2021年中考数学 冲刺训练：二次函数的实际应用（含答案）

2021中考数学冲刺训练：二次函数的实际应用

一、选择题

1.某种服装的销售利润y（万元）与销售数量M万件）之间满足函数解析式>=一2/

+4x+5,则利润的（）

A.最大值为5万元B.最大值为7万元

C.最小值为5万元D.最小值为7万元

2.某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为X轴，出水点为原点，建立

如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-f+4x（单位：

米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）

A.4米B.3米C.2米D.1米

3.如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD,其中NC=120。.若新建

墙8C与CO总长为12m,则该梯形储料场A8CO的最大面积是（）

A.18mB.18V3m02473m

4.如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为。，B,以点。为原点，水平

直线0B为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线

2

>.=-J_（X_80）+16,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面CO处，有ACUx轴，

400

若04=10米，则桥面离水面的高度AC为（）

A.16套米B.U米

4

C.162米D.芭米

404

5.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的.为了牢固起见，每

段防护栏需要间距04m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5

m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）

A.50mB.100m

C.160mD.200m

6.中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图①），它由五个高度不同，跨径也不

同的抛物线形钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连.最高的钢拱如图②所示，此钢拱

（近似看成二次函数的图象——抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面

相交于A,B两点,拱高为78米（即最高点。到45的距离为78米），跨径为90

米（即AB=90米），以最高点。为坐标原点，以平行于的直线为光轴建立平

面直角坐标系.则此抛物线形钢拱的函数解析式为（）

①②

A.尸悬B.y=-^

cJ32r132

C-尸1350rD-y=~T350x

7.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运

动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m,然后准确落入篮筐

内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05m,在如图（示意图）所示的平面直角坐

标系中，下列说法正确的是（）

B.篮圈中心的坐标是(4,3.05)

C.此抛物线的顶点坐标是(3.5,0)

D.篮球出手时离地面的高度是2m

8.如图，将一个小球从斜坡上的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y

=4x-52刻画，斜坡可以用一次函数刻画，下列结论错误的是()

A.当小球抛出高度达到75m时，小球距点。的水平距禺为3m

B.小球距点。的水平距离超过4m后呈下降趋势

C.小球落地点距点。的水平距离为7m

D.小球距点0的水平距离为2.5m和5.5m时的高度相同

二、填空题

9.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每

件商品的售价为。元，则可卖出(350—10a)件.但物价部门限定每件商品加价不

能超过进价的40%,若商店想获得最大利润，则每件商品的价格应定为

元.

10.如图，一块矩形土地A8CO由篱笆围着，并且由一条与CO边平行的篱笆

分开.已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当m时，矩

形土地ABCD的面积最大.

4D

B'------>-----'C

11.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直

向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时

达到相同的最大离地高度，第一个小球抛出后r秒时在空中与第二个小球的离地

高度相同，则匚.

12.在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，

发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为旷=二/+芍+3,由此可

1233

知该生此次实心球训练的成绩为米.

13.某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理

了销售这种文化衫的相关信息如下：

⑴月销量y（件）与售价x（元/件）的关系满足尸-2x+400；

（2）工商部门限制售价x满足70S烂150（计算月利润时不考虑其他成本）.

给出下列结论：

①这种文化衫的月销量最小为100件；

②这种文化衫的月销量最大为260件；

③销售这种文化衫的月利润最小为2600元；

④销售这种文化衫的月利润最大为9000元.

其中正确的是.（把所有正确结论的序号都填上）

14.如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12m时，桥拱顶部离水面4m,

以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系.若选取点A为坐标原点时的抛物线解

析式为y=-1（x-6）2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为

15.如图，小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴

绳子的地方距地面高度都是2.5m,绳子自然下垂呈抛物线状，身高1m的小明距较近的那

棵树0.5m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点到地面的距离为m.

16.如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A,B

两点，桥拱最高点C1到A8的距离为9m,48=36m,D,E为桥拱底部的两点,

且点£到直线4?的距离为7m,则0E的长为m.

