狭义相对论的两个基本原理

狭义相对论的两个基本原理

理论包括狭义理论和广义理论。爱因斯坦于1905年在光速不变原理和相对性原理的基础上建立了狭义相对论。迄今,所有物理学(除引力)的基本定律都可以建立在狭义相对论的基础上,其结论都与实验符合。在所研究对象的运动速度远小于真空中的光速(低速近似)的极限情况下,狭义相对论物理学就与非相对论物理学一致。在非低速近似情况下的科学技术,都必须考虑狭义相对论效应。在引力的影响必须考虑的情况下,可利用牛顿万有引力定律作为近似;在非近似情况下,就要利用爱因斯坦于1915年建立的广义相对论。牛顿万有引力定律不服从狭义相对论,与狭义相对论一致的引力理论,或者说,在相对惯性系作加速运动的非惯性系统中的相对论,就是广义相对论,其结论都与实验符合。除去引力的影响,广义相对论就归结为狭义相对论。在狭义相对论中,三维空间间隔和一维时间间隔各自对不同的惯性系的观察者都不再是不变的量。狭义相对论中的时空是平直时空,其中的“事件”由四维坐标描述。四维时空间隔在洛仑兹变换下保持不变,还保证了相对论中因果关系继续成立。这使得能在整个时空间上建立一个整体惯性系(四维平直时空),时空特性则由伪欧基里德几何描述。伪欧基里德几何与欧基里德几何在时间坐标与空间坐标的表示上有所不同。所有惯性系的时间坐标和空间坐标之间以洛仑兹变换相联系。洛仑兹变换是光速不变原理的数学表示。它描述任意两个相对作匀速直线运动的惯性系之间的变换关系。狭义相对论的基础,包括狭义相对论的基本概念和基本原理,四维平直时空度规,时间和空间与运动的相互联系,四维时间间隔的不变性,狭义相对论中的因果关系,作用量原理的物理实质,时空对称性与守恒定律的关系,物质、运动与时空间的关系等一些方面,本文依次作概要的讨论,最后略述与狭义相对论基础相关的近来关于超光速与光停下来的实验和议论。1狭义相对论的基本物理定律在一定的问题中,可将研究对象简化为质点:有质量而无大小的点。质点的质量用m表示。此处“无大小”是指其尺度接近普朗克空间尺度。所有复杂体系一般可看作由一些有相互作用的质点所组成。质点在任何时候任何情况下都具有波动和粒子二象性。在不同情况下,有时(如在所谓宏观情况下)以粒子性为主,有时(如在所谓微观情况下)以波动性为主。宏观与微观的分界通常取原子大小的尺度(10-10m)。另一种说法是以包含普朗克常数的项在所研究的问题中是(宏观)否(微观)可忽略为依据。惯性系是自由质点在其中保持静止或作匀速直线运动的参考系。自由质点是指所受合外力为零的质点。惯性系也可用时空特性来定义:惯性系是具有空间均匀性、时间均匀性以及空间各向同性的系统。质心参考系(简称C系)为相对系统整体(质心)为静止的参考系,C系中的量带下脚标“。”。实验室参考系(简称L系)为相对C系沿x轴负向以速率v作匀速运动的参考系,L系中的量不带脚标。在L系中,系统的速率v也就是L系中系统的粒子的平均速率,而在C系中,系统的粒子的平均速率为零。C系与L系的空间和时间坐标轴分别对应平行,而且设两系在各自选定的初始时刻原点重合。物理量是与测量单位相联系的。物理定律在不同的单位制中的表述形式不同。但是,这种差别只与一些常数有关。对于粒子体系,为单值地确定一个体系的位置所必需的独立量的数目s称为该体系的自由度数。对于场,采用位形空间的维数的一半为其自由度数。对于克莱因-高登场,在每一个空间点有一个自由度;对于引力场,在每一个空间点有两个自由度。狭义相对论物理学以下列两个原理(假设)为基础:(1)光速不变原理:真空中的光速既不依赖于光源的运动,也不依赖于接收器的运动,在所有惯性系中,它具有相同的数值。(2)相对性原理:空间是均匀及各向同性的。