l-拓扑空间中的次分离

l-拓扑空间中的次分离

1定义[lx]的基本信息1968年，在文献中提出了模糊的拓扑空间后，l-发现了令人担忧的发现。文献中,作者系统地介绍了Τi(i=-1,0,1,2,3,312,4)分离性以及次T0分离性。此后,L-拓扑空间的分离性研究又取得许多进展,详见文、、、。值得注意的是,次T0分离性被分离性较低的L-单位区间I(L)所具有,这无疑是次T0分离性的一大优点。根据次T0分离性的思想,考虑到L-拓扑的层次结构,本文提出了一套次分离性公理。设(LX,δ)是L-拓扑空间,其中L是有最大元¯[CΜ(1]|[CΜ)]、最小元⊥的F格,LX中的最大元和最小元分别记作¯[CΜ(1]|[CΜ)]X和⊥X,X是非空集合。δ中的元称作开集,∀A∈LX,A°=∨{B∈δ:B≤A},记A的内部。而δ′={A′:A∈δ}中的元称作闭集,此处()′是LX中的逆序对合对应。M(L)和M*(LX)分别记L和LX全部分子(非零并既约元)之集。闭集P称作分子xλ∈M*(LX)的闭远域指λ≨P(x)。∀xλ∈M*(LX),xλ的闭远域全体记作η-(xλ)。其它未介绍的术语和记号见文献。设f:X→Y是映射,本文用f→:LX→LY记f诱导的Zadeh型函数,其逆映射记作f←:LY→LX,意义为:∀B∈LY,∀x∈X,f←(B)(x)=B(f(x))。下面给出本文经常用到的定义及结论。定义1.1如果对X中的任二不同的分明点x与y,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)满足yλ≤P或有Q∈η-(yλ)满足xλ≤Q,则称(LX,δ)为次T0空间。定义1.2设(LX,δ)是L-拓扑空间,如果对M*(LX)中的任二不同的分子xλ与yμ,当x≠y时,有P∈η-(xλ)和Q∈η-(yμ)使得P°∨Q°=|X,则称(LX,δ)为Τ212空间或L-Urysohn(原称为L-fuzzyU2)空间。注1.1Τi(i=1,2,212,3,4)分离性是L-好的推广。定义1.3称L-拓扑空间(LX,δ)是层T0的,如果∀α∈M(L),(X,ιopα(δ))是T0空间。其中ιopα(δ)={ιopα(A):A∈δ′},ιopα(A)={x∈X:α≤A(x)}。类似可定义层Ti(i=1,2)、层正则(完全正则、正规)、层Τ3(Τ312、T4)分离性。2关于次t1空间在L-拓扑中,由于层次结构的原因,其分离性比经典拓扑的分离性复杂得多。考虑到其层次结构,我们提出一套新的分离性公理,详见下面定义2.1、定义2.2、定义2.3、定义2.4、定义2.5。定义2.1设(LX,δ)是L-拓扑空间,∀x,y∈X,当x≠y时,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)满足yλ≤P,则称(LX,δ)为次T1空间。显然,T1空间是次T1空间。次T1空间的刻画定理如下:定理2.1设(LX,δ)是L-拓扑空间,下列各条等价:(1)(LX,δ)为次T1空间。(2)∀(x,y)∈X×X满足x≠y,存在λ∈M(L),使得η-(xλ)≠η-(yλ)。(3)∀(x,y)∈X×X满足x≠y,存在λ∈M(L),使得xλ≨yλ-且yλ≨xλ-.定理2.2设(LX,ωL(T))是由分明拓扑空间(X,T)拓扑生成的L-拓扑空间,则(LX,ωL(T))是次T1空间⇔(X,T)是T1空间。证明必要性。设(LX,ωL(T))是次T1空间。任取x∈X.若y∈X使得y≠x.由次T1分离性知,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(yλ)满足xλ≤P.