时域滤波的arx模型自适应滤波法

时域滤波的arx模型自适应滤波法

基于信号分析的时域滤波在上一节中，介绍了两种基于傅里叶变换技术的共振变量信号分析方法：短期傅里叶变换和序列跟踪分析，以及通用减速机械的振动信号分析。但由于富氏变换本质上的不足,对于激烈变化的信号其分析质量就很差。针对这一点,提出了时域滤波的Kalman滤波法。但它只适用于单频的谐和变频信号的分析。在这一讲中将着重介绍另一种时域滤波方法:ARX模型自适应滤波法。它可以对多频结构的谐和变频信号作分析,并且不受频率或幅值变化激烈程度的限制。2.4arx模型自适应滤波法2.4.1自适应建模和滤波Auto_Regressive模型(自回归模型,简称AR模型)法是信号时间序列的通用的建模分析方法,它是在模型回归阶数选定之后,根据信号离散后的时间序列的性质识别模型中的参数。这样建立起来的AR模型将能代表信号的主要特性,可用以分析、预报,亦可用以按我们的要求进行滤波。ARX模型是在AR模型中除了有自身的输入回归项之外,还包含有输出项。在分析非稳态信号时,我们可以利用它的建模特性,在不同瞬时自适应地建立符合当时信号特性的不同模型,滤去不需要的信号部分和噪声而提取出有用的特征信号。自适应建模和滤波通常是利用递推算法进行的。实用证明,这种方法对于结构比较复杂的信号(如多种频率不同变化的组合信号)也能以较高精度滤出我们所需要跟踪的目标信号,具有很强的去噪能力。这种方法对于状态监测和故障诊断特别有用。2.4.2子多项式的识别算法这里介绍的方法是基于这样的ARX模型y(t)=B0(q-1)u(t)+v(t)(2.7)其中u(t)为输入信号,y(t)为输出信号,v(t)为需要加以滤掉的噪声,q-1为后移算子,B0(q-1)为后移算子多项式,即使u(t)等间隔后移再作线性组合:B0(q-1)u(t)=(b0+b1q-1+b2q-2+…)u(t)=b0u(t)+b1u(t-1)+b2u(t-2)+…(2.8)这一模型实际上是线性回归的型式,识别其中参数θ(b0,b1,b2,…)时只需要作线性运算而且对附加的多频带噪声的抗干扰能力很强。模型具有鲁棒性,即模型中噪声项v(t)只要其为零均值且与u(t)不相关,则不管u(t)的性质如何,用预估误差方法,总可以得到参数θ的一致估计。对信号y(t)作自适应滤波时的模型框图如下图所示:图2.5中,s(t)是我们希望滤得的目标信号,y(t)是实际测量得到的信号,H(q-1)及T(q-1)为相应的滤波器传递函数,是后移算子多项式,其未知系数需要经过识别过程确定。用这一模型的目的是从测量信号y(t)中滤去噪声e(t)及其他不需要的信号部分f(t)而获得目标信号s(t)的估计值ˆssˆ(t)。在我们所设计的这类时域滤波中,控制信号u(t)具有与目标信号s(t)相同的结构,也即是说一旦确定了所需滤出的信号的结构之后,给定u(t),我们希望能从被其他信号及噪声严重污染了的测量信号中提取出与u(t)成比例关系的有用信号s(t)系统的差分方程有如下形式:{y(t)=Η(q-1)s(t-1)+e(t)+f(t)s(t-1)=Τ(q-1)u(t-1)(2.9){y(t)=H(q−1)s(t−1)+e(t)+f(t)s(t−1)=T(q−1)u(t−1)(2.9)其中假定s(t)与e(t)及f(t)是相互独立的。要使s(t)与u(t)成比例关系,T(q-1)可取成常数C,于是差分方程可写成:y(t)=C·H(q-1)u(t-1)+v(t)=B(q-1)u(t-1)+v(t)(2.10)根据输出信号y(t)及控制信号u(t),用参数辨识的算法可算出后移多项式B(q-1)中各项系数bi的估计值ˆθθˆ(ˆbbˆ0,ˆbbˆ1,ˆbbˆ2,…)。