时间是均匀的。在所有惯性系中,基本物理定律可写为相同的形式。爱因斯坦于1905年在上述两个基本假设(表述略有不同)的基础上建立狭义相对论。迄今,所有物理学(除引力)的基本定律都可以建立在狭义相对论的基础上。2洛仑兹度规张量的时空特性狭义相对论中的平直时空中的一个“事件”由四维坐标xμ=(xi,ct)描述,其中上角标希腊字母μ分别取1,2,3,0;而上角标拉丁字母i分别取1,2,3,表示空间分量;角标0表示时间分量(另一种等效的表示方法是在时间分量前面引入虚数单位)。每一个事件也只定义到普朗克尺度。在这种意义上,时空是由事件组成的光滑(连续可微)流形。时间间隔和空间距离“趋于零”均理解为趋于普朗克尺度。对于一个没有内部结构的、质量m全部集中在质心的质点,它的位置可以用时间-空间坐标表示为坐标(又称逆变)四矢xμ=(x1,x2,x3,x0)=(xi,ct)(2.1)其对偶坐标四矢,又称坐标协变矢量,表示为xv=(x1x2x3x0)=ηνμxμxμ=ημνxvημν=ημν}(2.2)其中,上、下指标均取1,2,3,0。括号中的量称为矢量的分量。洛仑兹度规张量的元素为常数,它们不依赖于时空坐标,这说明该张量的元素在时空间中处处具有相同的值,因此,它描述的时空是整体平直时空。在数学上,将对角元素均为(+1),而非对角元素均为零的度规张量所描述的几何称为欧基里德几何;这里的度规张量有一个对角元素为(-1),称为伪欧基里德几何。狭义相对论物理学都在平直时空中讨论,都使用伪欧基里德几何。这使得能在整个时空间上建立一个整体惯性系,时空特性则由伪欧基里德几何描述。所有惯性系之间以洛仑兹变换相联系。3长度与时间的洛伦兹变换洛仑兹变换是光速不变原理的数学表示。它描述任意两个相对作匀速直线运动的惯性系之间的变换关系。3.1在l系中的事件由洛仑兹变换,两个事件(1和2)在两个惯性系中的时间坐标的关系分别为t′1=γ(t1+uc2x1)t′1=γ(t2+uc2x2)}(3.1)在L′系中,这两个事件的时间间隔为Δt′=γ(Δt′+uc2Δx).(3.2)设同一个惯性系中的所有的钟构造相同且都已校准。如果一个静止于L系中的钟(L′认为它是运动的钟)的两个不同的时刻对应于所讨论的这两个事件,则在L系中它们应有相同的空间坐标,于是上式成为Δt′=γΔt(3.3)这说明,在L′系看来,运动的钟变慢。3.2慢不同的时率由(3.2)式看出,L′系中的时间间隔与L系中的空间间隔和时间间隔都有关。例如,分别静止于这两个惯性系中的两个钟,它们的快慢不同,即“时率”不同,需要校准。由(3.1)式看出,L′系中的时间与L系中的空间位置和时间都有关。例如,静止于L系中的不同地点的一系列钟,都同时指示零点时,在L′系看来,处于L系中不同地点的钟指示一系列不同的时刻。“时差”不同,需要校准。由此看来,处于不同惯性系中的钟存在“时率”和“时差”的不同,需要校准。由上列两式可以计算出这些差别,因此,时钟的校准是可能的。3.3有“3.2”式和3.5有一种说法认为,在L′系看来,L系的钟是运动的钟,因而变慢,如(3.3)式所示;同理,在L系看来,L′系的钟是运动的钟,应有Δt=γΔt′.(3.4)将(3.3)式代入(3.4)式,则Δt=γ2Δt.(3.5)因此,只要这两个惯性系之间的相对运动速度v不等于零,(3.5)式就是矛盾的。这种说法的错误在于,只要v不等于零,(3.3)式和(3.4)式就不能同时成立。事实上,对于一个静止于L系中的钟(L′认为它是运动的钟),才有(3.3)式;同理,对于一个静止于L′系中的钟(L认为它是运动的钟),才有(3.4)式。当v不等于零时,静止于L系中的钟不可能在L′中也是静止。