基于物驱抽油杆柱纵向振动仿真的非线性波动方程

基于物驱抽油杆柱纵向振动仿真的非线性波动方程

抽油杆柱载荷特性计算机模仿技术广泛应用于驱油机井的动态模拟和优化设计中，在实际应用中取得了显著成效。抽油井动态参数计算机仿真技术的关键是建立抽油杆柱纵向振动与示功图的仿真模型，目前广泛应用波动方程描述抽油杆柱的纵向振动。然而，对于聚合物驱抽油机井，油井产出液不再是牛顿流体，而是黏弹性非牛顿流体。油井产出液流变性的变化不仅影响杆柱液体粘滞阻力，而且也影响抽油杆柱的振动特性。目前对聚合物驱抽油机井杆柱的载荷特性及计算方法进行了大量研究，研究的重点及现状概括为：(1)建立了杆管环空内黏弹性流体本构方程与动量方程以及抽油杆柱法向力的计算方法，研究了法向力对杆管偏磨的影响以及防偏磨措施的优化设计，研究成果广泛用于油田实际，取得了显著效果；(2)考虑了含聚浓度对油井产出液视粘度的影响，但仍然应用牛顿层流理论所建立的公式计算杆柱液体摩擦力，杆柱液体摩擦力的计算模型尚需完善；(3)在计算杆柱负荷时，主要考虑了杆柱所受的静负荷、摩擦负荷、惯性负荷，未考虑振动负荷的影响，聚合物驱抽油机井杆柱纵向振动的研究尚属空白。为此，本文拟在改进聚合物驱抽油机井杆柱液体粘滞阻力计算模型的基础上，综合考虑杆柱所受的静负荷、摩擦负荷、惯性负荷和振动负荷，建立聚合物驱抽油机井杆柱纵向振动与示功图的仿真模型。1环空速度分布优化大量试验表明，聚合物驱抽油机井产出液为非牛顿流体，其流变性符合幂律流规律，可以作为幂律流体进行研究。为便于研究，在建立杆柱液体摩擦力的计算模型时，作如下假设：(1)油管柱与抽油杆柱为刚体，不考虑其弹性变形；(2)油管柱静止，抽油杆柱作匀速运动，运动速度为vr；(3)竖直油井；(4)抽油杆柱与油管同心；(5)环空内为幂律流体，均相不可压缩。幂律流体本构方程为：动量守衡方程为：式中,f为流体在油套环空内流动水力摩阻所产生的压力梯度，Pa/m由式(1)和式(2)得环空幂律流动的径向速度梯度为：式中,C为待定常量。当抽油杆柱下行时，由于压差流和脉动流的叠加，幂律流体环空流动的速度分布形式如图1所示。图中，Rr为抽油杆半径，m;Rt为油管内径，m;Ro为环空幂律流体速度零处的半径，m;Rm环空幂律流体速度最大处的半径m。由于r=Rm时，dv/dr=0，所以式(3)中待定常数C=-Rm22，故式(3)简化为：则幂律流体的环空速度分布规律为：上式满足边界条件，即：由图1，速度零点Ro(Rr≤Ro≤Rm)处可得如下方程：当抽油杆柱向下运动时，从环形空间被排出的液体体积流量与杆柱下行所排出的液体体积流量相等，即式(6)、(7)、(8)是关于参数Ro、Rm、f的非线性代数方程组。为使上述非线性代数方程组的解具有实际物理意义，还应满足条件，即：式(6)、(7)、(8)、(9)是关于参数Ro、Rm、f的非线性代数方程组，无法直接得到解析解，应用拉格朗日乘子法求其最优解。令=[x1x2x3]=[RoRmf]，由式(6)得拉格朗日乘子法目标函数为：不等式约束条件：由式(6)、(7)、(8)可得如下等式约束条件：通过上述优化数学模型，可以求得参数Ro、Rm和f，将Ro、Rm和f代入式(5)，可以求得环空内幂律流体的速度分布规律，进而可以建立单位长度杆柱液体摩擦力的计算公式：将上式整理可得：式中，λ为流体对杆柱的阻力系数，(N/m)(s/m)n。