。解：设面粉每袋x千克。12×20+9x=465240+9x=4659x=465-2409x=225x=25答：面粉每袋25千克。例4小军今年8岁，他爸爸今年34岁，小军多少岁时，爸爸的年龄是小军的3倍？解：设标准量小军的年龄为x，爸爸的年龄就是3x，可以根据爸爸与小军的年龄差不变，列方程解答解：设小军的年龄为x岁，那么爸爸的年龄可以表示为3x岁。3x-x=34-8(3-1)x=262x=262x÷2=26÷2x=13答：小军14岁时。爸爸的年龄是小军的3倍。课堂作业：一、列出方程并求方程的解（1）一个数的5倍加上3.2，和是38.2，求这个数（2）3.4比x的3倍少5.6，求x二、列方程解应用题1、光明小学有学生1205人，比建校时学生数的5倍还多20人。这个学校建校时有多少人？2、四年级两个班的同学植树，一共植树65棵，四年级一班5个同学每人植树4棵，四年级二班9个同学植树，每人植树多少棵？3、晶晶买了两套丛书，两套丛书的本数相同，共花了望22元。童话丛书每本元，科幻丛书每本3元，每套丛书有多少本？4、一个两层的书架，上层放的书是下层的3倍，若把上层的书搬60本到下层，则两层的书相等，原来上下两层各有多少本书？课后作业：一、填空1、某厂计划每月用煤a吨，实际用煤b吨，每月节约用煤。2、一本书100页，平均每页有a行，每行有b个字，那么，这本书一共有()个字。3、用字母表示长方形的周长公式。4、根据运算定律写出：9n+5n=(___+___)n=____a×0.8×0.125=(×)ab=ba运用定律。二、判断（对的打√，错的打×）1、含有未知数的算式叫做方程。（）2、5x表示5个x相乘。（）3、有三个连续自然数，如果中间一个是a,那么另外两个分别是a+1和a-1。（）4、一个三角形，底a缩小5倍，高h扩大5倍，面积就缩小10倍。（）三、解下列方程5x＋1.5=4.513.7—x=5.294.2×3—3x=5.1(此题写出检验过程)四、列方程解应用题1、运送29.5吨煤，先用一辆载重4吨的汽车运3次，剩下的用一辆载重为2.5吨的货车运。还要运几次才能运完？2、一块梯形田的面积是90平方米，上底是7米，下底是11米，它的高是几米？3、某车间计划四月份生产零件5480个。已生产了9天，再生产908个就能完成生产计划，这9天中平均每天生产多少个？4、甲乙两车从相距272千米的两地同时相向而行，3小时后两车还相隔17千米。甲每小时行45千米，乙每小时行多少千米？数学神童——维纳

20世纪著名数学家诺伯特维纳，从小就智力超常，三岁时就能读写，十四岁时就大学毕业了。几年后，他又通过了博士论文答辩，成为美国哈佛大学的科学博士。在博士学位的授予仪式上，执行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面询问他的年龄。维纳不愧为数学神童，他的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。这意味全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业。”维纳此言一出，四座皆惊，大家都被他的这道妙题深深地吸引住了。整个会场上的人，都在议论他的年龄问题。其实这个问题不难解答，但是需要一点数字“灵感”。不难发现，21的立方是四位数，而22的立方已经是五位数了，所以维纳的年龄最多是岁；同样道理，18的四次方是六位数，而17的四次方则是五位数了，所以维纳的年龄至少是18岁。这样，维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中的一个。剩下的工作就是“筛选”了。20的立方是8000，有3个重复数字0，不合题意。同理，19的四次方等于130321，21的四次方等于194481，都不合题意。最后只剩下一个18，是不是正确答案呢？验算一下，18的立方等于5832，四次方104976，恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字，多么完美的组合！这个年仅18岁的少年博士，后来果然成就了一番大事业：他成为信息论的前驱和控制论的奠基人。

