2021新高考数学高三一轮复习 应用建模1 函数模型及其应用

应用建模1函数模型及其应用

课程要求J精细考点r素养达成f

通过用函数图象刻画变化过程，培养直观

用函数图象刻画变化过程

1.了解指数函数、对数函数、痔函数的增长想象的数学素养

特征，结合具体实例体会直线上升、指数增

长、对数增长等不同函数类型增长的含义.通过已知函数模型的实际应用，培养逻辑

c7血工就小谢,而出此？版TT已知函数模型的实际应用

2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、嘉推理和数学运算的数学素养

函数、分段函数等在社会生活中普遍使用

的函数模型）的广泛应用

通过构建函数模型解决实际问题,培养数

构建函数模型解决实际问题

学建模、逻辑推理和数学运算的数学素养

口基础知识

对应学生用书第50页

♦夯实基础巩固提升

知识清单

1.几类函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型=ax+b（a,b为常数石*0）

反比例函数模，入k心心小岫口,小

型4Mq+勿〃乃为常数且Z/0）

二次函数模型4万:aEb,u为常数,8工0)

指数函数模型4M为常数力，0,a>0且awl)

对数函数模型4M=4ogaX+aab,u为常数,/?/0,3>0且8/1)

幕函数模型心)二次+仅己,6,"为常数,3/0,"工0)

"对勾"函数

0)=*&>0)

模型

B拓展知识

对勾函数0）=*出己>0）在（-8,班］和

［Va,+8）上单调递增，在［々5,0）和（0,向上单调递

减.

当x>0时,在x=«时取最小值，最小值为2孤;

当x<0时，4M在x=S时取最大值，最大值为

-2Va.

2.三种函数模型的性质

函数y=\og^a>l

y=#(a>l)片次(">0)

性质)

在(0,+8)上的单调递_单调递_

单调递_______

增减性增____

越来越_越来越_

增长速度相对平稳

快ts

随X的增随X的增

大,逐渐表大,逐渐表

图象的变化随"值变化而各有不同

现为与y现为与X

轴平行轴平行

值的比较存在一个由当时，有logaX<*<^

□特别提醒

(1)当描述增长速度变化很快时，选用指数函

数模型.

(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增

长到很大时,选用对数函数模型.

(3)幕函数模型y=*(">0)可以描述增长幅度不

同的变化，当"值较小(〃41)时，增长较慢;当〃值

较大(〃>1)时，增长较快.

夯实基础

【概念辨析】

判断下面结论是否正确.(对的打"V",错的打"「‘)

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.

()

(2)函数y=2*的函数值比，=解的函数值大.()

(3)不存在出,使a与<砧<log〃b.()

(4)"指数爆炸”是指数型函数y=a〃+4aw0,6>0,bwl)增长速度越来越快的形象比喻.()

(l)x(2)x(3)x(4)x

【瀛Sk材】

某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础

上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是

().(参考数据:1g1.12~0.05,1g1.3=0.11,lg2=0.30)

A.2020年B.2021年

C.2022年D.2023年

D

K设经过"年研发资金开始超过200万元,

即130(1-12%)〃>200,贝山1+12%)”>置.

两边取对数，得"1g1.12>lg2-lg1.3,

Ig2-lgl,3^0,30-0.11_19

”》中五"一俞一下4

..从2023年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.

【易错自纠】

某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，当销售额x为8万元时，奖励1万元.当销售额

x为64万元时，奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=Wog4X+b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售

额应为万元.

1024

依题音f°g48+b=1,解得产=2-

™处理层（alog464+b=4,lb=-2,

.:y=2log4X-2,令2log4X-2=8,得x=45-1024.

【真题演练】

Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立

了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位:天）的Logistic模型:"=1+网金"53），其中K为最大确诊病

例数.当«力句.95《时标志着已初步遏制疫情，则f约为().(ln19K3)

A.60B.63C.66D.69

C

:At)=,OMSG，Ft)=——力.95《则ed23(t*-53)=19,

---------\)1+e-0.23(t-53)>\/1+e-0.23(t-S3)

.023(六53)=ln19*3,解得加2+53”66.故选C.

...........................E考点考向对应学生用书第50页

•6精研考向锤炼技能

口O用函数图象刻画变化过程【题组过关】

某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变,则该厂6

年来这种产品的总产量C与时间”年）的函数图象正确的是（）.

