2021年中考数学18 新定义题（解析版）

五年真题一年模拟(解析版)

专题18新定义题

一、挑选题

1.(2021杭州)设a,b是实数，定义@的一种运算如下:a@b=(a+8)2-{a-b)2,则

下列结论：

①若a@b=0,则a=0或6=0

®a@Cb+c)=a@b+a@c

③不存在实数a,b,满足a@b=a2+5b2

④设“，人是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当“4时，最大.

其中对的是()

A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③

【答案解析】C

【试题解答】

试题解析：根据新定义可以计算出啊各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小

题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是对的.

①根据题意得：a@b=(a+b)(a-b):/.(a+b):-(a-b)J=0,

整理得：(a+b+a-b)(a+b-a+b)=0,即4ab=0,解得：a=0或b=0,正确；

②:飞0(b+c)=(a+b+c)2~(a-b-c)*=4ab+4ac

a@b+a@c=(a+b):-(a-b)'+(a+c)--(a-c)*=4ab+4ac,.,.a@(b+c)=a@b+a@c正确；

③a@b=a：+5b：,a@b=(a+b)(a-b):,令a：+5於(a+b)(a-b)解得，a=0,b=0,故错误;

@\'a@b=(a+b)*~(a_b)*=4ab,(a-b)*>0,贝I」a'-2ab+b.三0,即a,+b22ab,

.\a"+b*+2ab4ab,.'.4ab的最大值是a*+b"+2ab,此时a"+b，+2ab=4ab,解得，a=b,

，a配最大时，a=b,故④正确

2.（2021湖州）定义：若点P（a,h）在函数y='的图象上，将以。为二次项系数,

X

b为一次项系数组织的二次函数广浸+法称为函数），=’的一个"派生函数”.例如：点

X

（2,-）在函数的图象上，则函数y=2f+‘X称为函数>=’的一个"派

2x2x

生函数现给出以下两个命题：

（1）存在函数的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧

（2）函数y的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，下列判断对的是（）

x

A.命题（1）与命题（2）都是真命题

B.命题（1）与命题（2）都是假命题

C.命题（1）是假命题，命题（2）是真命题

D.命题（1）是真命题,命题（2）是假命题

【答案解析】C

3.（2021湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，盛行于天下各地.由边长为2的正

方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示.分别用这两副七巧板试

拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成

的个数分别为（）

A.1和1B.1和2C.2和1D.2和2

故选:D.

4.（2021衢州）如图，把一张矩形纸片4BCO按所示方式进行两次折叠，得到等腰直角

三角形BEF,若BC=1,贝IJAB的长度为（）

【答案解析】A

【试题解答】

【考点解析】

先判断出NAQE=45。，进而判断出A£=AD,操纵勾股定理即可得出结论.

【详解】解：由折叠补全图形如图所示，

•.•四边形ABCO是矩形，

NAOA'=NB=NC=NA=90°,AD=BC=1,CD=AB,

由第一次折叠得：/D4E=/A=90。，ZADE=—ZADC=45°,

2

ZAED=ZADE=45°,

：.AE^AD=\,

在RSAOE中，根据勾股定理得，DE=6,AD=4i,

由第二次折叠可知，DC=DE

'•AB-V2

故选:A.

5.（2021绍兴）某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均一样的矩形绘画作品，将

这些作品排成一个矩形（作品不完全重合），现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，

参加作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在

墙上，如图），若有34枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品（）

A.16张B.18张C.20张D21张

【答案解析】D

二、填空题

1.（2021衢州）定义“※b=a（b+l）,例如2X3=2x（3+1）=2x4=8.则（x-1）※.的

成果为.

【答案解析】9-1

2.（2021金华）对于两个非零实数x,y,定义一种新的运算:x*产a+b.若1*（-1）=2,

则（-2）*2的值是.

【答案解析】-1

3.（2021湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板由边长为

4夜的正方形ABCO可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形

EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点区G重合,

点尸在边E”上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是.