三、解答题

17.某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量M件）是售价式元

/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润同元）的三组对应值如下表：

售价式元/件）506080

周销售量武件）1008040

周销售利润

100016001600

w（元）

注:周销售利润=周销售量x（售价-进价）

⑴①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

②该商品进价是元/件;当售价是元/件时，周销售利润最大，最

大利润是元；

⑵由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（机＞0）,物价部门规定该商品售价

不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函

数关系.若周销售最大利润是1400元，求机的值.

18.如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪A8,喷水口A距地面2.25m,喷出水流

的运动路线是抛物线的一部分.水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为

1m,且到地面的距离为3m.求水流的落地点C到水枪底部3的距离.

19.已知某商品的进价为每件40元，现售价为每件60元，每星期可卖出300件,

经市场调查反映，每件每涨价1元，每星期可少卖出10件.

(1)要想每星期获得6090元的利润，该商品每件的价格应定为多少元？

⑵每星期能否获利7000元？试说明理由.

(3)该商品每件的价格定为多少元时，每星期获利最大，最大利润是多少？

20.某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为

60间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间(含170元,

240元)浮动时，每天入住的房间数M间)与每间标准房的价格N元)的数据如下表:

式元)…190200210220...

>(间)...65605550...

(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象.

(2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.

(3)设客房的日营业额为.(元)，若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多

少元时，客房的日营业额最大?最大为多少元？

21.如图所示，在矩形ABC。中，AB=18cm,AD=4cm,点尸，。分别从点A,

8同时出发，点P在边A3上沿A8方向以每秒2cm的速度匀速运动，点。在

边上沿方向以每秒1cm的速度匀速运动.当一点到达终点时，两点均停

止运动.设运动时间为xs,△的面积为yen?.

(1)求y关于尤的函数解析式，并写出光的取值范围；

(2)求^PBQ的面积的最大值.

DC

4fpB

22.春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水

位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售.

九(1)班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天(1WXW20且x为整数)的捕捞

与销售的相关信息如下：

鲜鱼销售单价(元伙g)20

单位捕捞成本(元/依)5-5

捕捞量(依)950-1Ox

(1)在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比是如何变化的？

(2)假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出.求第九

天的收入y(元)与x(天)之间的函数关系式；(当天收入=日销售额一日捕捞成本)

(3)试说明(2)中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大

值是多少？

23.宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成.已知每件产

品的出厂价为60元.工人甲第x天生产的产品数量为)，件,>与x满足如下关系:

7.5x(0<x<4)，

y=*

,l5x+10(4<A<14).

⑴工人甲第几天生产的产品数量为70件？

(2)设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x之间的函数图象如图.工人甲第x

天创造的利润为W元，求W与尤之间的函数解析式，并求出第几天时，工人甲

所创造的利润最大，最大利润是多少.

24.(2019•绍兴)有一块形状如图的五边形余料ABCDE,AB=AE=6,BC=5,

NA=ZB=90。，ZC=135°,Z£>90°.要在这块余料中截取一块矩形材料，其

中一边在AE上，并使所截矩形的面积尽可能大.

(1)若所截矩形材料的一条边是8c或AE,求矩形材料的面积；

(2)能否截出比(1)中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最

大值，如果不能，请说明理由.

2021中考数学冲刺训练：二次函数的实际应用

-答案

一、选择题

1.【答案】B

2.【答案】A［解析］y=一父一4x+4)+4=—(x—2尸+4,二水喷出的最大高度

是4米.

3.【答案】C［解析］如图I,过点。作CELA3于E,设CD=x,

则四边形ADCE为矩形，CO=AE=x,NDCE=NCEB=90。,ZBCE=ZBCD-Z

DCE=3Q°,BC=\2-x.

在中，VZCEB=90°,：.BE=-BC=6--x,

22

/.AD=CE=\^3BE=6yJ3—日x,AB=AE+BE=x+6-^x=^x+6,

・•・梯形ABCD的面积

W(CO+A8).CE=；(x+*6).(6百—*)=-娱2+3昼+18后苧x-4y+24日，

...当x=4时，S城大=24日，即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大,

最大面积为24旧n?,故选C

4.【答案】B［解析「.NC_Lx轴,04=10米，

.•.点。的横坐标为-10.

当x=-10时，y=--^-(X-80)2+16=-(-10-80)+16=—,

.•.c(；0,考，

桥面离水面的高度AC为V米.

4

故选B.

