全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法有答案

-.z.全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一〞的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折〞法构造全等三角形．遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转〞法构造全等三角形．遇到角平分线在三种添辅助线的方法，〔1〕可以自角平分线上的*一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折〞，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．〔2〕可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。〔3〕可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的*点作边线，构造一对全等三角形。过图形上*一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移〞或“翻转折叠〞截长法与补短法，具体做法是在*条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将*条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．*线段的垂直平分线，则可以在垂直平分线上的*点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把*点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线〔线段〕造全等例1、，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值围是_________.例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比拟BE+CF与EF的大小.例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.应用：1、〔09崇文二模〕以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．〔1〕如图①当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；〔2〕将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，〔1〕问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。3、如图，在，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC应用：三、平移变换例1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.〔1〕说明BE=CF的理由；〔2〕如果AB=，AC=，求AE、BE的长.应用：1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答以下问题：〔1〕如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(第23题图)OPAMNEBCD(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.例2D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。当绕点D转动时，求证DE=DF。假设AB=2，求四边形DECF的面积。例3如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为；应用：1、四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交〔或它们的延长线〕于．当绕点旋转到时〔如图1〕，易证．当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，不需证明．〔图〔图1〕〔图2〕〔图3〕2、〔西城09年一模〕:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．图1图2图3〔=1\*ROMANI〕如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时；〔=2\*ROMANII〕如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜测〔=1\*ROMANI〕问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证明；〔=3\*ROMANIII〕如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，假设AN=，则Q=〔用、L表示〕．参考答案与提示一、倍长中线〔线段〕造全等例1、〔“希望杯〞试题〕，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值围是_________.解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知AB-BE<2AD<AB+BE故AD的取值围是1<AD<4例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比拟BE+CF与EF的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一〞法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,显然BG＝FC，在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知EG＝EF在△BEG中，由三角形性质知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,显然DG＝AC，∠GDC=∠ACD由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC在△ADB与△ADG中，BD＝AC=DG，AD＝AD，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE应用：1、1、〔09崇文二模〕以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．〔1〕如图①当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；〔2〕将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，〔1〕问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．解：〔1〕AM⊥DE，AM=DE；〔2〕结论仍然成立，

证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，连接BF，

∵DA⊥BA，EA⊥AF，

∴∠BAF=90°+∠DAF=∠EAD，

在△FAB与△EAD中：

FA=AE，∠BAF=∠EAD，BA=DA，

∴△FAB≌△EAD〔SAS〕，

∴BF=DE，∠F=∠AEP，

∴∠FPD+∠F=∠APE+∠AEP=90°，∴FB⊥DE，

又CA=AF，CM=MB，

∴AM∥FB且AM=FB，

∴AM⊥DE，AM=DE。二、截长补短1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC解：〔截长法〕在AB上取中点F，连FD△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DF⊥AB，故∠AFD＝90°△ADF≌△ADC〔SAS〕∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥AC2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC解：〔截长法〕在AB上取点F，使AF＝AD，连FE△ADE≌△AFE〔SAS〕∠ADE＝∠AFE，∠ADE+∠BCE＝180°∠AFE+∠BFE＝180°故∠ECB＝∠EFB△FBE≌△CBE〔AAS〕故有BF＝BC从而;AB＝AD+BC3、如图，在△ABC，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解：〔补短法,计算数值法〕延长AB至D，使BD＝BP，连DP在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40°从而∠BDP＝40°＝∠ACP△ADP≌△ACP〔ASA〕故AD＝AC又∠QBC＝40°＝∠QCB故BQ＝QCBD＝BP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：解：〔补短法〕延长BA至F，使BF＝BC，连FD△BDF≌△BDC〔SAS〕故∠DFB＝∠DCB，FD＝DC又AD＝CD故在等腰△BFD中∠DFB＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD＝180°5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC解：〔补短法〕延长AC至F，使AF＝AB，连PD△ABP≌△AFP〔SAS〕故BP＝PF由三角形性质知PB－PC＝PF－PC<CF＝AF－AC＝AB－AC应用：三、平移变换例1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.解：〔镜面反射法〕延长BA至F，使AF＝AC，连FEAD为△ABC的角平分线,MN⊥AD知∠FAE＝∠CAE故有△FAE≌△CAE〔SAS〕故EF＝CE在△BEF中有：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.∵BD=CE,∴DM=EM,∴△DMN≌△EMA(SAS),∴DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各减去DP,得BN+AB>DN+AD,∴AB+AC>AD+AE。四、借助角平分线造全等1、如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，DC+AE=AC证明(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)∠B=60度,则∠BAC+∠BCA=120度;AD,CE均为角平分线,则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又AO=AO;∠OAE=∠OAF.则⊿OAE≌ΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.〔1〕说明BE=CF的理由；〔2〕如果AB=，AC=，求AE、BE的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD，DCDG垂直平分BC，故BD＝DC由于AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有ED＝DF故RT△DBE≌RT△DFC〔HL〕故有BE＝CF。AB+AC＝2AEAE＝〔a+b〕/2BE=(a-b)/2应用：1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答以下问题：〔1〕如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(第23题图)OPAMNEBCD(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90所以∠EAF=45度例2D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1)当绕点D转动时，求证DE=DF。(2)假设AB=2，求四边形DECF的面积。解：(计算数值法)〔1〕连接DC，D为等腰斜边AB的中点，故有CD⊥AB，CD＝DACD平分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45°由于DM⊥DN，有∠EDN＝90°由于CD⊥AB，有∠CDA＝90°从而∠CDE＝∠FDA＝故有△CDE≌△ADF〔ASA〕故有DE=DF〔2〕S△ABC=2,S四DECF=S△ACD=1例3如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为；解：(图形补全法,“截长法〞或“补短法〞,计算数值法)AC的延长线与BD的延长线交于点F，在线段CF上取点E，使CE＝BM∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，

∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，

又∵BM=CE，BD=CD，

∴△CDE≌△BDM，

∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，

∵在△DMN和△DEN中，

DM=DE∠MDN=∠EDN=60°

DN=DN∴△DMN≌△DEN，

∴MN=NE∵在△DMA和△DEF中，

DM=DE∠MDA=60°-∠MDB=60°-∠CDE=∠EDF(∠CDE=