【答案解析】46

三、解答题

1.（2021湖州）对于随意率性实数a,b,定义关于“⑥”的一种运算如下：

a®b=2a-b,例如：502=2x5-2=8,（-3）04=2x（—3）-4=-10.

（1）若3区）x=-2011,求x的值：

（2）若x（8）3<5,求x的取值范畴.

【答案解析】（1）2021（2）尤<4

【解析】

试题分析：（D根据题目中的例子列方程可求解；

（2）根据题目中的例子列不等式求解即可.

试题解析：（D根据题意，得2X3-x>2011

解这个方程，得x=2017

（2）根据题意，得2x-3<5

解得x<4

即X的取值范畴是x<4.

考点：1、阅读懂得，2、解一元一次方程，3、解不等式

2.1.（2021衢州）定义：如图1,抛物线y=必：2+bc+c（aH0）与x轴交于A,B两点,

点P在抛物线上（点P与A,8.两点不重合），参加AABP的三边满足

AP2+BP2=AB2,则称点P为抛物线y^ax1+bc+c{a丰0）的勾股点。

（1）直接写出抛物线）=—/+1的勾股点的坐标；

（2）如图2,已知抛物线C:y=G?+6x（。/0）与x轴交于A,B两点，点尸（1,

V3）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；

（3）在（2）的前提下，点。在抛物线C上，求满足前提的点

。（异于点P）的坐标

【答案解析】（1）（0,1）；（2）尸-x；（3）（3,也）或（2+J7,

OO

6）或（2-V7,-亚）.

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线勾股点的定义即可求解；

厂PGL

（2）作PGlx轴，由P点坐标求得AG=1、PG=V3、PA=2,由tan/PAB=—=也知/PAG=601从

AG

而求得AB=4,即B（4,0）,运用待定系数法即可求解；

（3）由SAABQ=SAABP且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离为应，据此可求解.

试题解析：（1）抛物线产-f+i的勾股点的坐标为（0,1）

（2）抛物线y-法过原点，即点A（0,0）,

如图，作PGXr轴于点G.

・・•点户的坐标为（1,V3）,

，AG=1、PG=\[3,JAG*+PG'—\124-(Vs)2=2,

tanZPAB=----=v3,

AG

：.ZPAG=6t)°,

PA2

在RtAPAB中,A8=_________4,

cosZ.PAB7

2

.•.点B坐标为（4,0）,

设y^ax(x-4)

将点PG,73）代入得：“=-

3

（3）①当点。在x轴上方时，由SAAB°=SAABP知点。的纵坐标为6,

则有一编+半.囱，

解得：即=3,12=1（不吻合题意，舍去），

.•.点。的坐标为（3,73）；

②当点Q在X轴下方时，由S_ASQ=S_ABP知点Q的纵坐标为-质

贝”有一fx?-处佟X=-&,

33

解得：xi=2+J7,x：=2-J7,

二点Q的坐标为（2-J7,-&）或（2-J7,-应〉；

综上，满足条件的点Q有3个：（3,小或（2-5，-应）或（2-5，-A/3）.

考点：1.抛物线与x轴的交点；2.待定系数法求二次函数表达式.

3.（2021金丽）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边

称为邻余线.

（1）如图1,在4中，A,4是4的角平分线，E,尸分别为B,4上的点.求证：四

边形4是邻余四边形.

（2）如图2,在5x4的方格纸中，4,B在格点上，请画出一个吻合前提的邻余四

边形4使4是邻余线，E,F在格点上.

（3）如图3,在（1）的前提下，取E中点M,连结。并耽误交4于点Q,耽误E交4于

点M若N为A的中点，B.B,求邻余线4的长.

【答案解析】（1）证明见解析；（2）画图见解析；（3）10.

【试题解答】

【考点解析】

（1）AB=AC,AO是△ABC的角平分线，5LADA.BC,则NADB=90。，则NFBA与

NEBA互余，即可求解；

（2）如图所示（答案不独一），四边形4FEB为所求；

（3）证明△DBQs^ECN,即可求解.