A

:二—前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A,C图象符合要求，而后3年年产量保

持不变，故选A.

汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下

的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）.

A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中,甲车消耗汽油量最多

C.甲车以80千米4寸的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D.某城市机动车最高限速80千米/W,相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

D

根据图象所给数据，逐个验证选项.

根据图象知，当行驶速度大于40千米寸时，消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米,故选项A错误;

以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错误；

甲车以80千米4寸的速度行驶时，燃油效率为10千米闭，行驶1小时,里程为80千米，消耗8升汽油，故选项

C错误;最高限速80千米冏，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选

项D正确.

匚次判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

（1）构建函数模型法:先建立函数模型，再结合模型选图象.

（2）验证法:根据实际问题中变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合,从中排除不符

合实际情况的答案.

员点⑥已知函数模型的实际应用问题【典例迁移】

Ofl某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10

万元.又知总收入《是产品单位数Q的函数,{0=40（?喘（？,则总利润的最大值是万元.

2500

由已知得£（00-10Q-2000=（40Q$Q2）-10Q-2000=志Q-300）2+2500,

所以当Q=300时工（0max=25OO（万元）.

已知函数模型，解决实际问题的要点

（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

（2）根据已知条件，利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

【追踪训练1】（1）某公司在甲、乙两地销售同一种品牌汽车，利润（单位:万元）分别为

4=5.06x015/22=2%其中x为销售量（单位:辆）.若该公司在这两地共销售15辆汽车，则能获得的最大利

润为（）.

A.45.606万元B.45.6万元

C.45.56万元D.45.51万元

(2)将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中,fmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减

曲线;/=aea假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过mmin甲桶中的水只有/L,则m的值

为.

(1)8(2)5

(1)依题意可设在甲地销售了x辆汽车，则在乙地销售了Q5-才辆汽车,总利润

S=/i心=5.06x015层+2(15/=015/+3.06%+30=015(*-10.2)2M5.606(0"S15且后N),所以当

X=10时,5max=45.6.故选B.

(2)因为5min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数片内=羽〃，满足Q)二弟5〃亨,可得〃=g吗，所以

tkk

村二厅(炉,设Amin后甲桶中的水只有；L,则化=才(丁号所以(炉号解得4=10,所以机=公5=5.

母点⑥构建函数模型解决实际问题【典例迁移】

题型1构建二次函数模型

倒❾某村利用当地优势引进经济效益好、养殖密度高的"活水围网〃养鱼技术.研究表明：〃活水围网〃

养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度U(单位:千克寿)是养殖密度M单位:尾女方米)的连

续函数.当x不超过4尾血方米时,i/的值为2千克柞;当4<心20时，卜是x的一次函数;当x达到20尾&

方米时，因缺氧等原因，卜的值为0千克寿.

(1)当0<%<20时,求函数/关于x的函数解析式；

(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克加方米)可以达到最大？并求出最大值.

(1)由题意得当0<x&4时,卜=2,

当4Vxw20时，设v=ax+b{a^0),

显然》二己/"在(4,20］内是减函数，

解得.

由已知得,20Q+b=°，

,4a+b=2,阱传7,

所以v=^x^.

(2,0<x<4,

故函数+"vxM2。.(旌2

(2)设年生长量为［才千克血方米，

f2x,0<%<4,

依题意，由(1)得病+Q<xV20(后刈

当0<腔4时才为增函数，

故4Mmax"4)=4*2=8；

当4Vx420时,

心)=/亭-20A)=*-10)2吟,心)max="0)=12.5.

所以当0。320时,小0的最大值为125

故当养殖密度为10尾及方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克方米.

题型2构建指数函数、对数函数模型

劭❸某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了"次涨停

（每次上涨10%）,又经历了"次跌停（每次下跌10%）,则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为

A.略有盈利B.略有亏损

C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况

B

设该股民购买这只股票的价格为a,则经历"次涨停后股票的价格为式1・10%）〃=厅1.1",经历"

次跌停后股票的价格为K."Q-10%）"=K.l"09"=aQ.lx0.9）”=0.99aa<a,故该股民这只股票略有亏

损.故选B.

题型3构建函数y=axq（a>04>0）模型

位J0Q）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润"万元）

与营运年数x的关系如图所示（抛物线的一段），则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数

为.

