对数导数下区域的叶片性径向

对数导数下区域的叶片性径向

d是复平面c中至少包含两个边界点的区域。d（z）是以四为单位面积测量的密度函数。当f是d中的局部单体的全纯函数时，f的schwarz导数被设置为。Sf=(f‴f′)´-12(f″f′)2=f‴f′-32(f″f′)2.(1)f的对数导数(pre-Schwarz导数)为[f]=f″f′.(2)定义|Sf|D=supz∈D{|Sf|η-2D(z)}(3)及|[f]|*D=supz∈D{|[f]|η-1D(z)}(4)区域D的Schwarz导数单叶性内径和对数导数单叶性内径分别定义为δ(D)=sup{a∶|Sf|D≤a⇒f在D内单叶},(5)δ1(D)=sup{a∶|[f]|*D≤a⇒f在D内单叶},(6)令S={Sf∶f在单位圆U内共形},(7)S1={[f]∶Sf∈S,f(0)=0,f′(0)=1}.(8)同时令T和T1分别表示S和S1的子集,其元素所对应的函数f能拟共形延拓到ˉC.Τ是Bers万有Teichmüller空间,而T1则是万有Teichmü-ller空间的一个新模型.设γ是一条Jordan曲线,可将平面分成两个连通的分支A和B,若A到B的同胚f是反向拟共形映射(即ˉf是通常意义下的拟共形映射),并且保持γ上的每一点不动,则称f为拟共形反射.Nihari使用Schwarz导数研究问题:一个局部单叶的解析函数在怎样的条件下一定是整体单叶的.这个纯属经典解析函数论的问题竟与拟共形映射理论和Teichmüller空间理论有关!这种联系是由Ahlfors和Gehring建立的.Ahlfors得到定理1设f是单位圆U局部单叶的全纯函数,σ是一个连续函数且满足:①在U内σz和σ几乎处处存在;②在∂U上1σ=0;③在ˉU上σˉzσ2≠0.则不等式|σf″f′+σ2-σz|≤k|σˉz|‚0≤k≤1.(9)蕴含f能1+k1-k拟共形延拓到全平面.对于上半平面和角域,定理1也成立.此后,Gehring,Pommerenke,Becker和Zhuravlev使用对数导数得到很多关于单叶性判据和拟共形延拓的结果.Becker证明了单位圆U的对数导数单叶性内径至少是1.随后,他和Pommerenke证明了1是精确的,即δ1(U)=1.Zhuravlev证明了δ1(H)≥1,H为上半平面.陈纪修等也证明了1是精确的.程涛和陈纪修给出以单位圆和上半平面为基础的任意区域的对数导数单叶性内径下界的几个公式.定理2设g(z)是单位圆U上的共形映射,且D=g(U),则δ1(D)≥1-supz∈U|z2(g′-1)|,(10)及δ1(D)≥1-supz∈U|g′g(z-1)|.(11)定理3设g(z)是上半平面H上的共形映射,且D=g(H),则δ1(D)≥1-supz∈Η|g′-1|(12)及δ1(D)≥1-supz∈Η|g′g(z-1|.(13)本文以角域为基础,给出了任意区域的对数导数单叶性内径下界及上界的计算公式.1fd-z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z定理4设g(z)是角域A={z:0<arg<απ,0<α<2}上的共形映射,且D=g(A),则δ1(D)≥1-supz∈A|α(g′-1)+(α-1)(ˉzz)α-1|.(14)其中,ˉzz的幂函数在A上取主值分支.【证】取σ=g′z1-1αˉz1α-z,则σz=g″z1-1αˉz1α-z-g′(1-1α)z-1αˉz1α-z(z1-1αˉz1α-z)2,(15)σˉz=-g′1αz1-1αˉz1α-1(z1-1αˉz1α-z)2.(16)将上述两式代到式(9)得|g′z1-1αˉz1α-zf″f′+(g′)2(z1-1αˉz1α-z)2-g″z1-1αˉz1α-z+g′(1-1α)z-1αˉz1α-1(z1-1αˉz1α-z)2|≤k|g′1αz1-1αˉz1α-1(z1-1αˉz1α-z)2|‚(17)在式(17)两边同乘以|(z1-1αˉz1α-z)2g′|并合并得|(z1-1αˉz1α-z)(f″f′-g″g′)+g′+(1-1α)z-1αˉz1α-1|≤k1α.(18)由定理1知:对于角域A内任意单叶全纯函数f,不等式(18)成立意味f具有1+k1-k拟共形延拓.那么,若f满足不等式|(z1-1αˉz1α-z)(f″f′-g″g′)|≤infz∈A{k1α-|g′+(1-1α)z-1αˉz1α-1|}(19)则f一定满足式(18),即f是单叶的.又有1ηA(z)=2αΙm(z1α)|z|1α-1=2αrsinθα,(20)其中,z=reiθ,且|z1-1αˉz1α-z|=|z|1-1α|z|1α|1-z1αˉz-1α|=r|1-e2θαi|=2r|sinθα|.