2023-2024学年安徽省池州市高二上数学期末经典试题含解析

2023-2024学年安徽省池州市高二上数学期末经典试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若正实数、满足，且不等式有解，则实数取值范围是（）A.或 B.或C. D.2．已知双曲线，则该双曲线的实轴长为（）A.1 B.2C. D.3．若实数满足约束条件，则最小值为（）A.-2 B.-1C.1 D.24．如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（）A. B.C. D.5．在中，已知，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形6．在四面体中，点G是的重心，设，，，则（）A. B.C. D.7．如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.8．等比数列的公比为，则“”是“对于任意正整数n，都有”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件9．若圆与圆相切，则的值为（）A. B.C.或 D.或10．若双曲线（，）的焦距为，且渐近线经过点，则此双曲线的方程为（）A. B.C. D.11．某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）A.0.9 B.0.8C.0.7 D.0.612．抛物线上点的横坐标为4，则到抛物线焦点的距离等于（）A.12 B.10C.8 D.6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为______.14．已知函数的单调递减区间是，则的值为______.15．设双曲线(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率16．为和的等差中项，则_____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，正三棱柱中，D是的中点，.（1）求点C到平面的距离；（2）试判断与平面的位置关系，并证明你的结论.18．（12分）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，设，求数列的前n项和.19．（12分）已知抛物线C的方程是.（1）求C的焦点坐标和准线方程；（2）直线l过抛物线C的焦点且倾斜角为，与抛物线C的交点为A，B，求的长度.20．（12分）如图所示，在正方体中，点，，分别是，，的中点（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的大小21．（12分）已知圆C：，圆C与x轴交于A，B两点（1）求直线y＝x被圆C所截得的弦长；（2）圆M过点A，B，且圆心在直线y＝x+1上，求圆M的方程22．（10分）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，与轴垂直，且（1）求椭圆的方程；（2）若点在椭圆上，且，求的面积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为正实数、满足，则，即，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，因为不等式有解，则，即，即，解得或.故选：A.II卷2、B【解析】根据给定的双曲线方程直接计算即可作答.【详解】双曲线的实半轴长，所以该双曲线的实轴长为2.故选：B3、B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为故选：B4、D【解析】利用空间向量的加、减运算即可求解.详解】由题意可得故选：D5、B【解析】利用诱导公式、两角和的正弦公式化简已知条件，由此判断出三角形的形状.【详解】由，得，得，由于，所以，所以.故选：B6、B【解析】结合重心的知识以及空间向量运算求得正确答案.【详解】设是中点，.故选：B7、B【解析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B8、D【解析】结合等比数列的单调性，根据充分必要条件的定义判断【详解】若，，则，，充分性不成立；反过来，若，，则时，必要性不成立；因此“”是“对于任意正整数n，都有”的既不充分也不必要条件.故选：D9、C【解析】分类讨论:当两圆外切时，圆心距等于半径之和；当两圆内切时，圆心距等于半径之差，即可求解.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为.①当两圆外切时，有，此时.②当两圆内切时，有，此时.综上，当时两圆外切；当时两圆内切.故选：C【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解答两圆相切问题时易忽略两圆相切包括内切和外切两种情况.解答时注意分类讨论，属于基础题.10、B【解析】根据题意得到，，解得答案.【详解】双曲线（，）的焦距为，故，.且渐近线经过点，故，故，双曲线方程为：.故选：.【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生对于双曲线基本知识的掌握情况.11、B【解析】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有8组，即求.【详解】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有：812,832,569,683,271,989,537,925,故8个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.故选：B.12、C【解析】根据焦半径公式即可求出【详解】因为，所以，所以故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求出坐标，根据给条件表示出坐标，利用向量模的坐标表示计算作答.【详解】因，，则，因与同向，则设，因此，，于是得，解得，则，所以向量的坐标为.故答案为：14、【解析】先求出，由题设易知是的解集，利用根与系数关系求m、n，进而求的值.【详解】由题设，，由单调递减区间是，∴的解集为，则是的解集，∴，可得，故.故答案为：15、e＝2.【解析】先求出直线的方程，利用原点到直线的距离为，，求出的值，进而根据求出离心率【详解】由l过两点(a,0)，(0，b)，得l的方程为bx＋ay－ab＝0.由原点到l的距离为c，得＝c.将b＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.解关于的一元二次方程得＝或.∵e＝，∴e＝或e＝2.又0<a<b，故e＝＝＝>.∴应舍去e＝.故所求离心率e＝2.【点睛】本题考查双曲线性质，考查求双曲线的离心率常用的方法即构造出关于的等式，属于中档题16、【解析】利用等差中项的定义可求得结果.【详解】由等差中项的定义可得.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）平行，证明过程见解析.【解析】（1）利用等体积法即可求解；（2）利用线面平行判定即可求解.【小问1详解】解：正三棱柱中，D是的中点，所以，，正三棱柱中，所以又因为正三棱柱中，侧面平面且交线为且平面中，所以平面又平面所以设点C到平面的距离为在三棱锥中，即所以点C到平面的距离为.【小问2详解】与平面的位置，证明如下：连接交于点，连接，如下图所示，因为正三棱柱的侧面为矩形所以为的中点又因为为中点所以为的中位线所以又因为平面，且平面所以平面18、（1）（2）.【解析】(1)由数列的前n项和与通项公式之间的关系即可完成.(2)由错位相减法即可解决此类“差比”数列的求和.【小问1详解】由，得当时，，上下两式相减得，，又当时，满足上式，所以数列的通项公式；【小问2详解】由（1）可知，所以，则，上下两式相减得，所以.19、（1）焦点为，准线方程：（2）【解析】（1）抛物线的标准方程为，焦点在轴上，开口向右，，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）现根据题意给出直线的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可【小问1详解】（1）抛物线的标准方程是，焦点在轴上，开口向右，，∴，∴焦点为，准线方程：.【小问2详解】∵直线l过抛物线C的焦点且倾斜角为，，∴直线L的方程为，代入抛物线化简得，设，则，所以故所求的弦长为1220、（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接，可得，从而可证四边形是平行四边形，从而证明结论.（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角.【小问1详解】如图，连接在正方体中，且因为，分别是，的中点，所以且又因为是的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以【小问2详解】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系设，则，，，，，，设为平面的法向量因为，，，所以令，得设直线与平面所成角为，则因为，所以直线与平面所成角的大小为21、（1）；（2）.【解析】（1）根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解（2）根据已知圆的方程，令y＝0，结合韦达定理，求出圆心的横坐标，即可求出圆心，再结合勾股定理，即可求出半径【小问1详解】∵圆C：，∴，即圆心为(－1,1)，半径r＝3，∵直线y＝x，即x－y＝0，∴圆心(－1,1)到直线x－y＝0的距离d＝，∴直线y＝x被圆C所截得的弦长为＝【小问2详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），∵圆C：，圆C与x轴交于A，B