2024届新教材一轮复习北师大版 　数列的综合应用 课件（50张）

第5节数列的综合应用[课程标准要求]1.了解数列是一种特殊的函数,能在具体问题情境中,发现等差、等比关系,并解决相应的问题.2.掌握数列与函数、不等式相结合的综合问题,提升逻辑推理的核心素养.必备知识·课前回顾回顾教材,夯实四基数列应用的常见模型(1)等差模型:当增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型:当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.(3)递推模型:找到数列中任一项与它前面项之间的递推关系式,可由递推关系入手解决实际问题,该模型是递推模型.等差模型、等比模型是该模型的两个特例.1.某同学在一次模拟实验中,设定一个乒乓球从16m高处下落,每次着地后又弹回原来高度的一半再落下,则第6次着地时乒乓球所运动的路程之和为(

)A.31m B.31.5mC.47m D.63mCD3.一给定函数y=f(x)的图象在下列图中,并且对任意a1∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1>an,n∈N*,则该函数的图象是(

)A解析:由an+1=f(an)>an知,f(x)的图象在y=x上方.4.在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn}(

)A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项B关键能力·课堂突破类分考点,落实四翼1.古代数学名著《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:一女子善于织布,每天织的布是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问:该女子每天分别织多少尺布?由此条件,若织布的总尺数不少于20尺,则该女子至少需要(

)A.6天

B.7天

C.8天

D.9天B数学文化与数列的实际应用DACD4.(多选题)(2022·广东汕头三模)意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始,每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列数称为斐波那契数列.下列关于斐波那契数列{an}说法正确的是(

)A.a12=144B.a2022是奇数C.a2022=a1+a2+a3+…+a2020D.a2020+a2024=3a2022AD解析:易知,数列{an}满足递推关系an+2=an+1+an.a12=a11+a10=2a10+a9=3a9+2a8=5a8+3a7=8a7+5a6=8×13+5×8=144,故A正确;观察数列可知,数列每三项都是奇、奇、偶重复循环,2022=674×3,恰好能被3整除,且a3为偶数,所以a2022也为偶数,故B错误;若选项C正确,又a2022=a2021+a2020,则a2021=a1+a2+…+a2019,同理a2020=a1+a2+…+a2018,a2019=a1+a2+…+a2017,依此类推,可得a4=a1+a2,显然错误,故C错误;a2024=a2023+a2022=2a2022+a2021,又a2020+a2024=a2020+2a2022+a2021=2a2022+(a2020+a2021)=3a2022,故D正确.(1)找出关键语言,关键数据,将所给问题抽象为数列问题并判断数列的类型或者找到递推公式.一般地,相同的增加量(或减少量)是等差数列问题,而涉及相同的增加率(或减少率)则是等比数列问题.(2)要分清已知量和待求量,正确利用等差或等比数列的有关公式列出相应的方程或不等式.新定义数列问题1.无穷数列{an}满足:只要ap=aq(p,q∈N*),必有ap+1=aq+1,则称{an}为“和谐递进数列”.若{an}为“和谐递进数列”,Sn为其前n项和,且a1=1,a2=2,a4=1,a6+a8=6,则S2021=

.解析:由题意,得a1=a4=1,a2=2,所以a5=a2=2,同理a3=a6,a7=a4=1,a8=a5=2,因为a6+a8=6,所以a3=a6=4,故数列{an}是以3为周期的数列,S2021=S673×3+2=(1+2+4)×673+(1+2)=4714.答案:47142.若对任意的i,j∈N*,且i≠j,总存在n∈N*,使得an=ai·aj(i+j≤n),则称数列{an}是“T数列”.现有以下四个数列:①{3n+1};②{4n-1};③{3n};④{n2+1}.其中所有“T数列”的序号为

.

解析:令an=3n+1,ai·aj=(3i+1)(3j+1)=3(3ij+i+j)+1,则n=3ij+i+j∈N*,故{3n+1}是“T数列”.令bn=4n-1,则由b1·b2=21,而4n-1=21无正整数解,故{4n-1}不是“T数列”.令cn=3n,由ci·cj=3i·3j=3i+j=cn,得n=i+j∈N*,故{3n}是“T数列”.令dn=n2+1,则d1·d3=20,而n2+1=20无正整数解,故{n2+1}不是“T数列”.答案:①③答案:20214.(2022·陕西西安二模)“0,1数列”在通信技术中有着重要应用,它是指各项的值都等于0或1的数列.设A是一个有限“0,1数列”,f(A)表示把A中每个0都变为1,0,1,每个1都变为0,1,0,所得到的新的“0,1数列”,例如A={1,0},则f(A)={0,1,0,1,0,1}.设A1是一个有限“0,1数列”,定义Ak+1=f(Ak),k=1,2,3,….若有限“0,1数列”A1={0,1,0},则数列A2022的所有项之和为

.

遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、运算、验证,使问题得以解决.数列不等式的证明求和后放缩求和后再“放缩”适用于“可求和数列”,正确求和是证明不等式的关键,求和后放缩一般结合数列的单调性即可.放缩后求和[例2]设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3,数列{bn}满足:对任意的n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;放缩后求和适用于“不可求和数列”,合理放缩到可以求和是证明不等式的关键,常用放缩法:(1)舍掉或者加进一些项.(2)利用分式的性质放大或缩小分母或分子.(3)应用均值不等式.构造函数放缩构造函数,利用导数证明函数单调性,结合累加法即可证明不等式.[针对训练]1.记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,且Sn=an+1-3.(1)求数列{an}的通项公式;2.已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求{an}的通项公式;(1)解:由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan对所有n≥1都成立.所以数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列.从而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,又q>0,故q=2,所以an=2n-1(n∈N*).3.已知函数f(x)=lnx-a(x-1)(a>0)(e≈2.718,即自然对数的底数).(1)若函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;培优点(六)数列中的奇偶项问题[知识链接]数列中的奇偶项问题考查的方向大致有:1.等差、等比数列中的奇偶项和的问题.2.数列中连续两项和或积问题,即an+an+1=f(n)或an·an+1=f(n)型.3.含有(-1)n的问题.4.通项公式分奇、偶项有不同通项公式问题,即含有{a2n