阻力系数只和抽油杆柱结构参数、油管柱结构参数、幂律流流变参数有关，由下式计算：2油挤出方程法的垂直振动模型2.1纵向振动的数学模型对于聚合物驱抽油机井，由于抽油杆柱一般是采用全井扶正，因此可以假设抽油杆柱与油管同心，即抽油杆柱的法向力为零。对于铅垂直井，用抽油杆柱轴向坐标x表示抽油杆柱上任意横截面的位置，用u(x,t)表示抽油杆柱x处横截面在时刻t的位移，描述抽油杆柱纵向振动的数学模型为：式中,c为声波在抽油杆中的传播速度,m/s;Er为抽油杆材料弹性模量，N/m2；ρr为抽油杆材料密度，kg/m3;Ar为抽油杆的横截面积，m2；υ为抽油杆柱纵向振动的阻尼系数，ν=λ/(ρrAr)，1/s;u*为悬点运动位移，m;Pp(t)为作用于抽油泵柱塞上的液体负荷，N在式(21)中，悬点位移u*(t)、泵负荷时间函数PP(t)的具体模拟方法见文献。和水驱抽油机井杆柱纵向振动的仿真模型比较，式(21)中的液体摩擦力项含有速度的幂律指数，为非线性偏微分方程。为区别于水驱抽油杆柱纵向振动的波动方程，本文将其称为非线性波动方程。2.2抽油杆柱上节点的位移将抽油杆柱沿轴线离散成I个单元。各单元具有相同的步长∆x；将时间t离散成步长为∆t的J+1个节点，ui,j表示抽油杆柱上的节点i在时刻j的位移。根据牛顿差分公式可得式(21)中第一式非线性波动方程的差分形式：式中i=1,2，…，I-1;j=2,3，…，J-1悬点运动边界条件的差分形式、井下载荷边界条件的差分形式以及初始条件的处理见参考文献，本文不再赘述。式(22)是关于ui,j的非线性超越代数方程，无法求得解析解，本文采用迭代法求其数值解。3等效阻尼系数的确定当用式(22)求抽油杆柱的位移ui,j时，由于需要进行大量的超越代数方程的迭代求根计算，严重降低了仿真速度，仿真计算耗时较长。为此，进一步探索将非线性波动方程简化为常规线性波动方程的可行性，即假设式(21)中的n=1，则将非线性波动方程(21)简化成了为常规波动方程。根据简化前后液体摩擦功不变的原则，由下式计算常规波动方程中的等效阻尼系数υe:式中，T为为悬点运动的周期，s式(23)中，是待求量，为此在计算等效阻尼系数时，首先不考虑抽油杆柱的弹性变形，即认为抽油杆柱各截面具有相同的运动速度，并且等于悬点运动速度。为提高仿真精度，可以利用的仿真结果进一步迭代计算。4模拟软件和实用程序4.1悬点最小载荷根据所建立的仿真模型，开发了《聚合物驱抽油机井杆柱纵向振动与示功图的计算机仿真软件》。利用仿真软件对6口聚合物驱抽油机井杆柱纵向振动与示功图进行了仿真。图2、图3分别为1口井的实测与仿真示功图，表1对比列出了6口井悬点最大载荷、最小载荷的仿真与测试结果。表1中，Pmax0为实测悬点最大载荷；Pmin0为实测悬点最小载荷；Pmax1为悬点最大载荷非线性波动方程的仿真结果；δmax1为悬点最大载荷非线性波动方程的仿真误差；Pmax2为悬点最大载荷常规波动方程的仿真结果；δmax2为悬点最大载荷常规波动方程的仿真误差；Pmin1为悬点最小载荷非线性波动方程的仿真结果；δmin1为悬点最小载荷非线性波动方程的仿真误差；Pmin2为悬点最小载荷常规波动方程的仿真结果；δmin2为悬点最小载荷常规波动方程的仿真误差。