因此,(3.5)式不成立。这就是所谓的“时钟佯谬”,即关于相对论中时钟问题的虚假的荒谬。3.4两个事件在l系中的同时发生由(3.2)式,只有两个事件在L系中同时(Δt=0)而且同地(Δx=0)发生,在L′系中才是同时(Δt′=0)发生。两个事件在L系中同时但不同地发生,则在L′系中不是同时发生。同理,两个事件在L′系中同时而且同地发生,在L系中才是同时发生;两个事件在L′系中同时但不同地发生,则在L系中不是同时发生。在一个惯性系中同时发生的两个事件,在另一个惯性系中认为不一定是同时发生。这就是相对论中的“同时的相对性”。一般来说,两个事件在不同惯性系中发生的先后次序有可能颠倒。例如,由(3.2)式,在L系中Δt>0,在L′系中有可能Δt′<0。反之亦然。但是,有因果关系的两个事件的先后次序是不可能颠倒的。总之,在相对论中,不同惯性系中“同时”的概念具有相对性,但是因果关系将仍然有效。3.5-vt2由洛仑兹变换,两个事件(1和2)在两个惯性系中沿相对运动方向的空间坐标的关系分别为x′1=γ(x1-vt1)x′2=γ(x2-vt2)}(3.6)在L′系中,这两个事件的空间间隔为Δx′=γ(Δx-vΔt).(3.7)设同一个惯性系中所有的尺构造相同且都已校准。如果一个静止于L系中的尺(L′认为它是运动的尺)的起点和终点对应于所讨论的这两个事件,则在L系中它们应有相同的时间坐标,于是(3.7)式成为Δx′=γΔx.(3.8)这说明,在L′系看来,运动的尺缩短了。3.6v不等于l系中的尺与2x.3.在相对论中,对于运动的尺缩短,也有一种说法,认为在L′系看来,L系的尺是运动的尺,因而缩短,如(3.8)所示;同理,在L系看来,L′系的尺是运动的尺,因此应有Δx=γΔx′.(3.9)将(3.8)式代入(3.9)式,则Δx=γ2Δx.(3.10)因此,只要这两个惯性系之间的相对运动速度v不等于零,(3.10)式就是矛盾的。这种说法的错误在于,只要v不等于零,(3.8)式和(3.9)式就不能同时成立。事实上,对于一个静止于L系中的尺(L′认为它是运动的尺),才有(3.8)式;同理,对于一个静止于L′系中的尺(L认为它是运动的尺),才有(3.9)式。当v不等于零时,静止于L系中的尺不可能在L′中也静止。尺的起点和终点在L系中是两个不同的空间点,它们是同时的;但是在L′系中,它们不是同时的。因此,(3.10)式不成立。这就是所谓的“长度佯谬”,即关于相对论中长度问题的虚假的荒谬。3.7光谱线的多普勒红移公式由洛仑兹变换,可得两个不同惯性系中光谱线的频率之间(当忽略高次无穷小项时)的下列变换关系f′=f(1-u/c).(3.11)这就是光谱线的多普勒红移公式。4不均匀空间间隔4.1固有时微商的形成在狭义相对论中,三维空间间隔和一维时间间隔各自对不同的惯性系的观察者都不再是不变的量。例如运动的尺缩和钟慢。因而有必要定义四维时空中的不变量:时空间隔(space-timeinterval)ds2=dxμdxμ=ημvdxμdxv=dx′μdx′μ=ds′2.(4.1)其中带“′”的量与不带“′”的量分别为在两个相对作匀速直线运动的惯性系中的坐标。容易验证,时空间隔对各个不同的惯性系来讲是一个“不变量”,即时空间隔在洛仑兹变换下保持不变。实际上,(4.1)式是狭义相对论的光速不变原理的数学表示。从后面因果关系一节的讨论还可看出,时空间隔在洛仑兹变换下保持不变,还保证了相对论中因果关系继续成立。在C系中,即在与系统“共动”的惯性系中,所测得的时间称为固有时,用字母τ表示。即ds2=-c2dτ2=-c2(1-v2c2)dt2dt=γdτ}(4.2)由于时空间隔是不变量,所以固有时间隔也是不变量。