令U={z∈X:P′(z)≨λ′},则U∈T,x∉U且y∈U,因此,y∉{x}-({x}-是{x}在(X,T)中的闭包)。证得单点集{x}是闭集,此即(X,T)是T1空间。充分性。设(X,T)是T1空间,由T1分离性是L-好的推广知,(LX,ωL(T))是T1空间,故(LX,ωL(T))是次T1空间。现在引入次T2分离性。定义2.2设(LX,δ)是L-拓扑空间,∀x,y∈X,当x≠y时,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)和Q∈η-(yλ)满足Ρ∨Q=→¯[CΜ(1]|[CΜ)]X,则称(LX,δ)为次T2空间。显然,T2空间是次T2空间。关于次T2,有下列收敛唯一性的结论。定理2.3(LX,δ)为次T2空间,则对(LX,δ)中的每个分子网S都有|KS|≤1,其中,KS={x∈X:limS(x)=¯[CΜ(1]|[CΜ)]}。证明设(LX,δ)为次T2空间,S={S(n):n∈D}是分子网。假设|KS|=|{x:limS(x)=¯[CΜ(1]|[CΜ)]}|≥2。任取x,y∈KS且x≠y,因为(LX,δ)为次T2空间,所以存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)和Q∈η-(yλ)满足Ρ∨Q=¯[CΜ(1]|[CΜ)]X.由文献中定理2.3.4及xλ≤limS和yλ≤limS推得,S→xλ,S→yλ.因此,存在n1∈D使得当n≥n1时,S(n)≨P,且存在n2∈D使得当n≥n2时,S(n)≨Q.取n3∈D使得n3≥n1,n3≥n2,从而当n≥n3时,S(n)≨P∨Q,此与Ρ∨Q=¯[CΜ(1]|[CΜ)]X矛盾!如果¯[CΜ(1]|[CΜ)]为分子,上述定理的逆命题也成立。故有下面的定理。定理2.4L-拓扑空间(LX,δ)中的每个分子网S都有|KS|≤1,其中¯[CΜ(1]|[CΜ)]为分子,KS={x∈X:limS(x)=¯[CΜ(1]|[CΜ)]},则(LX,δ)为次T2空间。证明(反证法)假设(LX,δ)不是次T2空间,则存在x,y∈X满足y≠x,∀λ∈M(L),∀P∈η-(xλ),Q∈η-(yλ)都有Ρ∨Q≠¯[CΜ(1]|[CΜ)]X.令D(λ)=η-(xλ)×η-(yλ),并在D(λ)中引入积序使之成为定向集。此时∀m=(P,Q)∈D(λ)可取分子Sλ(m)≨P∨Q.令Sλ={Sλ(m):m∈D(λ)},则可以证明Sλ→xλ且Sλ→yλ.因此,limSλ≥xλ∨yλ.又因为¯[CΜ(1]|[CΜ)]是分子,则标准极小集β*(¯[CΜ(1]|[CΜ)])是定向集。记E=β*(¯[CΜ(1]|[CΜ)])。注意{xλ}λ∈E,{yλ}λ∈E是分子网且{xλ}λ∈E→x|,{yλ}λ∈E→y|.做网S¯:E×∏λ∈ED(λ)→Μ*(LX)使S¯(λ,f)=Sλ(f(λ)),∀(λ,f)∈E×∏λ∈ED(λ)则S¯→x|,S¯→y[CΜ(1]|[CΜ)]¯.事实上,由{xλ}λ∈E→x|知,任取P∈η-(x|)存在λ0,使得λ∈E且λ≥λ0时,有xλ≨P.又由Sλ→xλ知,对此λ≥λ0存在mλ∈D(λ)使得m∈D(λ)且m≥mλ时,Sλ(m)≨P.定义f0∈∏λ∈ED(λ)使得λ≥λ0时,f0(λ)=mλ,λ≩λ0时,f0(λ)在相应的D(λ)中任意取定。则可以证得∀(λ,f)∈E×∏λ∈ED(λ),当(λ,f)≥(λ0,f0)时,S¯(λ,f)≰Ρ.即S¯最终不在x|的任意闭远域P中。由分子网收敛的定义,S¯→x|.同理可证S¯→y|.从而|K|≥2,此与|K|≤1的假设矛盾!故(LX,δ)为次T2空间。由定理2.3和定理2.4,可得出下面的结论。