存在及恒成立含答案

-.z.存在与恒成立恒成立问题：存在问题：恰成立问题：相等问题：综合问题：〔7〕〔10〕考点一.恒成立问题命题点1.参变别离：简单最值〔1〕设函数f(*)＝－*3＋3*＋2，假设不等式f(3＋2sinθ)<m对任意θ恒成立，数m的取值围．解：令*=3＋2sinθ∈[1,5]，从而只需m>f(*)ma*，*∈[1,5]，f′(*)＝－3*2＋3，令f′(*)＝0，*＝±1，当*∈[1,5]时，f′(*)≤0恒成立，即f(*)在[1,5]上为减函数，f(*)ma*＝f(1)＝4，则m>4．〔2〕设函数，假设对任意，有，求b的取值围。解：由题：f(*)ma*-f(*)min"4，f(*)开口向上，对称轴为,最大值必为f(-1)=1-b+c或f(1)=1+b+c，

〔1〕假设,即-2b2,则最小值为,则-2b6。

〔2〕假设,即b>2或b<-2,则|f(1)-f(-1)|=|2b|4,得|b|2,矛盾〔舍〕。综合得b：[-2,2]。命题点2.参变别离：二阶求导与洛必达法则秒杀：洛必达法则操作步骤〔别离→构造→求导→抛弃→判断→洛必达→结论〕第一步：别离参数，得到；第二步：构造函数；第三步：证明单调性；〔求，可能需要二次求导，直到可以判断导数正负终止，写出单调区间，确定极值点〕第四步：判断当时，是否为或型〕第五步：运用洛必达法则求在处极限；〔==……，直到代入*=a有意义可求出极限为止。〕第六步：求出参数围〔1〕解：，〔单调性不确定则二阶求导〕，〔单减〕，，，则a>-1.(2)解：，〔单调性不确定则二阶求导〕，，故g(*)单调递增，g(*)"g(0)=(由洛必达法则〕，则a"1.〔3〕函数=e*(e*﹣a)﹣a2*，假设当*"0时成立，求a的取值围．解：由题意得当时，,当时，，令，，令，则，则在上递减，故，故，故，又，故。〔4〕设函数，其中是的导函数，假设恒成立，数的取值围。解：由题意得当时，,当时，，令，，令，则，则在上递增，故，故，故，又，故。命题点3.斜率型求参数〔1〕设函数，假设对任意b>a>0，恒成立，数m的取值围．解：。〔2〕设函数，假设对任意b>a>0，恒成立，数m的取值围．解：。命题点4.直接法求参数〔1〕函数，假设恒成立，求a的取值围。解：，当，原式成立；当，不符合题意，则a"-2.〔2〕设函数，如果当*>0时且时，恒成立，数k的取值围．解：设，，；；综上k"0。命题点5.两函数法〔1〕函数，假设恒成立，求a的取值围。解：，，。考点二。存在性问题〔1〕设f(*)＝eq\f(a,*)＋*ln*，g(*)＝*3－*2－3.(1)如果存在*1，*2∈[0,2]使得g(*1)－g(*2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对任意的s，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))都有f(s)≥g(t)成立，数a的取值围．解：(1)存在*1，*2∈[0,2]，使得g(*1)－g(*2)≥M成立，等价于：[g(*1)－g(*2)]ma*≥M，g(*)＝*3－*2－3，g′(*)＝3*2－2*＝3*eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(*－\f(2,3)))，*0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))2g′(*)－0＋g(*)－3递减极(最)小值－eq\f(85,27)递增1由上表可知：g(*)min＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝－eq\f(85,27)，g(*)ma*＝g(2)＝1，[g(*1)－g(*2)]ma*＝g(*)ma*－g(*)min＝eq\f(112,27)，最大整数M＝4.由题：在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上，函数f(*)"g(*)ma*恒成立，由(1)知，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上，g(*)的最大值为g(2)＝1.∴f(*)≥1恒成立，即eq\f(a,*)＋*ln*"1恒成立，则，令h(*)=,=0，,则h(*)在单调递增，在〔1,2)单调递减，故h(*)ma*=h(1)=1，则a"1.〔2〕函数,,假设对任意，均存在，使得,求a的取值围。解：由题：，，f(*)在*∈(0,2]恒成立,即=h(*),则a>h(*)ma*,得,令f(*)=4ln*-*-2,得=-1=,当*∈(0,2],>0得f(*)单调递增,则f(*)<f(2)=4ln2-4<4lne-4=0，当*∈，>0,h(*)单调递增,h(*)ma*=h(2)=ln2-，则a>ln2-。〔3〕函数，设a≥1函数g(*)=,假设对任意∈[0,1]总存在,使成立,求a的取值围。解：[实际上就是要求g(*)的值域包含〔"〕f(*)的值域]:==，*∈[0,1],当,>0,f(*)增,当,<0,f(*)减,当*=,f(*)min=f()=-4，f(0)=-,f(1)=-3

∴f〔*〕值域：[-4,-3];

==3(*+a)(*-a),*∈[0,1],a1，<0,g(*)单调递减，g(0)=-2a-3,a，g(1)=1-3-2a-4,即a1或a

∴综上1a。〔4〕函数f〔*〕=，假设存在实数t∈[0，2]，使对任意的*∈[1，m]，不等式f〔*〕≤*恒成立，试求正整数m的最大值．解：不等式f〔*〕≤*，等价于≤*，即t≤．

即当t∈[0，2]，使对任意的*∈[1，m]，不等式t≤恒成立．

则0≤在*∈[1，m]上恒成立．即0≤在*∈[1，m]上恒成立．

设φ〔*〕=，则φ′〔*〕=，设r〔*〕=φ′〔*〕=，则r′〔*〕=．1≤*≤m，r′〔*〕＜0．所以r〔*〕在区间[1，m]上是减函数．又r〔1〕=4-e-1＞0，r〔2〕=2-e-2＞0，r〔3〕=-3-3＜0，故存在∈〔2，3〕，使得r〔〕=φ′〔〕=0．当1≤*＜时，有φ′〔*〕＞0，当*＞时，有φ′〔*〕＜0．

从而y=φ〔*〕在区间[1，】上递增，在区间[，+∞〕上递减．

又φ〔1〕=e-1+4＞0，φ〔2〕=e-2+5＞0，φ〔3〕=e-3+6＞0，φ〔4〕=e-4+5＞0，φ〔5〕=e-5+2＞0，φ〔6〕=e-6-3＜0．所以，当1≤*≤5时，恒有φ〔*〕＞0；当*≥6时，恒有φ〔*〕＜0．故使命题成立的正整数m的最大值为5．〔5〕f(*)=ln(1+*)，g(*)=k*确定k的值，使得存在t>0对任意*(0，t)，恒有丨f(*)-g(*)丨<。解：当k>1时，g(*)>*>f(*),(画函数图象得〕，丨f(*)-g(*)丨=k*-ln(1+*),令h(*)=k*-ln(1+*)-,则=，当*时，>0,.单调递增，故h(*)>h(0)=0,即丨f(*)-g(*)丨>,满足题意t不存在。当k<1时，存在>0,使得对任意的*(0,),f(*)>g(*),则丨f(*)-g(*)丨=ln(1+*)-k*，令m(*)=ln(1+*)-k*-,则，故当*)时，>0,单调递增，则m(*)>m(