因此,所有四维矢量对固有时的微商构成四维矢量。例如由四维坐标矢量对固有时的微商构成四维速度,由四维速度对固有时的微商构成四维加速度等。4.2质量与能量的关系系统的四维速度定义为uμ=dxμdτ=γ(v,0,0,c).(4.3)显然有uμuμ=-c2=-1.(4.4)这也说明四维速度是类时矢量。若在C系中,系统的质量为M0,能量为E0,三维动量为G0,则在L系中,系统的四维动量矢量(与四维动量密度矢量只相差一个相乘的常数因子——固有体积V0,对于单位固有体积元,整体量与密度量均)为pμ=Μ0uμ=γ(Μ0v,0,0,E0/c)=(G,0,0,E/C)G=γG0E=γE0‚E0=Μ0c2}(4.5)显然有pμpμ=-M02c2=G2-E2/c2.(4.6)由此看出,四维动量是四维类时矢量。(4.6)式将三维动量、能量和静止质量联系起来。由(4.5)式与(4.6)式可得出,在任何惯性系中E=Mc2,M=γM0.(4.7)这是著名的质量-能量联系关系。由于光速是一个普适恒量,因此,在相对论中,质量与能量在本质上是相同的物理概念。这个关系为原子核能的释放奠定了理论基础。在一定条件下,当质量为M的原子核分裂为一些质量为M(i)的碎片时,或一些质量为M(i)的粒子聚合为一个质量为M的原子核时,有与“质量亏损”相对应的能量释放。质量亏损为ΔΜ=±[Μ-∑iΜ(i)].(4.8)四维加速度定义为aμ=duμdτ,(4.9)而且容易证明四维加速度与四维速度是“正交”的,即aμuμ=0.(4.10)4.3两式相除法v根据洛仑兹变换,在L′系中一个运动的粒子经过两个无限靠近的事件之间的空间间隔为dx′=γ(dx+vdt).(4.11)它们之间的时间间隔为dt′=γ(dt+vc2dx).(4.12)两式相除得v′=v+u1+vuc2v′=dx′dt′u=dxdt}(4.13)其中v′是粒子在L′系中的速度,u是粒子在L系中的速度,v是两系之间的相对速度。这就是相对论性的速度合成法则。(1)当这些速度都比光速小很多,以至上式的分母可近似看作1时,则得到v′=v+u,即非相对论性的速度合成法则。(2)当这些速度中有一个是光速时,合速度均为光速。这保证了光速作为极限速度的地位,即任何速度不可能超过光速。对于逆变换,(4.13)式中负号改为正号,以上仍为正确。4.4狭义相对论中的能量在L系中,观察者以速度v运动,所研究的体系以速度u运动,观察者所测得的体系的能量定义为E=-vμpμpμ=Μ0γ(u,c)=γ(Μ0u,E0/c)vμ=11-v2/c2(v,c)}(4.14)这是一个在狭义相对论中普遍适用的能量的定义。一个重要的特殊情况是,当观察者与体系一道运动时,即v=u时,也即观察者与体系相对静止时,显然E0应是观察者所测得的体系的能量。这一结果可从(4.14)式立即得到。另一个重要的特殊情况是,在观察者为静止的惯性系L′中,若体系相对观察者的速度为v′,观察者所测得的体系的能量为E′=γ′E0,γ′=1/1-v′2/c2.(4.15)这是(4.14)式的直接结果。而且可以验算,(4.15)式中的相对速度v′满足相对论速度合成法则(4.13)式。这在物理上是理所当然的。当观察者相对L系为静止,则v′=u,因此得到能量的洛仑兹变换关系。5类空类光式在时空中,任意两个事件之间的关系不外下述三类:类时(timelike)、类空(spacelike)和类光(lightlike),它们分别对应于时空间隔的平方小于、大于和等于零。由于(4.1)式,这三种关系具有洛仑兹变换不变性。即若两个事件在某一个惯性系中是类空(类时或类光)的,则它们在一切惯性系中都是类空(类时或类光)的。