由表1与图2可得如下结论：(1)幂律流模型悬点最大载荷仿真误差小于±10%，最小载荷仿真误差小于±12%，具有较高的仿真精度，能够满足工程实际应用的要求。(2)简化线性模型悬点最大载荷仿真误差的最大值为12.84%，最小载荷仿真误差的最大值为19.77%，仿真误差明显高于幂律流模型。仿真误差的大小取决于油井产出液的流变参数，对此下面深入讨论。(3)悬点上冲程时，两种模型仿真结果相差较小；悬点下冲程时，两种模型仿真结果相差较大。简化线性模型仿真结果与实测值相比，最大载荷普遍偏低，而最小载荷普遍偏高。4.2不同稠系数时的仿真结果已知某油井基本数据：抽油机型号为CYJ10-3-53HB，使用冲程S=2m，使用冲次N=8min-1，泵径dp=44mm，下泵深度L=1000m，动液面Hd=800m，油压po=0.3MPa，套压pc=0.4MPa，气液比Sp=40m3/m3，抽油杆柱直径dr=22mm，油管内径dt=62mm。当产出液幂律指数n=0.318,0.6530.718，稠度系数为K=10,50,100,200mPa·sn时，分别采用幂律流模型和牛顿流模型计算抽油机悬点最大载荷和最小载荷，计算结果见表2。表2中，δmax12两种模型悬点最大载荷仿真结果相差百分数；δmin12两种模型悬点最小载荷仿真结果相差百分数，其它符号含义与表1相同。由表2可以得出以下结论：(1)当幂律指数一定时，两种模型悬点最大载荷与最小载荷随稠度系数的变化规律相同：悬点最大载荷随稠度系数的增大而增大，悬点最小载荷随稠度系数的增加而减小。(2)当稠度系数一定时，两种模型悬点最大载荷与最小载荷随幂律指数的变化规律是不同的：对于线性简化模型，随幂律指数的增大，悬点最大载荷增大，最小载荷减小；对于幂律流模型，随幂律指数的增大，悬点最大载荷减小，最小载荷增大。(3)幂律指数越小，两种模型计算悬点载荷的差别越大。当幂律指数为1时，即牛顿流体层流流动时，两种模型计算结果是一致的。(4)对于上行程，两种模型载荷计算结果相差较小；而下行程时，两种模型载荷计算结果相差较大。(5)仿真软件的实际应用除考虑精度要求外，运算速度也是一个关键因素，幂律流模型的运算速度远低于简化线性模型，所以对幂律指数较大的区块或油井，可以采用简化线性模型；而对于幂律指数较小的区块或油井，有必要采用幂律流模型。5非线性波动方程模拟(1)建立了聚合物驱抽油机井杆柱液体摩擦力的计算模型。当幂律流产出液幂律指数为n时，杆柱的液体摩擦力与杆柱运动速度的n次幂成正比，阻力系数取决于抽油杆柱结构参数、油管柱结构参数、幂律流的稠度系数与幂律指数；(2)建立了聚合物驱抽油机井杆柱纵向振动的数学模型，其中液体摩擦力项含有速度的幂律指数，该模型为非线性波动方程，并建立了差分形式的非线性波动方程的数值仿真模型；将非线性波动方程线性化，建立了聚合物驱抽油机井杆柱纵向振动的简化线性模型，给出等效阻尼系数的计算方法；(3)开发了《聚合物驱抽油机井杆柱纵向振动与示功图计算机仿真软件》，仿真与实测示功图对比结果表明，所建立的数学模型与计算机软件具有较高的仿真精度，能够满足工程实际应用的要求；(4)仿真结果表明，当幂律指数较