高二数学教案：不等式小结

不等式小结本章内容主要包括不等式的性质，基本不等式，不等式的证明，不等式的解法和不等式的应用。一、不等式的性质：1、引理：a>b<=>a-b>0a=b<=>a-b=0a<b<=>a-b<02、反对称性：a>b=>b<aa<b=>b>a3、传递性：a>bb>c=>a>c4、加数原则：a>b<=>a+c>b+c推论：a>b,c>d=>a+c>b+d5、乘数原则：a>b,c>0=>ac>bc;a>b,c<0=>ac<bc推论1：a>b>0,c>d>0=>ac>bd推论2：a>b>0,=>an>bn6、开方原则：a>b>0,=>7、绝对值不等式性质：∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣推论1：∣a1+a2+a3∣≤∣a1∣+∣a2∣+∣a3∣推论2：∣a∣-∣b∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣二、重要不等式：1、a2≥0,∣a∣≥0,a2n≥0(n∈N)2、a2+b2≥2∣ab∣≥2ab,a3+b3+c3≥3abc,(a>0b>0c>0)推论:2(a2+b2)≥(a+b)2,3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2≥,b>0时，≥2a-b24、均值不等式:①≤≤≤②≤≤≤③≤≤≤三、不等式证明：比较法：①作差比较②作商比较（必须同号）2、综合法：利用已知条件，不等式性质，重要不等式，函数性质等证明不等式。分析法：从求证结论入手，逐步寻找充分条件。其它证法简介：①放缩法：②换元法：三角代换，有理化代换，均值代换等。③反证法：④构造法：构造图形、构造方程、构造函数等。四、不等式的解法：1、一元一次、一元二次不等式及不等式组的解法（基础）2、简单高次不等式、分式不等式的解法（换元、因式分解、穿根法）3、绝对值不等式的解法：（分类讨论，平方转化）4、根式不等式解法：①≥g(x)型②<g(x)型5、指数不等式与对数不等式：①af(x)>ag(x);logaf(x)>logag(x)②A[af(x)]2+B[af(x)]+C>0;A[logaf(x)]2+B[logaf(x)]+C>06、含参数的不等式解法：①分类讨论。②数形结合。五、不等式的应用：1、不等式用于求函数定义域、最值、值域。不等式用于实际应用题。附注：实际应用题中常用x+y=s(x,y>0)，则xy≤s2/4xy=p(x,y>0),则x+y≥2函数f(x)=ax+b/x(a,b>0,x>0)的单调性不等式单元复习习题二、典型例题基本性质应用：1证明2判断命题真假3比较大小4求取值范围例1判断命题真假（1）若则（2）若（3）若，则（4）若则（5）若则例2若，比较下列各数大小例3已知求的范围例4已知，求的范围例5若二次函数图象过原点，且，求的范围绝对值不等式例1已知，求证例2已知函数，当时，有（1）求证且（2）当时，（3）若的最大值为2，求例3若二次方程有两个根，求证基本不等式（算术平均数和几何平均数）已知函数，若，判断与大小求证：且，求证和求函数的最小值求函数的最大值和的最小值求的最小值求的最大值已知，求的最小值若，不等式恒成立，求的最小值不等式证明比较法（作差，作商）比较与2的大小，，，

比较和的大小已知，求证若，比较的大小综合法例1、，求证例2、已知，求证：例3、三角形三边，求证分析法例1、，求证（1）判别式法例1、，比较的大小例2、，求证：均值代换例2、，求证三角代换例1、对任意的，都有，求的取值范围例2、，求证：例3、求证注：可用三角代换的特征构造函数三角形三边，求证求证：反证法例1、已知都是小于1的正数，求证中至少有一个不大于例2、求证放缩法例1、例2、求证：不等式解法例1、解关于的不等式,其中例2、例3、例4、例5、例6、例7、，例题、例8、例9、例10、例11、若，，的解集为命题中有且只有一个是正确的，求的范围例12、不等式的解集非空，求的范围，若的解集为，求的范围，例13、例14、关于实数的不等式和的解集为，求使的的范围？不等式的应用（定义域，值域，最值，方程根的讨论，应用题）着重讲应用题ACDB例1、是某屋顶的断面，，横梁的长是竖梁的倍，设计时应使保持最小，试确定的位置ACDB店经销某种商品，年销量为D件，每件商品的库存量费用为I，每批进货量为Q件，每次进货所需费用为S，现假设商店在卖完每批商品时立即进货，使库存量为平均件，为每批进货量Q为多少时，全年总费用最省？校园内将建造一个矩形花坛，并在花坛内装两个相同的喷水器，已知喷水器的喷水区域是半径为5m的圆，问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，能使得花坛的面积最大且全部能喷到水？

有一隧道既是交通拥挤地段