由于(4.2)式,具有类时关系的两个事件可以小于光速的信号相联系;具有类光关系的两个事件可以等于光速的信号相联系;因此,具有类时或类光关系的两个事件之间(原则上)可能有因果联系。类似地,也可以说具有类空关系的两个事件可以“大于光速”的信号相联系。但是,由于在自然界还没有发现任何信号可以大于光速的速度传递,因此,具有类空关系的两个事件之间不可能有因果关系。在相对论中,“同时”具有相对性,它依赖于观察者与被观察的对象之间的相对运动。具有类空关系的两个事件发生的先后次序可以颠倒,但是,这并不违背因果关系。因为“具有类空关系的两个事件之间不可能有因果关系”,所以没有因果关系的两个事件发生的先后次序颠倒不违背因果关系。另一方面,由洛仑兹变换可以验证,具有类时或类光关系(即可能存在因果关系)的两个事件发生的先后次序不可能颠倒。这是遵从因果关系的。综上所述,在狭义相对论中,虽然“同时”具有相对性,具有类空关系(即不可能存在因果关系)的两个事件发生的先后次序也可以颠倒,但是,并没有因此破坏因果关系。因果关系仍然有效。6剂量原理6.1经典的路径演化普朗克反应除了相对论的两个基本原理,本文还将费曼(Feymann)的路径积分思想作为作用量原理的物理基础。这样做的理由是现代的一些教材和读物使用路径积分思想。以微分几何的语言来说,相对论中的时空是光滑的四维流形(manifold),它可看作是事件的集合,也可看作是线汇(congruence)的集合。在线汇中,曲线不相交。一个事件一定在线汇中的一条曲线上。过任一事件有且只有一条线汇中的曲线通过。另以方面,同一时空间可以不同的方式划分为不同的线汇的集合。当考虑到事件的普朗克尺度时,线汇中的曲线也应该具有普朗克尺度。相对论物理学(包括相对论量子力学)认为:在时空中任何两个事件之间可能有无穷多条连接它们的路径(路径可以相交,从一个事件出发有许多可能的路径,许多可能的路径也可以会聚于一个事件,各种可能的路径可看作是各种线汇集所组成的子集族)。每一个事件可以与一个物理状态相联系。物理过程可以看作从一个物理状态向另一个物理状态的演化。每一条路径可以与一种可能的演化方式相联系。经典的演化(当不考虑经典混沌时)对应众多的可能路径中的一条,而量子的演化以各种几率与可能的路径相联系。一般来讲,沿各条路径演化的可能性由几率描写。设一条路径的某一段对几率的贡献由一个指数函数来描写,并设各段路径对振幅的贡献相同,而对相位的贡献不同。每一段贡献的相位与经典作用量I成正比。作用量以普朗克常数为单位来量度。如某一路径的某一段的贡献(以角标i来标志)为ρi=ρ0exp(-iIi/η).(6.1)每一条路径对几率的贡献等于此路径各段贡献相乘,因此作用量相加。从一个状态到另一个状态演化的几率等于这两个状态之间所有可能演化路径的几率(振幅相同,但相位可能不同)之和。路径,在三维空间中对应于位置移动的轨迹;在四维时空中对应一条世界线。在其他描述状态的抽象空间(称为位形空间)中,状态与代表点对应,路径对应于演化过程。在经典情况下,以普朗克常数为单位的作用量是一个很大的数。相邻路径的相位差使得它们的贡献急剧改变符号而相互抵消。只有在作用量取极值处的附近,作用量变化很小,才有净的贡献。因此,在经典情况下,作用量的极值对应的经典路径具有特别的重要性。它表示经典物理状态单一的真实演化的路径。6.2从四维时空事件的时间新解为以后作准备,我们先讨论时空间的分叶。利用四维速度和度规张量可以构成所谓的“空间投影算符”pμv=ημv+uμuv,(6.2)利用四维速度矢量和空间投影算符可将任何一个四维矢量Fμ分解为类时和类空两部分,Fμ=fuμ+fμf=-uvFvfμ=ΡμvFv}(6.3)前面已指出,四维速度是类时矢量,因此(6.3)式中第一式右边第一项为类时,第二项为类空。