推论2.1当[CΜ(1]|[CΜ)]¯为分子时,则L-拓扑空间(LX,δ)为次T2空间当且仅当对每个分子网S都有|KS|≤1,其中,KS={x∈X:limS(x)=[CΜ(1]|[CΜ)]¯}。定理2.5设(LX,ωL(T))是由分明拓扑空间(X,T)拓扑生成的L-拓扑空间,则(LX,ωL(T))是次T2空间⇔(X,T)是T2空间。证明只须证明必要性。设(LX,ωL(T))是次T2空间,则任取x,y∈X满足y≠x时,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)和Q∈η-(yλ)满足Ρ∨Q=[CΜ(1]|[CΜ)]¯X.因为P′,Q′∈ωL(T),所以U={z∈X:P′(z)≨λ′}∈T,V={z∈X:Q′(z)≨λ′}∈T.易证x∈U,y∈V.为证(X,T)是T2空间,仅需证U∩V=∅.若z∈U∩V≠∅则λ≨P(z),λ≨Q(z),所以λ≰(Ρ∪Q)(z)=[CΜ(1]|[CΜ)]¯,此与λ≤[CΜ(1]|[CΜ)]¯矛盾!故U∩V=∅.从而必要性得证。本文所提出的次T2分离性还有以下重要的性质。定理2.6(LX,δ)为次T2空间且L的最大元[CΜ(1]|[CΜ)]¯是分子,则(LX,δ)的超F紧性、良紧性、强F紧性与F紧性彼此等价。证明参看文献(6.4.29定理),证法类似。定理2.7(LX,δ)是具有次T2的弱诱导空间,则底空间(X,[δ])是T2空间。证明参看文献(6.6.6定理),证法类似于其必要性的证明。然后我们考虑次Τ212分离性。定义2.3设(LX,δ)是L-拓扑空间,如果∀x,y∈X,满足x≠y时,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)和Q∈η-(yλ)满足Ρ°∨Q°=[CΜ(1]|[CΜ)]¯X,则称(LX,δ)为次Τ212空间或次L-Urysohn空间。显然,Τ212空间⇒次Τ212空间。引理2.1τα:LX→2X保有限并(α∈M(L))。其中A∈LX,τα(A)={x∈X:A(x)≥α}。引理2.2若(LX,δ)是拓扑生成的L-拓扑空间,A∈LX,则A°=∨{αχ[τα(A)]°:α∈M(L)}。定理2.8设(LX,ωL(T))是由分明拓扑空间(X,T)拓扑生成的L-拓扑空间,则(LX,ωL(T))是次Τ212空间⇔(X,T)是Τ212空间。证明只需证必要性。设(LX,ωL(T))为次Τ212空间,且∀x,y∈X满足x≠y.由次Τ212的定义,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)和Q∈η-(yλ)满足P°∨Q°=|X.注意此时必有Ρ∨Q=[CΜ(1]|[CΜ)]¯X.由λ≨P(x)和λ≨Q(y)知,存在λP∈β*(λ),λQ∈β*(λ)使得λP≨P(x)且λQ≨Q(y)。因为λ是分子,故标准极小集β*(λ)是定向集。取γ∈β*(λ)使得γ≥λP∨λQ,现令E=τγ(P)={z:P(z)≥γ},F=τγ(Q)={z:Q(z)≥γ},则E和F是闭集且x∉E,y∉F和E∪F=X.为证(X,T)是Τ212空间,由Τ212空间的定义知,仅需证明E°∪F°=X.为此我们需证明τλ(P°)⊆[τγ(P)]°且τλ(Q°)⊆[τγ(Q)]°.以τλ(P°)⊆[τγ(P)]°为例证明如下:任取x∈τλ(P°),则由引理2.13知,∨α∈Μ(L)αχ[τα(Ρ)]°(x)=Ρ°(x)≥λ因此,存在α∈M(L)使得x∈[τα(P)]°且α≥γ.进而有x∈[τα(P)]°⊆[τγ(P)]°.由x的任意性得τλ(P°)⊆[τγ(P)]°.所以有E°∪F°=[τγ(P)]°∪[τγ(Q)]°⊇τλ(P°)∪τλ(Q°)=τλ(P°∪Q°)=X,i.e,(X,T)是Τ212空间。