某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°（如图），考虑防洪堤坚固性及石块

用料等因素，设计其横断面要求面积为9遥平方米，且高度不低于冉米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长

（梯形的上底线段3U与两腰长的和）为y米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即横断面的外周长

最小），则防洪堤的腰长x=米.

叠(1)5(2)273

(1)根据图象求得y=-(x-6)2+ll,

.：年平均利润(=12｛乂+§),

•.x+§210,当且仅当x=5时等号成立，

二要使年平均利润最大，客车营运年数为5.

(2)由题意可得BC=^^(2<x<6),

〃*号22序>6倔

当且仅当F号(2vx<6),即x=28时等号成立.

题型4构建分段函数模型

倒❺已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元.设该公

司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完,每万只的销售收入为万美元，且

(400-6%,0<x<40,

740040000、

I---x>4°-

(1)写出年利润僧万美元)关于年产量M万只)的函数解析式；

(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润.

⑴当0vx“0时，

-(16x+40)=$解+384xY0;

当x>40时，

%*戊的-(16X+40)=^^-16x+7360.

f-6x2+384x-40,0<x<40,

所以W=\40000“.、仃

(——--・16x+7360,x>40.

(2)⑦当0<x<40时,％-6(x-32)2+6104,

所以当x=32时，〃取最大值，最大值为6104.

②当x>40时,心华2-16X+7360,

因为噌+16应2J华X16X=1600,

当且仅当竺詈=16%即x=50时，取等号，

所以幺的最大值为5760.

综合。②，当年产量为32万只时，年利润最大，最大值为6104万美元.

大去构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论,理顺数量关系，将文字语言转化成

数学语言,建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.如实际问题中有些变量间的关

系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函

数模型求解;当涉及增长率等有关问题时应构建指数函数模型求解.

【追踪训练2】(1)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有弓的质量发生

衰变，剩余质量为原来的若该物质余下质量不超过原有的1%,则至少需要衰变的年数是().

A3B.4C.5D.6

（2）已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量4M（单位:百件）关于每件衣服的利润M单位:元）的函数解

析式为a2°，则该服装厂所获得的最大效益是________元.

（90-3遍・Vx,20<x<180,

（1）B⑵240000

（i）设原物质的质量为单位i,一年后剩余质量为原来的今两年后变为原来的G）：依此类推年后

的质量是原来的（3”,只需要（3"v击，故〃24.

(2)设该服装厂所获效益为*力元，

贝|J4m=100匈M

件等,0<xV20,

(100x(90-375・《),20<x<180.

当0<心20时,心）二与罂=126000明竿，外）在区间（0,20]上单调递增,所以当x=20时,仆）取得最大

值，最大值为120000.

当20<x<180时，办）=9000x-300底

则外向与000450v

令力，解得*=80.

当20<x<80时/⑶>0,。）单调递增，当80<七180时,打吊<0,外）单调递减，

所以当*=80时,心）取得极大值，也是最大值，最大值为240000.

因为120000<240000,

所以该服装厂所获得的最大效益是240000元.

[□方法技巧

对应学生用书第52页

卜方法探究分类突破

05法突破函数实际应用中的数学建模问题

数学建模是高考中的热点，主要考查数学建模能力及分析、解决问题的能力.数学建模是对现实问题进行

数学抽象,用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题.

£3碉某厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上六点到晚上十点供应生活和生产用

水，已知该厂的生活用水为每小时10吨,生产用水总量亚吨）与时间《单位:小时，规定早晨六点时fR）的函

数关系为%iooa冰塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，进水量增加10吨.若

某天水塔原有水100吨，在供应用水时同时打开进水管，问该天进水量应选择几级，既能保证该厂用水（即水

塔中水不空），又不会使水溢出？

设水塔进水量选择第"级，在f时刻水塔中的水容量y等于水塔中的存水量100吨加进水量10市

吨,减去生活用水10f吨，再减去生产用水"=100"吨，即y=100+10"t-10M006(0v仁16).

若水塔中的水量既能保证该厂用水，又不会使水溢出，则一定有0<旌300,即

0<100+10/7M0M00Vt<300,

所以丹瑞+1<”纤琮以对一切怎(016］恒成立.

因为平琮+1=口。(身丫吊马

甥5

所以卜〃弓，即"=4.

故进水量应选择4级.

方法总结

构建数学模型一定要过好的三关

(1)事理关:通过阅读、理解，明确问题讲的是什么,

熟悉实际背景，为解题找出突破口.