【详解】

（1）解：A是4的角平分线，

：.A.

：.A.

4与4互余.

，四边形A是邻余四边形.

（2）解：如图所示（答案不独一）

4.（2021湖州）数学运动课上，某学习小组对有一内角为120。的平行四边形ABCD

（ZBAD=120°）进行探讨：将一块含60。的直角三角板如图放置在平行四边形ABC。所

在•平面内旋转，且60。角的极点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直

线分别交线段AB,AO于点E,尸（不包罗线段的端点）.

（1）初步尝试

如图1,若AD=AB,求证：①△8CE之△ACP,@AE+AF=AC；

（2）类比发觉

如图2,若AD=2AB,过点C作CHLAD于点H,求证："AE=2FH；

（3）深入探讨

如图3,若AD=3AB,探讨得：皿:泮的值为常数t,则1=—.

Av

【答案解析】（1）、证明过程见解析；（2）、证明过程见解析；（3）、1=0

【试题解答】

试题解析：（1）、①先证明AABC,△AC。都是等边三角形，再证明ZBCE=/ACF即可

解决问题.②根据①的结论得至|J8E=AF,由此即可证明.⑵、设DH=x,由由题意，

CD=2x,CH=1由△ACEsa/ycE得篙=需由此即可证明；（3）、如图3中，作

rHCH

CNLAD于N,CM_LBA于M,CM与A。交于点H.先证明△CFNS/\C£M,得粤=罂,

CMEM

由AB・CM=4>CN,AD=3AB,推出CM=3CN,所以第=粤=4，设CN=a,FN=b,则

CMEm3

CM=3a,EM=3b,想方式求出AC,AE+3AF即可解决问题.

试题解析：⑴、①...四边形ABCD是平行四边形，ZBAD=120°,二4=4=60°,：AD=AB,

.".△ABC,△■©口都是等边三角形，.,.ZB=ZCAD=60°,ZACB=60°,BC=AC,Z.ECF=60°,

：.ZBCE+ZACE=ZACF+ZACE=600,/.ZBCE=ZACF,

，ZB=ZCAF

在ABCE和AACF中，1BC=AC/.ABCE^AACF.

,ZBCE=ZACF

©•/△BCE^AACF,.\BE=AF,/.AE+AF^AE+BE=AB=AC.

(2)、设£>H=x,由由题意，CD=2x,CH=4^X,：.AD=2AB=4X,：.AH=AD-

DH=3x,VCH1AD,

11•AC=VAH2+CH2=2V3X,.,.AC^+CD^Aiy,：.ZACD=9Q°,

：.ZBAC=ZACD=90°,：.ZCAD=30°,

：.ZACH=60°,'：ZECF=60°,；.NHCF=NACE,：./\ACE<^/\HCF,A—=

FH

AC

—=2,：.AE=2FH,

CH

(2)、如图3中，作CALLAQ于N,CM_L3A于M,CM与AO交于点

9

H.：ZECF+ZEAF=\SO09

：.ZAEC+ZAFC=180°,NAFC+ZCFN=180°,/.ZCFN=ZAEC,

:NM=/CNF=9U。,:・/\CFNs丛CEM,

CNFNCNFN1

ACM=EM，*：AB*CM=AD,CN,AD=3AB,:・CM=3CN,-••岩二言二令，设CN=〃,

FN=b,贝ijCM=3a,EM=3b,

VZMAH=60°,ZM=90°,:・NAHM=/CHN=3。。,:・HC=2a,HM=a,HN=y[ja,

22

：.AM=^-a,AH=2个a,.".AC=^^+(;JJ=a,

AE+3AF=(EM-AM)+3(AH+HN-FN)=EM-AM+3AH+3HN-3FN=3AH+3HN-AM=

1473.AE+3AF30

I-a

5.(2021宁波)从三角形(不是等腰三角形)一个极点引出一条射线与对边订交，极点

与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，参加分得的两个小三角形中有

一个为等腰三角形，另一个.与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美

分割线。

(1)如图1,在XA8C中，CD为角.平分线，ZA=40°,ZB=60°,求证：CD为

△ABC的完美分割线；

(2)在△ABC中，ZA=48°,CO是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形,

求/AC8的度数；

(3)如图2,△ABC中，4c=2,BC=J5,CD是AABC的完美分割线，且AAC。是

以CC为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长。

(第25题困)

【答案解析】⑴详见解析；（2）NACB=96。或114。；⑶CD=庭-氏.