(21)在式(19)两边同乘以α并根据式(20)和式(21)得|1ηA(z)(f″f′-g″g′)|≤infz∈A{k-|g′α+(α-1)z-1αˉz1α-α|}.(22)由于|[fog-1]|*D=|[f]-[g]|*A=supz∈A|1ηA(z)(f″f′-g″g′)|‚(23)则δ1(D)≥sup0≤k<1infz∈A{k-|g′α+(α-1)z-1αˉz1α-α|}=1-supz∈A|α(g′-1)+(α-1)(ˉzz)1α|.(24)这里ˉzz的幂函数在A上取主值分支.定理5设g(z)是角域A={z:0<arg<απ,a<α<2}上的共形映射,且D=g(A),则δ1(D)≥1-supz∈A|g′gαz-1|.(25)【证】取σ=g′gzz1-1αˉz1α-z,则σz=g″g-(g′)2g2zz1-1αˉz1α-z+g′g1αz1-1αˉz1α(z1-1αˉz1α-z)2‚σˉz=g′g1αz1-1αˉz1αz(z1-1αˉz1α-z)2.(26)将上述两式代到式(9)得|g′gzz1-1αˉz1α-zf″f′+(g′g)2z2(z1-1αˉz1α-z)2-g″g-(g′)2g2zz1-1αˉz1α-z+g′g1αz1-1αˉz1α(z1-1αˉz1α-z)2|≤k|g′g1αz(z1-1αˉz1α-z)2|.(27)在式(27)两边同乘以|(z1-1αˉz1α-z)2zgg′|得|α(z1-1αz¯1α-z)(f″f′-g″g′)+g′gαz+g′gα(z1-1αz¯1α-z)-z-1αz¯1α|≤k.(28)由定理1知:对于角域A内的任意单叶全纯函数f,不等式(28)成立意味f具有1+k1-k拟共形延拓.那么,若f满足下面不等式|α(z1-1αz¯1α-z)(f″f′-g″g′)|≤infz∈A{k-|g′gαz+g′gα(z1-1αz¯1α-z)-z-1αz¯1α|}‚则f一定满足式(28),即f是单叶的.又有|α(z1-1αz¯1α-z)|=1ηA(z),(29)且根据式(23),得δ1(D)≥sup0≤k<1infz∈A{k-|g′gαz+g′gα(z1-1αz¯1α-z)-z-1αz¯1α|}=sup0≤k<1infz∈A{k-|g′gαz1-1αz¯1α-z-1αz¯1α|}=sup0≤k<1infz∈A{k-|g′gαz-1|}=1-supz∈A|g′gαz-1|.(30)推论设g(z)是角域A={z:0<arg<απ,0<α<2}上的共形映射,且D=g(A).对在A内局部单叶的任意全纯函数f,若|[f]-[g]|A*≤δ1(D),(31)则f在A内单叶.定理6设g(z)是右半平面M={z:Re(z)>0}上的共形映射,且D=g(M),则δ1(D)≤1+2supz∈Μ{Re(z)|[g]|}.(32)【证】根据文献知:对任意ε>0,存在fε在M上非单叶,并且使得2Re{zf″εf′ε}≤1+ε.(33)取fε*=fεog-1,那么fε*在D上也非单叶.又由于|[fε*]|D*=|[fε*og-1]|D*=|[fε*]-[g]|Μ*=supz∈Μ{|[fε]-[g]|2Rez}≤2supz∈Μ{Rez|[fε]|}+2supz∈Μ{Rez|[g]|}≤1+ε+2supz∈Μ{Rez|[g]|}‚(34)故δ1(D)≤1+2supz∈Μ{Rez|[g]|}.(32)定理7设椭圆A的长半轴长为|A|+|B|,短半轴长为|A|-|B|‚A‚B∈C,且|A|>|B|,中心在原点,那么关于椭圆R的拟共形反射为Η(z)=A|A|2-|B|2Az¯-B¯z+B|A|2-|B|2A¯z-Bz¯.(35)【证】取f(z)=Az+Bz¯,由于|A|>|B|,则f为从单位圆到椭圆R的拟共形映射.设w=Az+Bz¯,那么有w¯=A¯z¯+B¯z,联立得{w=Az+Bz¯‚w¯=B¯z+A¯z¯.(36)由于|A|>|B|,则|ABB¯A¯|=|A|2-|B|2>0,故z=|wBw¯A¯||ABB¯A¯|=A¯w-Bw¯|A|2-|B|2.(37)令g(w)=f-1(w),则有g(w)=A¯w-Bw¯|A|2-|B|2,又令h(w)=1g(w)¯,那么h(w)=|A|2-|B|2Aw¯-B¯w.定义H(z)=g-1oh(z),则Η(z)=A|A|2-|B|2Az¯-B¯z+B|A|2-|B|2A¯z-Bz¯.(35)那么H(z)为R内部到外部的同胚,反向拟共形且对任意z∈∂R有:H(z)=z.故H(z)为关于椭圆R的拟共形反射.2双对结构函数下的东南角面在定理4和定理5的结果中取α=1,其结论恰好是定理3的结果.若取g(z)=z,根据定理4或定理5知道角域