第九讲方程问题综合试卷填空1、长方形周长计算公式用字母表示是()2、李师傅每天做m个零件,比张师傅多做8个,两人一天共做()3、每本练习本x,买了6本,付出10元,应找回()元4、甲数是乙数的a倍,甲数比乙数多()倍5、()叫方程6、甲乙两数之差是14,两数之和是108,甲数是(),乙数是()7、a×(7＋b),当a＝5时,b=()才能使a×(7＋b)＝52.58、一个正方形周长是a厘米,用字母表示它面积的式子是(),当a＝24时,正方形面积应是()平方厘米.二、把左右两边意义相等的用直线连起来.a与a相乘a＋2ba与相加a2a的2倍2a＋3aa的二分之一2a比a的2倍多3的数a＋aa与b的和的2倍aa与b的2倍的和(a＋b)×2三、判断(1)、等式就是方程.()(2)、42＝4×2()(3)、4x－20＝4与50－5x＝20的解是相同的.()(4)、光明商店上午卖出a台冰箱,下午卖出b台冰箱,这天一共卖了ab台.()(5)、2.5a＋b＝2.5ab()(6)、2b×(b＋c)＝2b2＋2c()四、选择1、a除150的商再减去20的差,列式为()①、a÷150－20②、150÷a－20③、a÷(150－20)④、150÷(a－20)2、下列式子里是方程的有()①、x＋3②、3＋15＝18③、4a＋27＝78④、4x－15＜203、0.75x－4×1.8＝0.3的解是()①、x＝8②、x＝10③、x＝1004、根据8x-6＝50,可推得3x+7的值是()①、50②、28③、215、m是三个连续自然数中间一个数,三个数之和是()①、3m＋2②、3m③、3m＋1④、3m－1五、当a＝4,b＝5,c＝6时,求下列各式的值a＋3b－2cabc÷12bc÷a－b六、列方程并求出方程的解1、5x减去3.2与9的积差是2.72、一个数的7.5倍与这个数的4.5倍多24,这个数是多少?七、解决问题1、同学们植树,一班比二班多植63棵,一班42人,平均每人植8棵,二班39人,平均每人植多少棵?(用方程解答)2、买3张桌子和4把椅子一共用了308元,每把椅子32元,每张桌子多少元?(用方程解答)3、一个长方形周长和一个正方形周长相等,已知长方形长24厘米,宽16厘米,求正方形面积?4、两辆汽车从相距400千米的两地同时相对开出,3小时后还相距10千米,已知一辆汽车每小时行驶55千米,求另一辆汽车速度?(用两种方法解答)鸡兔同笼,共有35个头,94条腿,求鸡兔各有几只?数学家的遗嘱阿拉伯数学家花拉子密的遗嘱，当时他的妻子正怀着他们的第一胎小孩。“如果我亲爱的妻子帮我生个儿子，我的儿子将继承三分之二的遗产，我的妻子将得三分之一；如果是生女的，我的妻子将继承三分之二的遗产，我的女儿将得三分之一。”而不幸的是，在孩子出生前，这位数学家就去世了。之后，发生的事更困扰大家，他的妻子帮他生了一对龙凤胎,而问题就发生在他的遗嘱内容。如何遵照数学家的遗嘱，将遗产分给他的妻子、儿子、女儿呢？第十讲求平均数应用题知识要点平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数例1二（1）班学生分三组植树，第一组有8人，共植树80棵，第二组有6人，共植树66棵，第三组有6人，共植树54棵，平均每人植树多少棵？解：（80+60+54）÷（8+6+6）=10（棵）答：平均每人植树10棵。