【解析】

试题分析：（D由NA=40.°,NB=60°可得/ACB=80.°,即△ABC不是等腰三角形，再判定AACD是等腰三

角形，△BCDs/kBAC,即可得CD为AABC的完美分割线；（2）分AD=CD,AD=AC,AC=CD三种情况，根据这三

RD

种情况分别求出NACB的度数，不合题意的舍去；（3）由△BCDSABAC可得一=—,设BD=x，代入可得

BABC

（72）2=X-（X+2）,由于x>0,即可知x=Ji-L再由△BCDs/kBAC,所以乌=吧=史二，解得

ACBC72

_1

CD=与，x2=、回（右-1）=、后-0

试题解析：（1）,/ZA=40.°,ZB=60°,

ZACB=80.°,

...△ABC不是等腰三角形，

又因CD为角.平分线，

ZACD^ZBCD=-ZABC=40°,

2

ZACD=ZA=40°,

...△AC力是等腰三角形，

VZBCD=ZA=40°,NB=NB,

:.4BCDS/\BAC,

:.CD为ZkABC的完美分割线；

（2）当AO=CZ>时（如图①），ZACZ>ZA=48°,

"：/^BDC^/\BCA,

：.N8CD=/A=48°,

Z.ZACB=ZACD+ZBCD=960；

1on°_JQ°

当AO=AC时（如图②），ZACD=ZADC=---------------=66",

2

■:△BDCS^BCA,

：./8C£）=/A=48°,

ZACB=ZACD+ZBCD=114°；

当AC=CD时（如图③），ZACD=ZA=4S°,

■:△BDCS/\BCA,

：.NBCD=/A=48。，

VZADOZBCD,抵悟，舍去.

/ACB=96°或114°；

②

(3)由已知AC=AD=2,

•/△BCD^ABAC,

.BC_BD

"1A~BC)

设BD=x

.,.(72)2=x-(x+2)

解得X=-1±也,

•/x>0,

「・x=JJ-L

'/△BCD<^ABAC,

.CDBDV3-1

,~AC~~BC~V2

.­.CD=^J-X2-V2(V3-1)=V6-V2

J2

(第25题困2)

考点：阅读懂得题；相.似三角形的综合题.

6.(2021绍兴)参加将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉毗邻，就能构成一个平面图

形.

(1)若固定三根木条A8,BC,A。不动，AB=AD=2cm,BC=5cm,如图，量得第四

根木条CD=5CH,判断此时NB与/。是否相等，并说明来由.

(2)若固定一根木条AB不动，AB=2cm,量得木条CZ)=5"j,参加木条A。，BC的长

度不变，当点D移到BA的耽误线上时，点C也在B4的耽误线上；当点C移到AB

的耽误线上时，点A、C、£>能构成周长为30cm的三角形，求出木条4£）,8c的长

度.

【答案解析】⑴、相等；来由见解析；（2）、AD=\3cm,BC=10cm.

【试题解答】

试题解析：（1）、相等.毗邻4C,根据SSS证明两个三角形全等即可；（2）、分两种情形

①当点C在点。右侧时，②当点C在点D左侧时，分别列出方程组即可解决问题，注

重末了来由三角形三边关系定理，检验是否吻合题意.

试题解析：⑴、相等.

AC=AC

理由：连接AC,在AACD和AACB中，=,.".AACD^AACB,/.ZB=ZD.

