2021年中考数学总复习《圆》解答题36

2021年中考数学总复习《圆》解答题

1.如图，点A与点8的坐标分别是（1,0）,（5,0）,点尸是该直角坐标系内的一个动点.

（1）使/APB=30°的点尸有无数个;

（2）若点尸在y轴上，且/AP2=30°,求满足条件的点尸的坐标；

（3）当点P在），轴上移动时，N4PB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时

NAPB最大的理由；若没有，也请说明理由.

%

5-

4-

3-

2-

1-/B

iiii।।।।“

-4-3-2-1012345X

-1-

-2-

-3-

-4-

【分析】（1）已知点A、点B是定点，要使N4P8=30°,只需点P在过点4、点8的

圆上，且弧AB所对的圆心角为60。即可，显然符合条件的点P有无数个.

（2）结合（1）中的分析可知：当点尸在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y

轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的

点尸的坐标；当点尸在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标.

（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的

圆外角.要NAPB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得NAP8

最大的点P,然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理

等知识即可解决问题.

【解答】解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC,

以点C为圆心，AC为半径作OC,交y轴于点Pi、P2.

在优弧AP1B上任取一点P,如图1,

则NAPB=£ACBTX60°=30°.

22

...使/4P8=30°的点P有无数个.

故答案为：无数.

（2）①当点P在y轴的正半轴上时，

过点C作CGLAB,垂足为G,如图1.

•.•点A（1,0）,点B（5,0）,

：.OA=\,08=5.

."8=4.

•.•点C为圆心，CGLAB,

：.AG=^BG=—AB=2.

2

OG=OA+AG=3.

・・・△A8C是等边三角形，

：.AC=BC=AB=4,

•,-CG=VAC2-AG2

=V42-22

=2遮.

...点C的坐标为（3,2«）.

过点C作C£>，y轴，垂足为。，连接CP2,如图1,

•.•点C的坐标为（3,2&）,

:.CD=3,O£>=2«.

VPHP2是。C与y轴的交点，

：.ZAP]B=ZAP2B=30C,.

"：CP2=CA=4,CD=3,

DP2—，42.32=5/7.

•.•点C为圆心，CDLP1P2,

：.PID=P2D=E

:.PI（0,2V3-V7）.PI（0,2V3+V7）.

②当点P在y轴的负半轴上时，

同理可得：尸3（0,-2«-祈）.「4（0,-2代W7）.

综上所述：满足条件的点P的坐标有：

（0,2加-赤、（0,2百班）、（0,-2«-行）、（0,-2«+赤）.

（3）当过点A、B的OE与），轴相切于点P时，NAP8最大.

理由：可证：ZAPB=ZAEH,当NAPB最大时，NAEH最大.由sin/A£77=2得:

AE

当AE最小即PE最小时，NAEH最大.所以当圆与y轴相切时，/AP8最大.

①当点P在），轴的正半轴上时，

连接E4,作EHLx轴，垂足为4,如图2.

与），轴相切于点P,

：.PE1OP.

；EHLAB,OPLOH,

，NEPO=ZPOH=NEHO=90°.

四边形OPEH是矩形.

AOP=EH,PE=OH=3.

：.EA=3.

•；NEHA=90°,AH=2,EA=3,

A£//=VEA2-AH2

=V32-22

—A/5

：3=娓

：.P（0,&）.

②当点P在y轴的负半轴上时，

同理可得：P（0,-烟）.

理由：

①若点P在了轴的正半轴上，

在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），

连接MA,MB,交。E于点M连接24,如图2所示.

•・・ZANB隹2MN的外角,

NANB>NAMB.

2APB=/ANB,

：.ZAPB>