用这样的方法,可以将四维时空的类时部分用参量t(称为时间)进行参量化,任何一个与参量t对应的三维类空超曲面就是t这个时刻的空间,称为t的“同时”三维超曲面。这样,四维时空间分叶为无穷多个三维类空超曲面的族,或者说,时空间是三维类空超曲面的集合。因此,时空间既可以说是(0维的)事件的集合,也可以说是(1维的)线汇的集合,还可以说是(3维的)类空超曲面的集合。时空间是以时间为参量的三维类空超曲面的集合,相当于重新将时空间分解为时间和空间。这种分解,一方面方便于不同惯性系的描述,另一方面方便于推广到非惯性系的描述。6.3拉格朗日函数和密度量一个物理系统的状态由拉格朗日(Lagrange)函数L(四维坐标和四维速度的函数)描写,设系统由位形空间中确定的事件A对应的状态演化为确定的事件B对应的状态,则定义作用量I为沿任意连接A和B的路径的积分I=∫BALdt.(6.4)对A和B之间的不同路径,积分的结果可能不同。对应真实的经典演化过程的路径使I取极值,即作用量的变分应为零δI=0.(6.5)这就是作用量原理。当A和B足够接近时,I取最小值。一般情况下,I为极值即可。I应该是洛仑兹变换下的不变量。由时间间隔与固有时间隔之间的关系,可知拉格朗日函数不是洛仑兹变换下的不变量:L=L0/γ,(6.6)其中,L0为共动系中的拉格朗日函数。现在引入密度量。密度量在相对论物理学中具有基本重要性。引入拉格朗日函数密度(简称拉格朗日密度)将作用量(6.4)式改写为I=∫λdtdV=∫λdt0dV0=∫λdΩ.(6.7)容易验证,上式中的拉格朗日密度和四维体积分元都是洛仑兹变换下的不变量。6.4拉格朗日方程的求解将作用量(6.7)式变分,即将拉格朗日密度分别对四维坐标和四维速度变分,注意到A与B是两个固定点,在该处,对位置的变分应为零(因而分部积分积出的项为零);还由于作用量原理对任意的坐标变分元应该成立,则得到该物理系统的任何一个单位体积元的运动方程:ddτ(∂λ∂uμ)-∂λ∂xμ=0.(6.8)这就是相对论性拉格朗日方程。它在任何惯性系中都成立。四维力密度和四维动量密度定义如下:fμ=∂λ∂xμ,Ρμ=∂λ∂uμ.(6.9)(拉格朗日密度是不变量这个事实保证了它们都是四维矢量)。将(6.9)式代入(6.8)式,拉格朗日方程(6.8)式成为fμ=dpμdτ.(6.10)(6.8)与(6.10)两式都是洛仑兹协变的。需要强调指出,如果(6.9)式中的四维坐标的三个空间分量是空间平动坐标,则四维力密度的三个空间分量是力密度的分量,四维速度的三个空间分量是线速度的分量,四维动量密度的三个空间分量是线动量密度的分量;如果四维坐标的三个空间分量是空间转动坐标,则四维力密度的三个空间分量是力矩密度的分量,四维速度的三个空间分量是角速度的分量,四维动量密度的三个空间分量是角动量密度的分量。至于第四分量,可以看出:四维坐标的第四分量是时间,四维速度的第四分量是光速,四维动量密度的第四分量是能量密度,四维力密度的第四分量是功率密度。(6.10)式说明:线动量密度的时间变化率等于力密度;角动量密度的时间变化率等于力矩密度;能量密度的时间变化率等于功率。四维动量和四维动量密度的定义方式是不同的:四维动量矢量是从四维速度矢量定义的;四维动量密度矢量是从拉格朗日密度定义的。体积不是洛仑兹不变量。四维动量矢量和四维动量密度矢量都是四维矢量,都服从洛仑兹变换。原来,四维矢量和四维密度矢量之间是以固有体积相联系的,因此本文在符号上未将它们区别,只在上下文中给予说明。