CD=BC

⑵、设AD=x,BC=y,

x+2=y+5fx=13

当点c在点D右侧时，”,解得：，

x+（y+2）+5=30[y=10

y=x+5+2x=8

当点C在点D左侧时，解得：，

x+(y+2)+5=30j=15

此时AC=17,CD=5,AD=8,5+8<17,二不合题意，

考点：（1）、全等三角形的应用；（2）、二元一次方程组的应用；（3）、三角形三边关系

7.（2021台州）定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形.

（1）三等角四边形ABCZ）中，/A=/B=NC,求NA的取值范畴：

（2）如图，折叠平行四边形纸片OEBF,使极点E,F分别落在边BE,B尸上的点

4,C处，折痕分别为OG,DH.求证：四边形ABCD是三等角四边形.

（3）三等角四边形A8CD中，ZA=Z.B=ZC,若CB=CD=4,则当AZ）的长为何值时,

4B的长最大，其最大值是几？并求此时对角线4c的长.

【答案解析】（1）60°<ZA<120°;（2）证明见解析;（3）当AO=2时，AB的长最大，最

大值是5,此时AC=J§T.

【试题解答】

试题解析：（1）根据四边形的内角和是360。，确定出NA的范畴；

（2）由四边形DEBF为平行四边形，得到且NE+NEBF=180。，再根据等

角的补角相等，判断出ND4B=NDCB=NABC,即可；

（3）分三种情况分别会商计算AB的长，从而得出当AO=2时，A8最长，末了计算出

对角线AC的长.

试题解析：（1）；N4=NB=NC,.,.3NA+NADC=360。，/ADC=360。-3NA.

V0<ZADC<180°,.,.00<360°-3ZA<180°,.\60°<ZA<120°；

（2）证明：：四边形。E8尸为平行四边形，:.NE=NF,且NE+/E8F=180。.

\'DE=DA,DF=DC,：.ZE=ZDAE=ZF=ZDCF,ZDAE+ZDAB=\S00,

ZDCF+ZDCB=\S0°,/E+NEBF=180°,AZDAB=ZDCB=ZABC,.•.四边形A8CD是

三等角四边形

(3)①当60。<4<90°时，如图1,过点。作方".45,DE"5C,.•.四边形3的是平行四边形，

ADFC=』B=4DEA,；EB=DF,DE=FB/；乙4=4B=』C,乙DFC=&"EA,：ZAEs刈CF,AD=DE,

4E/Di，一4x

DODF=4,设.4&x,AB=v,：.AE=v-4,CF=4~x,'：ADAE^ADCF,：.一=—,-——=一，

CFCD4-x4

.”=-」/+》+4=-1(》-2)2+5,.•.当户2时，y的最大值是5,即：当.”总时，.45的最大值为5,

44

②当乙4=90°时，三等角四边形是正方形，.FiK45=34；

③当90。<ZX<120°时，ND为锐角,如图2,\\4E=4-.4B>0,：.AB<4,综上所述,当小=2时,AB

的长最大，最大值是5;

此时，.4E=1,如图3,过点C作GV1.4B于M,DNL^AB,'：DA=DE,DN^AB,.\£\=--4£=-,

22

JT)4V

•：/DAN=/CBM,ND汽4=NCWB=90°,/.AD.4A^ACB.V,/.--,/.5A/=1,.JAM,

BCBM

CM^BC2-BAf2=屈,：.AC=JAM2+CM2=J16+15=阴.

8.（2021舟山）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做”等邻角四边形”

（1）概念懂得：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；

（2）问题探讨；

如图1,在等邻角四边形ABCQ中，ZDAB=ZABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边

上一点尸，连结AC,BD,试探讨AC与8。的数量关系，并说明来由；

(3)应用拓展;

如图2,在RtAABC与RtAA3。中，NC=NO=90。，BC=BD=3,AB=5,将RtAABD绕

着点4顺时针旋转角a((T</aVN8A。得到Rt/kAB7)(如图3),当凸四边形4D8C

为等邻角四边形时，求出它的面积.

