华罗庚难题的多种答案

华罗庚难题的多种答案和分角定理 作者:高春阳 一“不可能”一词的作用是反面指导二十世纪五十年代，华罗庚教授提出:用圆规直尺三等分任意角和步行上月球一样是不可能的。就因为三分角难题是由华罗庚提出来的，中国人把它叫做“华罗庚难题”或“华庚数学发展计划”都是无可非议的。但却有人造谣说“华罗庚否定了三分角”，并以此为由对三分角答案不鉴定对和错，就给予“毁稿”或“退稿”。这股子反科学势力不可等闲视之。否定论不能成立的理由如下：第一所有的否定词都和“×”号一样，只能用来否定错误，不能用来否定正确。这是因为否定错误是指导改正的意思，这是反面指导。和肯定正确从正面指导的作用是一致的，所以同样是科学。如果用来否定正确，这就和肯定正确明显的截然相反了，所以是反科学。如果自己不知道否定词的用法，就是自己糊涂，没知觉。华罗庚明明是聪明绝顶的数学家导师，怎么会成了糊涂透顶对正确答案也要否定的反科学者呢？大脑还没失灵的人们不觉得可疑吗？第二三分角答案是近几年交上来的，毁稿退稿事件只能是现代人干的.硬说华罗庚五十年前否定了它，这和现代人被杀硬说凶手是两千年前的秦始皇岂不一样荒唐么!仅凭否定和提出这两事之间的年代差距就足已说明华罗庚不可能是正确答案的否定者。第三难题中明显地摆着“一样”两字。请问否定论者：“你说宇宙飞船上月球的事實也一样地被华罗庚否定了呢？还是上月球的事实推翻了华罗庚的先知预断呢？也许你已经觉察到这两种说法都像是自己在诬陷华罗庚不够教授导师资格。所以又改为第三种说法：只否定了三分角（没否定上月球）。哪知这最后的说法恰好又是自己推翻了原题中的“一样”。就因为否定论的三种说法都像是仇敌故意和华罗庚势不两立。找不出半点一致的见解来。所以否定论不成立。第四如果不想让人研究解答，最好的办法是不提，不让人想到此事。既然问题被提出并引起了讨论研究热潮，再加上一百个否定词也没法杜绝个别爱好者的研究兴趣。这就是说，提出的目的绝对不是否定。如果提出的目的是为了否定，这不正好是“此地无银三百两”的笑话中被讥笑的两个写字条者么！表面看来，先提出难题然后再否定，和先埋下银子然后再否认有银的形式是一样的，但本质并不一样。埋银者否认有银，是为了隐瞒埋银。无银字条恰好暴露了有银的事实。这种自相矛盾弄巧反拙当然是笑料。华罗庚提出难法有可能”这是常理，他有指导行人另找新路另想新法的意思。同理，华罗庚在用“规尺”和“步行”的思路上插了“不可能”通的路标，正是从反面指导后人“另找通路或者另加条件”的意思。第八《易经》又说“仁者见之谓之仁，智者见之谓之智”。含意是对同一事物，由于人们各自的世界观与他人不同，也就产生了不同观点。现实中同样是对待华罗庚的难题,有人说指导了研究；有人说否定了研究，正是由世界观不同造成的。乍看起来，似乎双方都是以己度人，但是揣度得是否和被揣度者一致，就得靠自知知觉来决定了。实践自验就是破除迷信产生自知知觉的唯一方法。第九宇宙飞船登月的成功，确实不是只靠的步行；三分角答案的成功，也确实不是只靠的规尺。两者一样地证明了华罗庚的预言占断指导是正确的。总而言之，不管从理论还是从实践，两个方面都充分证实了，华罗庚难题中的“不可能”一词，并没否定三分角的研究，而是从反面指导了研究。它对难题的提示指导是：要多动脑想新法和多动手实验（不要只靠规尺）。因为人有两件宝，双手和大脑。这和毛泽东强调“思想第一”的辩证唯物论的思想指导正好一致。二难题答案的磨难经历早在1978年，笔者就探索出第一种作图方法。答案多次寄出，总是石沉大海渺无音信。后来访问了几个大学生才知道，据说是因为“华罗庚否定了三分角”，各家报刊杂志一律不受理三分角稿件。大概是投进废纸篓了，没人管你对和错。因为没人敢推翻华罗庚的意见。这股子强大阻力逼得笔者走投无路。不仅没有躺倒不起，反而激起了越难越钻的研究兴趣。