(2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学符

号语言，用数学式子表达数学关系.

(3)数理关:在构建数学模型的过程中，对已知数学

知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型.

【突破训练】某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台、6台，现销售给力地10台,8地8

台.已知从甲地调运1台机器至4地、8地的运费分别为400元、800元，从乙地调运1台机器至/地、B

地的费用分别为300元、500元.

(1)设从乙地调运x台机器至A地，求总费用乂元)关于台数x的函数解析式.

(2)若总运费不超过9000元，问:共有几种调运方案？

(3)求出总运费最低的调运方案及最低的费用.

甲、乙两地调运至43两地的机器台数及运费(元)如下表：

调出地甲地乙地

调至地/地8地A地8地

台数10-x12-(10-A)X6-x

每台运费

400800300500

(元)

运费(元)合400(10

800(12-(10-A)]300x500(6-A)

计)

(1)依题意得y=400(10-»+800[12Y10-M]+300X+500(6-M=200(X+43)(0VXV6,XGZ).

（2）由冰9000,解得心2.因为0vxs6,xGZ,所以*0,1,2.所以共有3种调运方案.

（3）由一次函数的单调性知，当x=0时,总运费y最低％^=8600.

所以从乙地调6台给8地，从甲地调10台给力地，调2台给8地的调动方案的总运费最低，最低费用是

8600元.

0课后作业对应《精练案》第23页

卜课后加练巩固升华

基础过关»>

一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,则燃烧时剩下的高度《cm）与燃烧时间«h）的函数关系用图

象表示为（）.

由题意得关系式为力=20-5«04仁4）.图象应为B项.

出售某种文具盒,若每个可获利x元，一天可售出（6封个.当一天出售该种文具盒的总

利润y最大时,x的值为（）.

A.lB.2C.3D.4

C

因为总利润等于单个利润乘以个数，

所以y=M6-M，

将其进行变形，可得y=《x-3）2+9,

故当x=3时『取得最大值，最大值为9,故选C.

某种动物的繁殖数量M单位:只）与时间M单位:年）的关系式为y=目。gXx+D,若这种动物

第1年有100只测到第7年它们发展到（）.

A.300只B.400只C.500只D.600只

郅:.A

由题意，得100=alog2（l+l）,解得a=100,所以y=100bg2（x+l）,当x=7

时/=1001。92（7+1）=300,故至1」第7年它们发展到300只.

设某公司原有员工100人从事产品力的生产，平均每人每年创造产值«t>0）万元.公司决

定从原有员工中分流M0〈x<100，*GN）人去进行新开发的产品8的生产.分流后，继续从事产品/生产的员

工平均每人每年的创造产值在原有的基础上增长了1.2M6.若要保证产品/的年产值不减少,则最多能分流

的人数是（）.

A.15B.16C.17D.18

』B

由题意，分流前每年创造的产值为100«万元），分流x人后，每年创造的产值为Q00/Q<L2A%）t

则由K蓝晶鳖就t>M得F因为旌”所以X的最大值为16.

我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝（018）,对于一

个强度为/的声波,其音量的大小可由如下公式计算:〃=10lg#其中而是人耳能听到声音的最低声波强度）.

则70dB的声音的声波强度A是60dB的声音的声波强度12的（）.

倍B.IOJ倍C.10倍D.l《

C

由〃=10lg；得/=而10为所以人=为107,万同106,所以2=10,所以70dB的声音的声波强度R是

60dB的声音的声波强度£的10倍.

当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为"半衰

期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡

生物体内的碳14用一般放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期"个数至少是（）.

A.8B.9C.10D.11

C

生工设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过"个"半衰期”后的含量为由岛,

得"210.

所以，若某死亡生物体内的碳14用一般放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个"半衰期”.

通过实验数据可知，某液体的蒸发速度M单位:升ZJ、时）与液体所处环境的温度M单位：℃）

近似地满足函数关系y=e^b（e为自然对数的底数«力为常数）.若该液体在0。（:的蒸发速度是0.1升/J、时，

在30°C的蒸发速度为0.8升/卜时，则6=，该液体在20°C的蒸发速度为升/J、时.

In0.10.4

由y=e&"及已知条件得0.1=e解得°=|n0.1.

又0.8=e30«»,.：30Z+ln0.1=ln0.8,解得Z挈，

.,.y=e^x+ln01,

2

则该液体在20℃的蒸发速度为e3xin8+ino.i=emo.4=o.4^/N4）.

甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向做直线运动,它们的路程次力（/=1,2,3,4）关于时间

M尬0）的函数关系式分别为&（吊=27,女才=/用（刃=比左（才=1。92（户1）,有以下结论：

②当x>l时，甲走在最前面；

②当x>l时，乙走在最前面；

③当Ovxvl时,丁走在最前面，当x>l时，丁走在最后面；

④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；

⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.

其中正确结论的序号为.

一二③④⑤

可:甲、乙、丙、丁的路程〃M（j=L2,3,4）关于时间M应。）的函数关系式分别为

虫>0=2*-1向4=必向»=%4（4=1。92（户1）,它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、

一次函数模型、对数型函数模型.当x=2时,左2）=3,句2）=4,所以切正确;当>=5时，虫5）=31,氏5）=25,

所以②不正确;根据四种函数的变化特点,对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x=l时，甲、乙、丙、丁四

个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<l时,丁走在最前面，当x>l时，丁走在最后面,所以③正确;指数型

函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，

即一定是甲物体,所以⑤正确;结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不

可能走在最后面，所以®正确.

<«考能提升.

近年来，"共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计

划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定,每座城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知，甲

城市收益/单位:万元）与投入K单位:万元）满足户=3房£乙城市收益Q单位:万元）与投入4单位:万元）

满足Q=>l+2,则投资两座城市收益的最大值为（）.

A.26万元B.44万元C.48万元D.72万元

B

设在甲城市投资x万元,在乙城市投资Q20-万万元，所以总收益

~6臼120-A）+2=3X+3VS?+26.

由题意知f辑AH解得40<X<80.

klZU-XN4U,

令仁石，则代［2VIU,4V可，所以y=-F+3夜"26=*t6/I）2+44,当tV或，即x=72时/取得最大值,

最大值为44,所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元.故选B.

（本题为多项选择题）某校甲、乙两食堂去年1月份的营业额均为a,甲食堂的营业额逐月增加，并且每月

的增加值也为劣乙食堂的营业额也逐月增加，并且每月增加的百分率为x已知该年9月份两食堂的营业额又

相等，则（）.

A.x=V9-l

B.x=g

C.5月份甲食堂的营业额较高

D.5月份乙食堂的营业额较高

AC

由题意,a+8a=a(l+M8,所以、=眄一1,则5月份甲食堂的营业额力=5a,5月份乙食堂的营业额

尢=a(l+A)4=3a,所以外>以,故选AC.

某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资,假设以i/km/h的速度直达灾区,

已知该市到灾区公路线长400km,为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于(A)?km,那么这批物资全部到

达灾区的最少时间是h.(车身长度不计)

12

设全部物资到达灾区所需时间为th,由题意可知,1相当于最后一辆车行驶了卜x(盘)2+

400km所用的时间，因此上变遍出啸心与12,当且仅当提=坐即i/岑时取.

Iv400v400v3

故这些汽车以竽km/h的速度匀速行驶时,所需时间最少，最少时间为12h.

某书商为提高某套丛书的销售量,准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书售价定为x元时,销售量

可达到Q59.1M万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价

格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比，比例系数为10.

假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格，问：

(1)每套丛书售价定为100元时,书商能获得的总利润是多少万元？

(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？

(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15-0.1xlOO=5(万套)，此时每套供货价格为

30岑=32(元)，书商所获得的总利润为5x(100-32)=340(万元).

(2)每套丛书售价定为x元时，由｛:个产>°,解得0<x<150.

依题意，单套丛书利润

(“,10\100”

Pn^\30+1^0W=X15^-30'

所以P=-(150-x+出D+120.

\150-x/

因为0<xvl50,所以150-^>0,

贝ij150■广黑22J(150㈤.黑=2*10=20,当且仅当150-x=^,Wx=140时等号成立，

此时,/ax=-20+120=100.

所以每套丛书售价定为140元时,单套丛书的利润最大，最大值为100元.

拓展延伸

如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中/£=4米,0=6米.为合理利用这块钢板，在五

边形力8。£内截取一个矩形BNPM,使点P在边DEE

(1)设的二*米,必仁/米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；

(2)求矩形8/V"例面积的最大值.

鬟近

(1)作PQ_LZ尸于点Q,

所以PQ=(8少米,&?Nx4)米.

又2EPQiEDF,

所喘嗡