【答案解析】(1)、矩形或正方形;(2)、AC=BDr来由见解析;(3)、10—4或12--3,7I-.

172

【试题解答】

试题解析：(1)、矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”前提；(2)、AC=BD,来

由为：毗邻产。，PC,如图1所示，根据PE、PF分别为A。、BC的垂直平分线，得

到两对角相等，操纵等角对等角得到两对角相等，进而确定出/APC=NOPB,操纵SAS

得到三角形ACB与三角形。PB全等，操纵全等三角形对应边相等即可得证；(3)、分

两种情况思量：(i)当时，耽误AD,CB交于点、E,如图3(i)所示，

由Sgg=S--Sg,求出四边形ACBD'面积；(ii)当ND'BC=NACB=90°时，过点D'作D'E_I_AC

于点E,如图3(ii)所示，由S=S一匚+S-=,：：：：,求出四边形ACBD'面积即可.

试题解析：(1)、矩形或正方形；

⑴、AC=BD,理由为：连接PD,PC,如图1所示：

〈PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，/.PA=PD,PC=PB,/.ZPAD=ZPDA,ZPBC=ZPCB,

ZDPB=2ZPAD,NAPC=2NPBC,即NPAD=NPBC,ZAPC=ZDPB,.".△APC^ADPE(SAS),/.AC=BD；

(3)、分两种情况思量：

(i)当NAOB=N〃8C时，耽误AZ7,CB交于点E,如图3(i)所示,

2

AZED'B=ZEBD',：.EB=ED',设EB=ED'=x,由勾股定理得:4+(3+x)2=(4+A:)

2,解得：x=4.5,

OFED

过点。作。F_LCE于F,：.D'F//AC,：./\ED'F^f\EAC,：------——，即

ACAE

DF_4.5

-T~-4+4.5'

解得：

.11113681

••SAAC£=—ACxEC=—x4x(3+4.5)=15；SABED'=—BExD'F=-x4.5x—=—

22221717

814

n1=

则S四边彩ACBO'=SAACE-SABEiy15--=10—；

(ii)当NOBC=/4Cg=90。时，过点。作。E_LAC于点E,如图3(ii)所示,

二四边形EC8。是矩形，:.ED'=BC=3,在Rs中，根据勾股定理得：AE=

夕,

SAAED'=—AExED'=—x币x3=—近,SECBD,=CEXCB=(4-V7)x3=12-3"

222

贝!ISBiiBACBD'=SAAED'+SViKECHD'=-V7+12-3^/7=12--V7.

考点：几何变换综合题

9.（2021湖州）已知在△ABC中，AC^BC^m,。是A8边上的一点，将沿着过

点。的直线折叠，使点8落在AC边的点P处（不与点4,C重合），折痕交BC

边于点E.

（1）特例感知如图1,若NC=60。，力是AB的中点，求证:AP=LlC；

2

（2）变式求异如图2,若NC=90。，机=6&,AD=7,过点。作。于点H,

求。，和4P的长：

（3）化归探讨如图3,若〃?=10,AB=\2,且当A£>=。时，存在两次差别的折叠,

使点B落在4c边上两个差别的位置，请直接写出”的取值范畴.

图1图2图3

【考点解析】（1）证明AAOP是等边三角形即可解决问题.

（2）分两种情形：情形一：当点B落在线段C/Z上的点P处时，如图2-1中.情

形二：当点B落在线段A”上的点尸2处时，如图2-2中，分别求解即可.

（3）如图3中，过点C作CH_L48于H,过点。作。P_LAC于P.求出。P=Z）B时

A。的值，联合图形即可判断.

【解答】（1）证明：；AC=3C,ZC=60°,

.♦.△ABC是等边三角形，

：.AC=AB,NA=60°,

由题意，得DB=DP,DA=DB,

：.DA=DP,

...△AOP使得等边三角形，

.•.AP=AO=LB=LC.