直到1998年的二十年间，竟然探索出十八种不同的答案。其中专用工具法一种，内外角关系法九种，直角尺法两种，商除法一种，平行线法一种，解析几何法两种，三角函数公式法两种。也许还有另外的作法，但笔者结束了探索。是因为意外地求得一个分角公式，也可以叫“分角定理”。对已知角的任意等份都可以随手分成，应该结束了。在华罗庚提出难题的短时期内，就掀起了全国各大中学校普遍参与的研究热潮。这当然是一项极大地人才浪费。华罗庚赶紧说：不要钻牛犄角尖了，再钻也是枉费心机。从“牛角尖”和“枉费心机”看，明显地是指否定了那些，只拿着规尺不划图的和想用量角器或钟表盘的，等等错误行为。但是，那些科学概念不够稳固的学生逐渐倾向了否定论的一边，自愿放弃了研究，从而使热潮消退了。只剩下极少数不攻克难题就吃不好饭睡不好觉的兴趣特浓者，不声不响的私下持续研究了。由此看来，以否定代替肯定从反面进行指导的办法，正是华罗庚为了既要选拔到爱钻难题者又不会造成人才浪费，并且还能够使世界观不同的两类人自行分开而特意设计的巧妙考题。这说明华罗庚的被人误解是他在提出难题之前就自知自愿的。所以他一定不想追究否定论者造成的名誉损失责任，只要能认识到自己的错误就行了。华罗庚明知道自己一定会被人误解却偏要这么做，可说明两点:,一是说明华罗庚为发展数学不计较个人名利得失的好思想是真实的。另一点是他深知自己的反面指导一定能选拔到攻克难题者，也一定会有明白自己内心世界的知心朋友替自己做好鉴定验收工作。误解只是暂時的，只要鉴定一出，报刊上出现了《华罗庚难题破解成功》的新闻消息，否定论自然就会舌硬声噎了。知心朋友一定和华罗庚一样在没见到正确答案之前，不能道破天机。因此笔者不知道他是谁，也不知道他在哪里，没法取得联系。被拍无奈，只好在十八种方法中先拿出两种发表在网上，让广大网友共同看一看，答案中的三分之一角是不是真正的三分之一。希望广大网友多提意见，畅所欲言。能代替华罗庚做鉴定的知心朋友自然就容易出现其中了。欢迎网友多多批评，各抒己见笔者2012年12月三难题的解答对象任意角包括直角、钝角、锐角，通常写作看k·+α或者k·90°+α。其中k是整数。α是0°到90°之间的弧长当α=0时，若k=1则表示直角。若k>1则表示多个直角。当α≠0时，若k≠0则表示钝角。若k＝0则表示锐角。所以，k`·+α或k·90°+α可以表示任意角。由此可知任意角的三分之一就是：是k·+或k··30°+30（即）角的作图方法,<平面几何》中早已讲过。只有角的做图方法，《平面几何>中没讲；《三*角学》中没讲；《解析几何》中也没讲。因此，“三等分角”就成了举世闻名的数学难题。这就是华罗庚难题所要解答的对象。用数学语言的形式表达出来，就是：已知:∠AOB是小于90°的角，求做：∠AOB提示：要多动脑想新法（不要只靠园规直尺）。四难题的多种答案第一法专用工具法专用工具，顾名思义，就是专门为三等分任意角而设置的工具。有了它就可以轻而易举地做出已知角的三分之一。另外，也可以用它来检验已经做成的三分之一角是否正确。因此，该工具取名叫做“三分角器”。三分角器的制作简便，人人可做，因此可以自制。（一）三分角器的制做设计原理三分角器是由两条等长的短尺和两条带滑槽的长尺，并由两个固定轴和两个滑动轴连接为一体而成的。详情可参看图1图中MN和AP分别是带滑槽的长尺。OB和OC分别是短尺。AB=OB=OCB和O两点是固定转轴。A和C两点是滑动转轴。A可沿着MN尺上的滑槽滑动。C可沿着AP尺上的滑槽滑动。（二）三分角器的使用方法一手捏者A轴，另一手捏着C轴，轻微用力推拉。三分角器上的各角就随着变动起来。当∠CON的大小正好等于已知角时，∠BAO就是已知角的.（三）证明在△BAO中因为AB=OB所以△BAO是等腰三角形。