如令ϕT(t)={u(t-1),u(t-2),…,u(t-n)}则用以识别参数θ的准则为使以下目标函数取极小值:W(θ)=E[y(t)-B(q-1)u(t-1)]2=E[y(t)-ϕT(t)θ]2(2.11)其中符号E表示取平均值,故上式是使用均方准则,θ的估计值ˆθθˆ将收敛于整体极小值。根据参数估计值ˆθθˆ,可以得到预估的目标信号ˆssˆ(t)ˆs(t)=ˆB(q-1)u(t-1)=ϕΤ(t)ˆθsˆ(t)=Bˆ(q−1)u(t−1)=ϕT(t)θˆ对于非稳态信号的滤波,由于信号特性随时间不断变化,因此不能采用一个固定不变的滤波器,在每一时刻用于滤波的模型参数θ都应是不相同的,随着不断变化的输入输出值,将通过辨识得到随时间变化的估计值ˆθθˆ(t),使模型参数不断自动地适应信号的时变,故称之为自适应滤波。为了希望快速地得到时变的估计值,减少计算工作量,这里采用递推的参数辨识算法,即是根据前一时间点所识别的模型参数和新的输入输出数据递推地修正模型参数,这样可以快速地建立自适应滤波模型。递推算法的基本公式为:ˆθ(t)=ˆθ(t-1)+Κ(t)[y(t)-ˆy(t)]θˆ(t)=θˆ(t−1)+K(t)[y(t)−yˆ(t)]其中ˆθθˆ(t)及ˆθ(t-1)θˆ(t−1)分别为t时刻及前一时刻的参数估计值,y(t)为t时刻的信号测量值,ˆyyˆ(t)为基于(t-1)时刻以前的输入输出值所建立的模型而得到的y(t)的估计值,K(t)为t时刻的增益因子。目前有多种不同的递推算法,主要是根据K(t)的不同形成方法而各异,如Kalman滤波中的递推法,遗忘因子法,规一化的或非规一化的梯度法等等。从数值仿真及实用中计算的结果来看,对于ARX非稳态滤波模型来说,以Kalman滤波法的效果较好,因之在本文以下的算例及实例信号分析中,都使用了Kalman滤波中的递推算法。2.4.3t3in为了考核这种时域滤波方法的滤波能力和说明它的一些特征,下面列出一个计算机仿真的算例。设测量得到的信号y(t)为变速信号并混杂有其他频率的正弦信号,同时还受随机噪声的污染,以下式表示之:y(t)=3sin(2π·30t2)+4sin(2π·30t)+sin(2π·50t)+sin(2π·80t)+rand(t)如要求提出有用的变速信号(即目标信号)为:s(t)=3sin(2π·30t2)我们可以采用控制信号u(t)=sin(2π·30t2)则得到的滤波后信号ˆssˆ(t)将趋近于s(t)。ˆssˆ(t)→3sin(2π·30t2)滤波时采样频率f=1000Hz,采样长度L=0.5s,ARX模型阶数为6。图2.6为例中控制信号u(t)(虚线)和预估目标信号ˆssˆ(t)(实线)的比较。如果我们要求提出有用信号为:s′(t)=3sin(2π·30t2)+4sin(2π·30t),则可以采用与s′(t)有相同结构但其分量有不同幅值的控制信号:u′(t)=sin(2π·30t2)+sin(2π·30t)此时得到的滤波后信号ˆssˆ′(t)将趋近于s′(t)。ˆs′(t)→3sin(2π⋅30t2)+4sin(2π⋅30t)图2.7为控制信号u′(t)(点线)、目标信号s′(t)(虚线)和预估目标信号ˆs′(t)(实线)的比较。从算例的图形中可看出,预估的目标信号与所希望获得的目标信号是很相接近的。2.4.4振动信号和滤波一试验用单级升速齿轮箱,齿轮齿数为32×24,功率为2.5kW,用变频电机调速,转速变化率可预先设定控制,输入轴额定转速为1800r/m,输出轴为2400r/m,轮齿啮合频率为96Hz。