22

(2)解：：AC=BC=6亚，/C=90。，

;MB=VAC2+BC2=7(6V2)2+(6>/2)2=12,

\"DH1AC,

J.DH//BC,

：./\ADH^/\ABC,

•DH=AD

'"BeAB'

；4D=7,

.DH-7

..该F

2

将沿过点。的直线折叠，

情形一：当点B落在线段CH上的点P,处时，如图2-1中,

VAB=12,

：.DP尸DB=AB-AD=5,

：.At=AH+HP{=4\/2,

情形二：当点B落在线段AH1.的点P2处时，如图2-2中,

同法可证HP*返，

2

:.AP尸AH-HP?=3M，

综上所述，满足前提的AP的值为4加或3&.

(3)如图3中，过点C作于出过点。作。P_LAC于P.

\'CA=CB,CH1AB,

：.AH=HB=6,

:，CH=VAC2-AH2=V102-62=8,

当DB=DP时，设BD=PD=x,则AD=12-x,

・8--

・下一!^?

：.AD=AB-BD=—,

3

察看图形可知当6<a〈型时，存在两次差别的折叠，使点B落在AC边上两个差

3

别的位置.

10.（2021衢州）问题背景如图1,在正方形A.BCD的内部，作

NDAE=NABF=NBCG=/CDH,根据三角形全等的前提，易得△D4E段.

△ABF^/\BCG^/\CDH,从而得到四边形EFGH是正方形。

类比研究［来历:学。科。网］

如图2,在正△ABC的内部，作/区4O=NC8E=/AC£AD,BE,CF两两订交

于£）,E,F三点（Q,E,F三点不重合）。

（1）AAB£>,△BCE,△C4F是否全等？参加是，请挑选其中一对进行证明；

（2）XDEF是否为正三角形？请说明来由；

（3）进一步探讨发觉，△ABO的三边存在必然的等量关系，设BD=a,

AD=b,AB=c,请探索a,b,c,满足的等量关系。

HA

（第23题图1）（第23题图2）（第23题备用图）

【答案解析】(1)全等；证明见解析；(2)是，来由见解析；(3)<2=a2+ah+b2.

【解析】

试题分析：(D由正三角形的性质得NCAB=NABC=NBCA=60\AB=BC,证出NABD=NBCE,由ASA证

明AABg△BCE即可；、

(2)由全等三角形的性质得出NADB=NBEC=NCFA：证出NFDE=NDEF=NEFD即可得出结论：

(3)作AG1BD于G,由正三角形的性质得出NADG=60。,在RtAADG中,DG=%&6=理上在RtAABG

22

中，由勾股定理即可得出结论.

试题解析：(1)△ABD^/\BCE^/\CAF-,来由如下：

「△ABC.是正三角形，

NC4B=/4BC=N8CA=60。，AB=BC,

'：ZABD=ZABC-Z2,ZBCE=ZACB-Z3,Z2=Z3,

NABD=NBCE,

在△A3。和△BCE中，

Z1=Z2

<AB=BC,

4ABD=ABCE

...△AB度△BCE(ASA)；

(2)△。£尸是正三角形；来由如下：

AABD^ABCE^AC4F,

NADB=/BEC=NCFA,

ZFDE=ZDEF=ZEFD,

.•.△OE尸是正三角形；

(3)作AGLBO于G如图所示:

BaD~G

•・•ADEF是正三角形,

・・・ZADG=60°,

在RSAQG中,DG=-b、

2

在Rt/kABG中,

/.C2=«2+6ZZ?+Z?2.

BaDG

11.（2021宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线订交

所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.

（1）如图1,/E是AABC中乙4的遥望角，若/A=a,请用含a的代数式示意/£

（2）如图2,四边形4BC。内接于。O,AD=BD，四边形48C。的外角平分线

交。O于点F,连结BF并耽误交CD的耽误线于点E.求证：NBEC是△ABC中NBAC

的遥望角.

（3）如图3,在⑵的前提下，连结AE,AF,若AC是。。的直径.

①求/AE。的度数:

②若4B=8,CD=5,求AOE尸的面积.

