《本章小结建议》教学设计(安徽省县级优课)x-数学教案

命题与充分必要条件复习讲义教学目标：了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解必要条件、充分条件、充要条件的意义，会分析四种命题的关系及真假判断知识点：一、命题1、定义：可以判断真假的陈述句。（疑问句、祈使句、感叹句均不是命题）注意：①判定一个语句是不是命题，关键是能否判断其真假。②在说明一个命题是假命题时，能举出反例即可。2、构成：由条件和结论两部分构成；分成真命题和假命题（正确的叫真命题，错误的叫假命题）。3、形式：“若…则…”的形式二、四种命题：1、定义：如果原命题为：若p则q，则它的：逆命题为：若q则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题；否命题为：若┐p则┐q，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题；逆否命题为：若┐q则┐p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，则得其逆否命题.2、结论：1.原命题为真，它的逆命题不一定为真.2.原命题为真，它的否命题不一定为真.3.原命题为真，它的逆否命题一定为真.由上述归纳可知：两个互为逆否命题是等价命题。若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。三、充分条件和必要条件1、定义：若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若，则A是B的充要条件。注意：如何证明（举反例说明）2、判断命题充要条件的3种方法：①定义法：②利用集合间的包含关系：若，则A是B的充分条件（或B是A的必要条件）若，则A是B的充分不必要条件若A=B，则A是B的充要条件例.(集合法)p:x>5,q:x>3p是q的充分不必要条件例.“a≤2”是“|x+1|+|x-2|>a恒成立”的_______条件。③等价法：利用。适用于条件和结论是不等关系（或否定式）的命题。例.(利用逆否命题)p:x≠2或y≠3；q:x+y≠5

p是q的必要不充分条件

q

∴p是q的必要不充分条件。例1、判断下列命题的真假：（1）命题“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题；真命题（2）命题“若ab=0，则a≠0且b=0”的否命题；真命题（3）若题“若a≠0且b≠0，则ab≠0”的逆否命题；真命题（4）命题“若a≠0或b≠0，则a2+b2>0”的逆命题。真命题[分析]对于一个命题，要先分清大前提、条件与结论，然后再写出其他的三种命题形式，在判断命题的真假时，要善于利用“互为逆否的命题是等价命题”这一结论作出判断。[解答]（1）逆命题为“△ABC中，若∠C>∠B，则AB>AC”，这是真命题。注：“在△ABC中”是大前提，写命题时应该保留。（2）否命题为“若ab≠0，则或b≠0”，这是真命题。（转化到逆命题去判断）（3）逆否命题为“若ab=0，则a=0或b=0”，这是真命题。注：“a≠0且b≠0”的否定为“a=0或b=0”。（4）逆否命题为“若a2+b2≤0，则a=0且b=0”，这是真命题。逆命题为“若a2+b2>0，则a≠0或b≠0”，这是真命题。（转化到逆命题的逆否命题去判断）注：“a≠0或b≠0”的否定为“a=0且b=0”。[点评]否定一个命题时，要注意逻辑联结词“或”、“且”的变化。变式1：以下说法错误的是（）A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必定为真命题B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定是假命题C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题之中，真命题的个数一定为偶数D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题[解析]（1）命题C构成形式的为“非p”，故为复合命题，其他均为简单命题，故选C。（2）因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假，故选B（3）依据逆命题、否命题、逆否命题的定义判断，选B（4）一个命题的逆命题与否命题等价，故A正确，一个命题与它的否命题不一定等价，故B错误。反例：若x=0且y=0则x+y=0为真命题，其否命题是若x≠0或y≠0，则x+y≠0为假命题，例如：x=1，y=－1但x+y=0。变式2：（1）若p的逆命题是r，r的否命题是s，则s是p的否命题的。（2）“当a≠b时，若x=a或x=b则（x－a）（x－b）=0”的否定为。（3）“若不等式的解集为R，则”逆命题为，否命题为，逆否命题为，以上四个命题中真命题的个数为。[解析]（1）∵p的逆命题是r，r的否命题是s，则s是p的逆否命题，从而s是否命题的逆命题。（2）当a≠b时，若x=a或x=b，则（x－a）（x－b）≠0。注意：命题的否定与否命题是两个不同的概念。（3）若p2－4q≤0则不等式q>0的解集为R；若不等式q>0的解集不为R，则p2－4q>0，若p2－4q>0，则不等式q>0的解集不为R；真命题有2个。变式3：（2005·江苏）命题“若a>b，则“”的否命题为。[点评]否命题与命题的否定是两个不同的概念。[答案]若a≤b则2a≤2b—1例2．（04上海高考在下列关于直线与平面的命题中，真命题的是（B）A．若B．若C．若D．若分析：此类问题解决的过程中，要正确理解题意，灵活运用空间直线与平面、平面与平面位置关系的判定定理与性质定理。[点评]“排除法”是解选择题的一种好方法。[答案]B例3．已知函数上是增函数，，对命题：“若则”。（1）写出逆命题，判断真假，并证明你的结论。（2）写出逆否命题，判断真假，并证明你的结论。解：（1）逆命题：若f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)，则a+b≥0，真命题。证明：假设a+b<0∴a<－bb<－a又∵f(x)在(－∞,+∞)，单调增∴f(a)<f(－b),f(b)<f(－a)∴f(a)+f(b)<f(－b)+f(－a)与f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)矛盾∴a+b≥0[点评]：反证法其实是命题的否定，而非否命题。(2)逆否命题：若f(a)+f(b)<f(－a)+f(－b)则a+b<0真命题证明：假设a+b≥0∴a≥－bb≥－a∴f(a)≥f(b)f(b)≥f(－a)∴f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)与f(a)+f(b)<f(－a)+(－b)矛盾∴a+b<0得证例4．指出下列各题中，P是q的什么条件？①P：0<x<3 q:|x－1|<2 （充分不必要条件）分析：②P：(x－2)(x－3)=0q：x=2 （必要不充分条件）分析：③P：c=0q：抛物线y=ax2+bx+c过原点 （充要条件）分析：④P：对任意的，点都在直线上q：数列是等差数列充分不必要条件补充：⑤分析：⑥分析：例5．若A是B的充分条件，A是E的必要条件，B是C的充要条件，B是D的必要条件，D是C的必要条件，D是E的必要条件。那么：A是D的什么条件？C是D的什么条件？C是E的什么条件？分析法∵A∴A是D的充分条件 ∵∴C是D的充要条件 ∵∴C是E的必要条件图示法：例6．设α、β是方程x2－ax+b=0的两个实根，试分析a>2且b>1的二根α、β均大于1的什么条件？解：①α、β均大于1a>2且b>1∵α>1，β>1∴α+β=a>2∴α、β=b>1②a>2且b>1α、β均大于1∴a>2且b>1是二根α、β均大于1的必要不充分条件反例：a=3b=4但此时△<0例7．已知p：，q：，若的充分不必要条件，求实数m的取值范围。解：p:A={x|－2≤x≤10}q:B={x|1－m≤x≤1+m}∵┐p┐q∴qp 即BA且等号不同时取得∴∴m≤3又∵m>0∴0<m≤3例8．已知向量.设p为“”，q为“”.若p为q的充分条件，求m的取值范围.解：f(x)=－2c