在输出轴上安装光学编码器,随着轴的转动,每一转可发出一定数量的连续脉冲信号,以反映转轴的转速变化。在输出轴的轴承上,水平及垂直方向安装加速度传感器以监测轮齿的振动状况。在齿轮箱变速过程中监测并记录其振动信号,然后进行时域滤波,滤得其特征波形作状态估计。振动信号及光学编码器发出的脉冲信号同步记录,采样后截取的观察窗为4096点。图2.8中示出了变速时的转速信号、振动信号以及滤波后的信号。图中,(a)是不等距的转速脉冲,其相应的转速变化示于(b)。用多项式拟合方法可得出转速频率变化的曲线近似于一斜直线,可写成如下方程fr=18.26-1.4tHz图中(c)是测得的振动信号。根据理论分析及实践经验,齿轮箱的主要振动成分是受调制的轮齿啮合频率分量并可近似表达为主啮合分量及二个相隔二倍转速频率的边频分量之和。如令fr为转速频率,24fr为轮齿啮合频率,则可设定滤波的控制信号为:u(t)=cos(2π·24frt)+0.33cos(2π·22frt)+0.33cos(2π·26frt)这样经过ARX模型自适应滤波后得到的特征波形如图中(d)所示,可明显地看出是在降速过程中幅值衰减的信号,图中(e)及(f)示出前段及尾段放大了的设定的控制信号和滤出的目标信号。可看到尽管设定的是等幅的控制信号,但由于滤波器的特性,仍能滤出监测信号中的变频变幅的实际信号。2.4.5基于时域滤波的稳态信号转换监测得到的变速状况下的振动信号,经上述自适应时域滤波之后,可以获得较简单形状的特征波形。根据这些波形,已可以看到机械变速时其主要特征的变化情况,据此可以估计机械在变速过程中的状态变化以及判断是否有故障存在。但是时域特征波形有时不是单一频率的波形,要用有限的数字来量化它的状态会有一定困难。因此有时我们希望将滤波后的波形作进一步的处理,仍用类似频率分量的形式来加以表示,以更醒目地突出其特征。这时,将时域滤波与在上一讲已详细介绍过的角域分析结合起来,将可以得到一种较完善的组合分析方法。下面通过一个实例来介绍这种组合方法。仍用上节所述试验用齿轮箱变速运行时测得的轴承座上加速度信号作为分析信号。同时在轴上安装光学编码器,轴每一转发出280个脉冲,据此作为采样触发信号而获得等角间距采样,这样就将时域内的非稳态信号转化为角域内的稳态信号了。截取的观察窗数据长度为4096点,窗内数据的转速频率变化约自21Hz到17Hz大约包含了15个转速周期,时间样本的总持续时间为0.8s。对窗内信号先作时域滤波再作角域分析,即可得到明显的特征谱分量。图2.9中,(a)表示实测的振动信号。如果对这一信号进行传统的谱分析,所得谱图为(b),可见由于变速信号带来的谱涂抹,谱图无实际分析价值。如果对这一信号先作时域滤波,得到如(c)的特征波形,然后再作角域变换,那末从相对频率的谱图上就可以看到很醒目的相当于啮合频率的分量以及它的两个边频。只要观测这三个主要的频率分量的变化情况,就可以作出状态和故障的判别。2.4.6重视特征的检查所需的波形结构.根据大量的仿真算例及实例,可归结出时域时序模型滤波法的几个优越的特点:(1)数据长度可以随所需获得的目标信号波形的长度而定,不受分析方法的任何限制。(2)很强的抗干扰能力,不管测量信号中渗杂了任何类型的噪声成份,都不会影响其模型参数辨识的收敛以及其滤波能力。(3)不仅可以滤出单一频率的简单波形,而且可以滤出任何复杂结构的时域波形,其唯一条件是要能给出目标信号的结构函数或者与其接近的结构函数。(4)目标波形幅值与控制波形幅值成线性比例关系。这即是说:如测量信号