图1图2图3

125

【答案解析】(1)Z£=-a；(2)见解析；(3)①/AE£>=45。；②一

29

【试题解答】

【考点解析】

(1)由角平分线的定义可得出结论;

(2)由圆内接四边形的性质得出/RDC+/F8C=180。，得出证得

/ABF=NFBC,证出/A8=/L»CT,则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；

(3)①毗邻CF,由前提得出NBFC=NBAC,则NBFC=2NBEC,得出NBEC=N/^D

证明△FQE丝△EDA(A4S),由全等三角形的性质得出OE=D4,则/AE£>=ND4E,

得出/A£>C=90。，则可求出答案；

②过点4作AGLBE于点G,过点F作FMLCE于点M,证得△EGA^^ADC,得出

AF,A7~)4S

---=----,求出---=—,设4£>=4x,AC=5x,则有(4x)2+52=(5x)2,解得户一，

ACCDAC53

求出EDCE的长，求出DM,由等腰直角三角形的性质求出FM,根据三角形的面

积公式可得出答案.

【详解】解：(1)平分N4BC,CE平分NACD,

111

ZE^ZECD-ZEBD=—(ZACD-AABC)=yZAA=-a,

(2)如图1,耽误3C到点T,

图1

,・♦四边形FBCQ内接于。0,

ZFDC+ZFBC=180°,

又・・・ZFDE+ZFDC=180°,

:・/FDE=/FBC,

・・・。/平分NAOE,

・・・NADF=/FDE,

・.,ZADF=ZABF,

：.NABF=/FBC,

・・・BE是NA8C的平分线，

■;AD=BD，

：./ACD=NBFD,

・・•NB尸D+/BCD=180。,ZDCT+ZBCD=180°,

：.ZDCT=ZBFD9

：.ZACD=ZDCTi

/.CEMAABCM外角平分线,

・・・NBEC是AABC中NB4C的遥望角.

(3)①如图2,毗邻CF,

图2

・・,NBEC是中/84C的遥望角,

・・・ZBAC=2ZBEC,

•：NBFC=NBAC,

:.ZBFC=2ZBEC,

•.*/BFC=NBEC+/FCE,

：./BEC=/FCE,

u：ZFCE=ZFAD,

：.ZBEC=ZFAD.

又丁ZFDE=ZFDA,FD=FD,

/.△FDE^AFDA(A4S),

：.DE=DA,

：./AED=NDAE,

〈AC是。。的直径，

JZADC=90°,

・・・ZAED+ZDAE=90\

：.NAEO=ND4E=45。，

②如图3,过点A作AG_L3E于点G,过点方作FMLCE于点M,

图3

〈AC是。。的直径，

NA8C=90。，

・・・3E平分乙43C,

JZFAC=ZEBC=-N4BC=45。,

2

ZAED=45\

：.ZAED=ZFAC,

•：/FED=/FAD,

：.ZAED-ZFED=ZFAC-NEW,

・・・ZAEG=ZCAD,

・・・NEGA=N4OC=90。，

A△EGAADC,

.AEAG

••正一而’

5

・・・在RSA3G中，AG=—AB=4>/2,

2

RtAADE中，AE=近AD,

.AD4

..——=—,

AC5

在RSAQC中，AD2+DC2=AC2,

・•・设AD=4x,AC=5x,则有(4无)2+52=(5x)2,

5

一,

3

20

：.ED=AD=——,

3

35

：.CE=CD+DE=—,

3

・；NBEC=ZFCE,

,FC=FE,

VFM±CE,

,1「35

・・EM=—CE=—,

26

5

:.DM=DE-EM=一,

6

'：ZFDM=45°,

.5

：.FM=DM=~,

6

125

..SADEF=—DE・FM=一.

29

【点睛】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的

性质，相似三角形的判断与性质，全等三角形的判断与性质，勾股定理，等腰直角三

角形的判断与性质，谙练掌握相似三角形的判断与性质是解题的关键.

12.（2021衢州）如图1,