6.5拉格朗日方程的拉格朗日方程,拉格朗日方程为—哈密顿方程一个物理系统的任意单位体积元的状态也可以由哈密顿(Hamilton)密度H(四维坐标和四维动量密度的函数)描写:H(xμ,pμ)=pμuμ-λ(xμ,uμ).(6.11)由(6.11)式及拉格朗日方程可得∂Η∂pμ=uμ,∂Η∂xμ=-dpμdτ=-fμ.(6.12)这就是相对论性哈密顿方程。它是洛仑兹协变的。无论是从数学方面看还是从物理方面看,一个二阶的拉格朗日方程与两个一阶的哈密顿方程本质上是等效的,对初始条件的要求也是相同的。在解决具体问题时,二者各有其长。6.6哈密顿-雅帐篷若考虑变分是沿真实路径(因而满足拉格朗日方程,也当然满足哈密顿方程),起点固定而终点变化,即变分是对终点的坐标进行,仅留下的是分部积分积出的项在变化的终点的值:δΙ=-pμδxμpμ=-∂Ι/∂xμ}(6.13)由(4.6)式,则有ημv∂Ι∂xμ∂Ι∂xv=-Μ0c2.(6.14)这就是相对论性的哈密顿-雅可比方程。它是洛仑兹协变的。7时空对测和固定顺序的影响7.1洛仑兹协变式7.2如果时空间具有均匀性,则时空间中的物理系统的状态将不直接依赖于时空坐标,即∂λ∂xμ=0(7.1)而且,它是洛仑兹协变的。由(6.9)式中的第一式,这就是四维力密度为零。由拉格朗日方程可得dpμdτ=0(7.2)这就是由时空间的均匀性导出的四维动量密度守恒定律的一般形式。它是洛仑兹协变的。(7.2)式是四个等式,其中,三个空间分量的等式对应动量(包括线动量和角动量)密度守恒,时间分量的等式对应能量密度守恒。如果时空间只在某一个坐标方向具有均匀性,即若四维力密度的某个分量为零,则四维动量密度在该方向的分量是守恒的。时空间的均匀性包含三方面的内容:空间平动的均匀性,空间转动的均匀性和时间平移的均匀性。空间转动的均匀性就是空间各向同性。在这里“均匀性”,“不变性”和“对称性”可以通用。这可概括为“时空间的均匀性”。但是,这里的时间的对称性不包括时间反演对称性。由时空间的均匀性导出的守恒定律也包含三方面的内容:线动量密度守恒、角动量密度守恒以及能量密度守恒。动量包括线动量和角动量,能量是四维动量的第四分量,因此可概括地说“四维动量密度守恒”。这种看法的一个问题是,角动量的洛仑兹变换关系不平常。结论是:守恒定律与对称性相关,四维时空间的均匀性导出四维动量密度守恒。7.2维动量密度在时空中的每一个事件处,有一个四维动量-应力张量。它包含该处所有形式的物质和场(除引力场)的四维动量和应力。四维动量-应力张量由下式定义:Tμv=pμuv-δμvλ.(7.3)它是对称张量。将四维动量-应力张量对四维坐标取偏微商后缩并,由(7.3)式及(6.9)式得∂Τμv∂xv≡Τμv,v=-δμv∂λ∂xv=-fμ=-dpμdτ.(7.4)当四维力密度为零,即若(7.1)式成立,则得Τμv,v=-dpμdτ=0.(7.5)这就是相对论性的四维动量密度守恒定律。它是洛仑兹协变的。显然,它就是(7.2)式。下面指出四维动量-应力张量的各个分量的物理意义。四维动量-应力张量与四维速度缩并的结果给出该处的四维动量密度:Tμvuv=T0μ=dpμ/dV.(7.6)其中,V为三维空间的体积。动量-应力张量与四维速度缩并两次后给出能量密度:Tμvuμuv=T00=ρ.(7.7)动量-应力张量的空间-空间分量Tij是动量-应力张量与两个类空单位坐标基矢量缩并的结果。它们是作用于单位面积(其法线沿j方向)上的力的i方向分量,称为动量流密度或应力。时间-空间分量为能量流密度。时间-时间分量为能量密度。例如,理想流体的能量-动量-应力张量为Tμv=(ρ+p)uμ