现在给出次Τi(i=1,2,212)分离性都具有的性质。定理2.9次Τi(i=1,2,212)分离性具有弱同胚不变性。即,设(LX,δ)为次Ti空间,存在一一满的L值Zadeh型函数f→:(LX,δ)→(LY,μ)且f→,f←均连续,则(LY,μ)是次Ti空间(i=1,2,212)。证明以次T1为例证明此定理。设∀y,z∈Y,y≠z.因为f是一一满的,所以f-1(y),f-1(z)∈X且f-1(y)≠f-1(z)。记u=f-1(y),v=f-1(z),则u≠v.因为(LX,δ)是次T1空间,所以存在λ∈M(L)使得有P∈η-(uλ)且vλ≤P.所以yλ=f→(uλ)≨f→(P),zλ=f→(vλ)≤f→(P)。又因为P∈δ′,f←连续,所以f→(P)∈η-(yλ)。故(LY,μ)是次T1空间。最后引入次正则,次正规及次Ti(i=3,4)分离性的概念。先介绍L-集的闭远域及准分明集的定义。闭集P称作L-集A的闭远域指∀x∈X,当A(x)>⊥时A(x)≨P(x)。A的闭远域之集记作η-(A)。对于L-集A,如果存在a∈L-{⊥},使A(x)>⊥当且仅当∀x∈X,A(x)≥a,则A称为准分明集。定义2.4设(LX,δ)是L-拓扑空间,如果对X上的任意非零准分明闭集A和任意点x,当x∉suppA时,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)和Q∈η-(λA)满足P∨Q=|X,则称(LX,δ)为次正则空间。次T1的次正则空间称为次T3空间。定义2.5设(LX,δ)是L-拓扑空间,如果对X上的任意非零准分明闭集A和B,当suppA∩suppB=∅时,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(λA)和Q∈η-(λB)满足P∨Q=|X,则称(LX,δ)为次正规空间。次T1的次正规空间称为次T4空间。从以上的定义中易得以下结论:如果L-拓扑空间(LX,δ)是Ti(i=3,4)(正则,正规)空间,则必是次Ti(i=3,4)(次正则,次正规)空间。定理2.10设(LX,ωL(T))是由分明拓扑空间(X,T)拓扑生成的L-拓扑空间,则(LX,ωL(T))是次正则(次正规,次Ti(i=3,4))空间⇔(X,T)是正则(正规,Ti(i=3,4))空间。证明仅就次正则性证明本定理。只证必要性。设E是(X,T)中的闭集,∀x∈X,满足x∉E.则χE是(LX,ωL(T))中准分明的闭集,且x∉supp(χE)。由(LX,ωL(T))是次正则空间知,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)和Q∈η-(λχE)满足P∨Q=|X.令U={z:P′(z)≨λ′},V={z:Q′(z)≨λ′}。则有x∈U,E⊆V和U∩V=∅(其中U,V均为开集)。故证得(X,T)是正则空间。由定理2.2、定理2.5、定理2.9、定理2.10可得下面结论。推论2.2可拓扑生成的L-拓扑空间(LX,δ)是次Τi(i=1,2,212,3,4)空间⇔(LX,δ)是Τi(i=1,2,212,3,4)空间。3次分离性定理本节介绍次分离性公理的遗传性与可乘性。关于次分离性公理的遗传性有以下结论。定理3.1次Τi(i=1,2,212)分离性是遗传的。证明以次T1为例证明此定理。设(LX,δ)是次T1空间,对X的任一非空子集Y,下证子空间(LY,δ|Y)也是次T1空间。任取x,y∈Y满足x≠y,由(LX,δ)是次T1空间知,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(x*λ)且y*λ≤P,其中x*λ,y*λ是xλ,yλ∈M*(LY)的扩张。