例2小明在期末四门功课的考试中平均分92分，加上历史成绩后，他五门功课的平均分数下降了2分，小明历史成绩是多少分？解：四门功课总分数：90×4＝360（分）五门课平均分数：92－2＝90（分）五门课的总分数：（90－2）×5＝440（分）历史成绩：（90－2）×5－90×4＝80（分）答：小明历史成绩是80分。课堂作业：1、TCL电视机厂四月份前10天共生产彩电3300台，后20天共生产彩电6300台。这个月平均每天生产彩电多少台？2、从山顶到山脚的路长36千米，一辆汽车上山。需要4小时到达山顶，下山沿原路返回，只用2小时到达山脚。求这辆汽车往返的平均速度。3、小丽家距离姥姥家3200米，去时走38分钟，回来比去时多走4分钟。求小丽平均每分钟能走多少米？4、有三个数，已知甲、乙之和是60，乙、丙之和是42，甲、丙之和是54。求三个数的平均数是多少？课后作业1、某班有50名学生，在一次期末测试中，有2名学生因病缺考，这时班级平均分数为89分，缺考的同学补试各得99分，全班此次期末测试平均分应是多少？2、附近有两所小学，甲校有学生1080人，乙校有学生940人，今从外区分配给两校的人数恰好相等，现两校共有学生2260人，两校现有学生各多少人？3、一辆汽车从甲城到乙城，去时每小时行30千米，从乙城返回到甲城时每小时行60千米。这辆汽车往返的平均速度？4、第一机床厂计划全年生产机床480台，实际提前3个月完成全年计划的1.5倍，平均每月生产机床多少台？数学魔术家1981年的一个夏日，在印度举行了一场心算比赛。表演者是印度的一位37岁的妇女，她的名字叫沙贡塔娜。当天，她要以惊人的心算能力，与一台先进的电子计算机展开竞赛。工作人员写出一个201位的大数，让求这个数的23次方根。运算结果，沙贡塔娜只用了50秒钟就向观众报出了正确的答案。而计算机为了得出同样的答数，必须输入两万条指令，再进行计算，花费的时间比沙贡塔娜要多得多。这一奇闻，在国际上引起了轰动，沙贡塔娜被称为“数学魔术家”。第十一讲和倍问题应用题知识要点和÷（倍数+1）＝一倍数（较小的数）和－较小的数＝较大的数，或一倍数×倍数＝较大的数例1姐姐有小人书40本，妹妹有小人书50本,问姐姐要给妹妹多少本小人书，才能使妹妹的小人书是姐姐的2倍？解：两人共有的小人书本数：40+50＝90（本）姐姐是1倍数，妹妹本数是姐姐的2倍。（40+50）÷（1+2）＝30（本）40－30＝10（本）答：姐姐要给妹妹10本书，才能使妹妹的书是姐姐的2倍。例2少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？解：如果杨树少种20棵，那么柳树和杨树的总数是216－20=196（棵）。柳树的棵数：（216－20）÷（3+1）＝49（棵）杨树的棵数：216－49＝167（棵）答：种柳树49棵，杨树167棵。例３两数相除商３余２，已知被除数、除数、商和余数的和是115，被除数是多少？解：被除数和除数的和：115-除数：（110-2）÷（3+1）=27被除数：110-27=83答：被除数是83。例4有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍，每个书橱里各放了多少本书？解：第一个书橱：330÷（1+2+2×4）=30（本）第二个书橱：30×2=60（本）第三个书橱：60×4=240（本）答：第一个书橱里放了30本，第二个书橱里放了60本，第三个书橱里放了240本。例5某畜牧场有山羊、绵羊共670只，如果绵羊减少30只，山羊增加200只，则山羊的只数就是绵羊的3倍。求原来山羊、绵羊各多少只？解：绵羊：（670－30+200）÷（3+1）=240（只）山羊：670－240=430（只）答：原来山羊有430只，绵羊有240只。