因为等腰三角形的两底角相等，所以∠BAO=∠BOA设∠BAO=α因为三角形的外角等于和它不相邻的两内角之和，所以∠CBO=∠BAO+∠BOA=α+α=2α同理，因为OC=OB∠BCO=∠CBO=2α∠CON是△CAO的外角所以，∠CON=∠BAO+∠BCO=α+2α`` =3α也就是∠CON=3∠BAO两边同时除以3即得∠CON=∠BAO三分之一角得证第十五法解析几何法（一）利用三分角曲线做图《一》定义：一个动点，它到某一定点的距离，正好是它到某一定直线距离的2倍。这个动点的轨迹就叫做“三分角曲线”。在《解析几何》中曾讲过“抛物线”，其定义是：一个动点，它到某一定点的距离，正好和它到某一定直线的距离相等。这个动点的轨迹就叫做抛物线。我们把这两条曲线放在一块做比较，可以明显地看出：抛物线上两个距离是相等的，是1：1的关系；三分角曲线上两个距离是不等的，是2:1的关系。由此看来，三分角曲线不是前人讲过的东西，而是新发现。三分角曲线是否真的存在呢？需要证明。《二》分析：请看图15.拿起直尺，划出横线MN。放下直尺，再拿起圆规，在直线MN上任意选一点O为园心，任意长为半经画园弧交MN于A。再调整圆规间距，以A为起点截取三段圆弧。以三段圆弧的总长小于（90°）为准。第一段为，第二段为，第三段为。用直尺连接DB。再用圆规和直尺做BH⊥ON,，H为垂足;。做DE⊥ON,，E为垂足。因为,,是用同一园规间距量截的，,同一间距就是等长的弦。弦长相等所对的弧长和圆心角也相等。所以AB=BC=CD∠AOB=∠BOC=∠COD∠DOB=2∠AOB或者∠AOB=∠DOB由《三角学》知识可知： BH即是B点到MN的距离，也是∠AOB的正弦Sinα.DB即是B点到D点的距离，也是两个α角的两个正弦，故写做2Sinα.由此可见，B点到D点的距离,正好是它到直线MN的距离的2倍。因为3α角是0°到90°之间的任意角，它就有也许变大也许变小的可能。又因为此法是以3α角的正弦为标准来求得半径长度，从而来确定角大小的，所以，也就出现了B点到DE之间距离可大可小的变化性质。当3α达到时（90°），,B点到DE的距离最大，半径最小。当3α从大变小时，由于弓弦和弓背之间的距离（即正矢）缩短，DE和BH都会向着接近A的切线靠近。仅仅是速度快慢不同。当3α小到0°时，DE追及了BH，和过A点的切线合成了同一条直线，也就是B点在DE上。就因为BH和DE的间距是大小可变的，才可以把B点看做动点，点动成线当然就会出现轨迹。所以三分角曲线是确实存在的。《三》三分角曲线的画法和用法图16中∠AOB是已知角，AB弧是已知角所对的圆弧。求做：∠AOB做法：（1）在A点钉上一个小园钉在木质直角尺的近直角顶点处也钉上一个小圆钉。把长木尺或直木条放在OB线下，让直角尺上的钉子正好对准OB直线，使木尺与OB平行，两端钉牢。（2）找两根伸缩率极低的软线。每根线的一端各自双成圆扣，结节。再把线的圆扣端拉成等长，在另一端适当处打结。（3）把一根软线的端扣套在A点的园钉子上，然后再绕过铅笔；把另一根软线的端扣套在铅笔上，然后绕过直角尺上的园钉子再折回来，绕过铅笔。这样铅笔到直线OB的距离正好是它到A点距离的二分之一。（4）自己一手握住铅笔，另一手拉紧软线；让助手手握直角尺，随着铅笔沿着OB方向慢慢滑动。自己牵动软线，使两个距离缩短或增长，铅笔保持贴紧直角尺，画出的曲线就是三分角曲线。以角的顶点A为圆心，以OA为半径画圆弧交分角曲线于C点连接OC。∠BOC就是已知角的三分之一。《四》证明：连接OC。做CH⊥OB，H为垂足。△COH即是直角三角形连接AC,找出AC的中点D，连接OD。因为OA和OC都是同一半径所以△AOC是等腰三角形。因为OD是等腰三角形底边的中点连线所以OD是△AOC底边AC的垂直平分线因此△AOC可分为△AOD