此即,存在λ∈M(L)使得有P|Y∈η-(xλ)且yλ≤P|Y。所以(LY,δ|Y)也是次T1空间。定理3.2次正则(次正规,次Ti(i=3,4))分离性是闭遗传的。证明仅以次正则性证明为例。设(LX,δ)是次正则空间,Y⊂X且χY是(LX,δ)中的闭集。下证子空间(LY,δ|Y)也是次正则空间。设B是Y上任意准分明闭集,y是Y中的任意点且满足y∉suppB.根据子空间的定义知,存在(LX,δ)中的闭集A使得B=A|Y.又有B=B*|Y,其中B*是B的扩张。可以证明B*=A∧χY.由于χY是(LX,δ)中的闭集,故B*是(LX,δ)中的闭集。易证B*是(LX,δ)中的非零准分明闭集。由(LX,δ)是次正则空间及y∉suppB*知,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(yλ*)和Q∈η-(λB*)满足Ρ∨Q=[CΜ(1]|[CΜ)]¯X.此即,存在λ∈M(L)使得有Ρ|Y∈η-(yλ)和Q|Y∈η-(λB)满足(Ρ|Y)∨(Q|Y)=[CΜ(1]|[CΜ)]¯Y.即证得(LY,δ|Y)是次正则空间。下面给出次分离性公理可乘性的结论。定理3.3次Ti分离性是可乘的。即,设(LX,δ)是{(LXt,δt)}t∈T的乘积空间,如果∀t∈T,(LXt,δt)是次Ti空间,则(LX,δ)为次Ti空间。反过来,如果(LX,δ)为次Ti空间,则当(LXt,δt)是满层空间时,(LXt,δt)是次Ti空间(i=1,2,212)。证明以次T2为例证明此定理。必要性。∀x={xt}t∈T,y={yt}t∈T∈X满足x≠y,有r∈T使xr≠yr.因为(LXr,δr)是次T2空间,所以存在λ∈M(L)使得有Br,Cr∈δ′r满足Br∈η-(xλr),Cr∈η-(yrλ)且Br∨Cr=|Xr.而P←r(Br),P←r(Cr)都是(LX,δ)中的闭集,且有Pr←(Br)(x)=Br(xr)≩λ和Pr←(Cr)(y)=Cr(yr)≩λ.所以xλ≨Pr←(Br),yλ≨Pr←(Cr)且Ρr←(Br)∨Ρr←(Cr)=[CΜ(1]|[CΜ)]¯X.故证得(LX,δ)为次T2空间。充分性。设(LX,δ)为次T2空间,r∈T,(LXr,δr)是满层空间。∀x={xt}t∈T∈X,由文献中的定理2.8.9知,(LX,δ)的过点x且平行于(LXr,δr)的平面(LX˜r,δ|X˜r)与(LXr,δr)同胚。又因为(LX˜r,δ|X˜r)作为(LX,δ)的子空间是次T2空间。所以(LXr,δr)也是次T2空间。推论3.1设{(LXt,ωL(Tt))}t∈T是一族可拓扑生成的L-拓扑空间,(LX,ωL(T))是其乘积空间,则(LX,ωL(T))是次Ti空间当且仅当∀t∈T,(LXt,ωL(Tt))是次Ti空间(i=1,2,212),其中T=∏t∈ΤTt是可拓扑生成的。4lx,为次t3空间文献提出了三种不同意义的分离性公理,其它分离性公理在文献中也有见。现在我们先证明本文提出的次分离性公理彼此间有相当好的协调性,再讨论次分离性公理和文献中提出的分离性公理及文献提出的层分离性公理的关系。定理4.1次T1空间是次T0空间,即,次T1⇒次T0.定理4.2次T2空间是次T1空间,即,次T2⇒次T1.证明设(LX,δ)为次T2空间。∀x∈X,当y∈X且x≠y时,存在λ∈M(L)使得有P∈η-(xλ)和Q∈η-(yλ)满足Ρ∨Q=[CΜ(1]|[CΜ)]¯X.因为yλ≤P∨Q且yλ≨Q,所以yλ≤P.故∀x∈X,当y∈X且x≨y时,存在λ∈M(L)使得P∈η-(xλ)满足yλ≤P.所以(LX,δ)为次T1空间。由定义2.2和定义2.4,易得到下面的定理。定理4.