随堂练习甲仓库存粮1500吨，乙仓库存粮6500吨，从乙仓库调一批粮到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的3倍，问从乙仓库调了多少吨粮到甲仓库？2、外国语中学七、八年级500人参加数学竞赛，其中七年级的学生比八年级的学生的2倍少100人。两个年级各有多少学生参加数学竞赛？3、两数相除商为4，余数是9，被除数、除数、商和余数的和是177，求被除数是多少？4、三块钢板共重207千克，第一块钢板的重量是第二块钢板的3倍，第二块钢板的重量是第三块钢板的2倍，三块钢板各重多少千克?5、有两堆棋子共49个，如果第一堆增加15个，第二堆减少4个，则第二堆的个数是第一堆的2倍。求两堆棋子原来分别有多少个？课后作业1、商店运来苹果和梨共185千克，如果苹果再运15千克就相当于梨的3倍，这个商店运来苹果和梨各多少千克？2、汽车运输队第一运输队有20部汽车，第二运输队有10部汽车。要使第一队的汽车是第二队的4倍，第二队应当调几部汽车给第一队？3、两数相除商和余数都是5，被除数、除数、商和余数的和是129，求被除数、除数分别是多少？4、兄弟俩各有一些钱，哥哥的钱比弟弟多4500元，国庆那天，他们都拿出2000元去合买了一台彩电。这时，哥哥的钱恰好是弟弟的4倍，哥弟俩原来各有多少钱？5、四（3）班有学生50人，若女生增加14人，男生增加2人，女生的人数就是男生的2倍。求四（3）班男、女学生各有多少人？数学奇才——耐普

记得四大发明吗？它们是印度-阿拉伯记号，十进制小数，对数和计算机。其中的对数是十七世纪由耐普尔发明的。他1550年出生在苏格兰首府爱丁堡，从小喜欢数学和科学，以其天才的四个成果被载入数学史。其中的对数的发明使整个欧洲沸腾了。拉普拉斯认为“对数的发现以其节省劳力而延长了天文学家的寿命。”可以说对数的发现使现代化提前了至少二百年。下面我要给大家讲两个他的小故事：一次，他宣称他的黑毛公鸡能为他证实：他的哪一个仆人偷了他的东西。仆人们被一个接一个地派进暗室，要他们拍公鸡的背，仆人们不知道耐普尔用烟黑涂了公鸡的背，自觉有罪的那个仆人，怕挨着那个公鸡，回来时手是净的。还有一次耐普尔因他的邻居的鸽子吃他的粮食而感到烦脑。他恫吓道：如果他邻居不限制鸽子，让它们乱飞，他就要没收些鸽子。邻居认为他的鸽子是根本不可能被捉住的，就告诉耐普尔，如果他能捉住他们，尽管捉好了。第二天，邻居看到他的那些鸽子在耐普尔的草坪上蹒跚地走着，十分惊讶，耐普尔镇静自若地把它们装进一只大口袋。原来，耐普尔在他的草坪上各处撒了些用白兰地酒泡过的豌豆，使这些鸽子醉了。第十二讲差倍问题应用题知识要点差÷（倍数－1）＝标准数（1倍数）差÷（倍数－1）×倍数＝比较数（几倍数）差÷（倍数－1）×（1+倍数）＝差倍求和例1师傅生产的零件个数是徒弟的6倍，如果两人各再生产20个，那么师傅生产的零件个数是徒弟的4倍，两人原来各生产零件多少个？解：如果徒弟再生产20个，师傅再生产20×6＝120（个）那么，师傅现在生产的个数仍是徒弟的6倍，根据题意20×6－20＝100（个），就是徒弟现有个数的6－4＝2（倍）徒弟原来生产的个数：（20×6－20）÷（6－4）－20＝100÷2－20＝30（个）师傅原来生产的个数：30×6＝180（个）答：师傅生产零件180个，徒弟生产零件30个。例2两根同样长的铁丝，第一根剪去180厘米，第二根剪去260厘米，余下的部分第一根是第二根的3倍。原来两根铁丝各长多少厘米？解：由于第二根比第一根多剪去260–180=80厘米，所以，剩下的铁丝第一根就比第二根多80厘米，正好多2倍。（260–180）÷（3–1）=40（厘米）40+260=300（厘米）答：原来两根铁丝各长300厘米。例3小张有存款5400元，小王有存款3800元。两人各取同样多的钱后，小张的存款是小王的3倍。问：取款后两人各有存款多少元？解：由于两人取款相同，所以，两人的存款差不变。。（5400－3800）÷（3－1）＝800（本）800×3＝2400（本）答：取款后小张有800元，小王有2400元。随堂练习小明打苍蝇48个，小新打苍蝇12个，如果小明和小新再打等量的苍蝇，则小明所打的苍蝇等于小新的3倍。求二人再打苍蝇的个数是多少？2、甲班和乙班的人数同样多。如果从甲班调出20人，从乙班调出38人去大扫除，甲班剩下的人数正好是乙班的2倍。原来两班各有多少人？3、甲箱有苹果45个，乙箱有苹果25个。从两箱取出同样多的苹果后，甲箱的苹果是乙箱的5倍。求后来两箱各有多少个苹果？4、糖块的价钱是梨的价钱的4倍，5千克糖块的价钱比5千克梨贵15元钱。每千克糖块和每千克梨各是多少钱？5、学校有彩色粉笔和白粉笔若干盒，白粉笔的盒数是彩色粉笔的7倍，如果这两种粉笔各买进12盒，那么白粉笔的盒数就是彩色粉笔的3倍。原来学校里了两种粉笔各有多少盒？课后作业1、南街村种花生公顷数是玉米的8倍，花生比玉米多种63公顷。花生、玉米各种多少公顷？2、甲、乙两个仓库存的水泥同样多，从甲仓运出65吨，从乙仓运出9吨水泥后，乙仓的水泥是甲仓的3倍。两仓原来共存水泥多少吨？3、买3个文具盒的钱可买16本笔记本，一个文具盒比一本笔记本贵0.13元，一个文具盒和一本笔记本各是多少钱？4、兄弟两人各有存款若干元，若哥哥给弟弟45元，二人的钱数就同样多；若弟弟给哥哥45元，则哥哥的钱正好是弟弟的2倍。兄弟两人各有存款多少元？5、今年，爸爸的年龄是小明的6倍。再过4年，爸爸的年龄恰好是小明的4倍。今年小明多少岁？工作到最后一天的华罗庚华罗庚出生于江苏省，从小喜欢数学，而且非常聪明。1930年，19岁的华罗庚到清华大学读书。华罗庚在清华四年中，在熊庆来教授的指导下，刻苦学习，一连发表了十几篇论文，后来又被派到英国留学，获得博士学位。他对数论有很深的研究，得出了著名的华氏定理。他特别注意理论联系实际，走遍了20多个省、市、自治区，动员群众把优选法用于农业生产。记者在一次采访时问他：“你最大的愿望是什么？”他不加思索地回答：“工作到最后一天。”他的确为科学辛劳工作的最后一天，实现了自己的诺言。第十三讲植树问题知识要点直线植树:总距离＝间隔长×（棵数－1）圆周植树：总距离＝间隔长×棵数例1在一条路的一侧每隔40米竖一根电线杆，从路的起点到终点一共竖立了52根，问这条路全长多少米？解：直线植树：总距离＝间隔长×（棵数－1）这条路全长：40×（52－1）＝40×51＝2040（米）答：这条路全长2040米。例2时钟4点钟敲4下，6秒钟敲完。那么10点钟敲10下，几秒钟敲完？解：时钟4点钟敲4下，共有4－１＝３（个）间隔，10点钟敲10下，共有10－1=9（个）间隔。6÷（4-1）×（10-1）=18（秒）答：18秒敲完。例3有一个圆形花圃长120米，若沿这个花圃每隔6米栽一株丁香，再在每相邻的两株丁香之间等距离地栽2株月季，丁香和月季共栽多少株？每两株相邻的花之间相距多少米？解：圆周植树：棵数＝总距离÷间隔长花的总株数：120÷6+120÷6×2=60（株）两株相邻的花之间相距：120÷60=2（米）答：丁香和月季共栽60株。每两株相邻的花之间相距2米。随堂练习1、在新建大桥的一侧，连两头在内以等距离12米为盏距共设电灯33盏。现又重新设计，规定盏距是16米，这样只需设电灯多少盏？2、锯一条直圆柱形的铁条，如果锯成5段需用0.4小时，今把同样的铁条锯成若干等长的小段，共用去90分钟，这样共锯了几段？3、有学生2404人，以4人为一排，排距是3米，以每秒2米的速度前进。穿过一座大桥时，从排头进桥到排尾离桥共用18分钟。这座大桥全长多少米?4、有一个圆形大花坛，周长是180米，每隔18米栽一棵黄杨树，每两棵黄杨之间等距离地栽2棵银杏树。问花坛的周围共栽树多少棵？每两棵相邻的树之间相距多少米？课后作业一个湖泊周长1800米，沿湖泊周围每12米栽一棵柳树，每两棵柳树中间栽一棵桃树和一棵杨树，湖周围每相邻两棵树之间的距离是多少？一根粗细相等的木料锯成0.8米长的小段，锯了若干次共用去1小时30分钟。如果把原木料锯成6小段，则要用2小时30分钟。这根木料长几米？3、参加阅兵式的战士有2100人，平均分成十个大队，队距是6米。每个大队均分成若干排，排距是5米。如果整支队伍的总长是1054米，每排的战士有几人？4、锯木厂把长是60厘米的木料锯成厚3厘米的小段，锯一次平均要20秒，需要多长的时间可锯完？一元钱哪去了小猴、小熊、小狗相约来到街上玩。他们来到超市前一看，一个哈蜜瓜正好30元，于是一人拿10元钱，买了一个瓜。他们刚走出大门，一位营业员跑出来说：“今天我们优惠，只要25元，这是找给你们的5元。”小狗说：“我们分了这5元钱吧！”小熊说：“好！”可小猴说：“这样我们分不完呀！那就一人1元，余下的两块钱再买一包瓜子。”小狗、小熊都说好。

在回来的路上，小熊说：“我们一人花了9元钱，3人就是3乘9等于27元，又买了一包瓜子，一共花了29元，还有一元钱到哪里去了呢？”小猴和小狗说：“是呀！怎么少了一元钱呢？奇怪？”

小朋友们，你们知道这一元钱哪去了吗？原来，27元里面就含有买瓜子的2元，再加上每人分的一元钱，合起来刚好是30元，一点也没错。第十四讲长方形和正方形的周长知识要点长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4例1把两个相同的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长比原来两个正方形的周长之和减少10厘米。拼成的长方形的周长是多少？解：两个相同的正方形拼成一个长方形，如下图所示。10÷2=5cm（5+5×2）×2=15×2=30cm答：这个长方形的周长是30厘米例2把一个长方形分成两个小长方形，两个小长方形的周长之和比原来长方形的周长增加最少12厘米，最多增加20厘米，原来长方形的周长是多少？解：把一个长方形分成两个小长方形，一般有以下两种分法，如下图。一种是沿着宽分割，一种是沿着长分割。（20÷2+12÷2）×2=（10+6）×2=16×2=32cm答：原来长方形的周长是32厘米。例3在一个周长是26厘米的长方形内有一条线段把这个长方形分成了一个正方形和小长方形（如图），已知小长方形的宽是3厘米，求正方形的周长是多少厘米？解：（26÷2-3）÷2=10÷2=5cm5×4=20cm答：正方形的周长是20厘米。例4如右图，一个正方形是由4个同样的长方形和一个小正方形围成的，已知长方形的长是8分米，小正方形的边长是4分米，求大正方形的周长。解：（8-4+8）×4=12×4=48dm答：大正方形的周长是48分米。例5求下列图形的周长。（单位：厘米）解：求①和②的周长时，采用平移的方法。平移方法如下图：①（12+8）×2=40（厘米）②（24+8）×2+2×2=68(厘米).课堂练习1、有两个同样的长方形，长是宽的2倍。把它们拼成一个长方形，周长最少减少12厘米。拼成的长方形的周长是多少厘米?2、把两个相同的长方形拼成一个正方形，周长减少10厘米，这个正方形的周长是多少厘米?3、把一个长方形分成三个大小一样的正方形，三个正方形的周长之和比原来长方形的周长增加了12分米，原来长方形的周长是多少分米？4、求下列图形的周长。(单位：分米)课后作业1、一个长方形周长是60厘米，宽是长的一半，这个长方形的长和宽各是多少厘米?2、在一张周长是30厘米的长方形