5.【答案】C［解析］以2m长线段所在直线为x轴，以其垂直平分线为y轴建

立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的长度.

6.【答案】B［解析］设二次函数的解析式为丫=2*2.由题可知，点A的坐标为(一

45,-78),代入解析式可得一78=a(—45尸，解得a=一建，.•.二次函数解析式

为y=一建x?.故选B.

7.【答案】A［解析］..•抛物线的顶点坐标为(0,3.5),

•••可设抛物线的函数解析式为y=ax2+3.5.

•.•篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，3.05=ax1.52+3.5.解得a=-1..\y=-1x2

+3.5.可见选项A正确.

由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5,3.05),可见选项B错误.

由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0,3.5),可见选项C错误.

将x=-2.5代入抛物线的解析式，得y=—gx(—2.5)2+3.5=2.25,.•.这次跳投

时，球出手处离地面2.25m可见选项D错误.

故选A.

8.【答案】A［解析］令y=7.5,得4x—%2=7.5.解得xi=3,x?=5.可见选项A

错误.

由y=4x—gx2得y=一；(x—4)2+8,对称轴为直线x=4,当x>4时，y

随x的增大而减小，选项B正确.

'x=7,

J1fx=0,

联立y=4x-卧-与y=^x,解得jy_0或7.••抛物线与直线的交点坐标为

y=2.

(0,0),4,可见选项C正确.

由对称性可知选项D正确.

综上所述，只有选项A中的结论是错误的，故选A.

二、填空题

9.【答案】28［解析］设商店所获利润为y元.根据题意，得

y=(a-21)(350-10a)=-10a2+560a-7350=-10(a-28)2+490,

即当a=28时,可获得最大利润.

X21x(1+40%)=21xl.4=29.4,而28<29.4,所以a=28符合要求.

故商店应把每件商品的价格定为28元，此时可获得最大利润.

10.【答案】150［解析］设A8=xm,矩形土地ABC。的面积为yn?,由题意，得

尸•空丝S=-%-150)2+33750,V--<0,.•.该函数图象开口向下,当x=150时,该

222

函数有最大值.即A3=150m时，矩形土地ABC。的面积最大.

11.【答案】1.6［解析］设各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度h,则第

一个小球的离地高度y=a(t-1.1尸+人(存0),

由题意a(f-1.1)2+h=a(t-1-1.1)2+/?,

解得r=L6.

故第一个小球抛出后L6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同.

12.【答案】10［解析］当产。时，亲+河=0,解得，%=-2(舍去)或x=解故答

案为10.

13.【答案】①②③［解析］由题意知，当70SXS150时，y=-2x+400,

2V0,，y随x的增大而减小，

...当x=150时，y取得最小值，最小值为100,故①正确；

当x=70时，y取得最大值，最大值为260,故②正确；

设销售这种文化衫的月利润为W元，

贝UW=(x-60)(-2x+400)=-2(X-130)2+9800,

V70<x<150,

.•.当x=70时，W取得最小值，最小值为一2(70—130y+9800=2600,故③正

确；

当x=130时，W取得最大值，最大值为9800,故④错误.

故答案为①②③.

1

14.【答案】y=—§(x+96)-+4

15.【答案】0.5［解析］以抛物线的对称轴为纵轴，向上为正，以对称轴与地面的交点为坐

标原点建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式可设为y=ax?+h.由于抛物线经过点(1,2.5)

和(一0.5,1),于是求得a=2,h=0.5.

16.【答案】48［解析］建立如图所示的平面直角坐标系，设AB与y轴交于点

H.

VAB=36m,，AH=BH=18m.

由题可知：0H=7m,CH=9m,

•,.OC=9+7=16(m).

设该抛物线的解析式为y=ax2+k.

•.•抛物线的顶点为C(0,16),

，抛物线的解析式为y=ax2+16.

把(18,7)代入解析式,得7=18xl8a+16,

，7=324a+16,

._±

,•a—=36，

y=-+16.

当y=0时，0=一表x2+16,

—^x2=—16>解得x=±24,

，E(24,0),D(-24,0),

.,.OE=OD=24m,

.,.DE=OD+OE=24+24=48(m).

三'解答题

17.【答案】

解:⑴①设y与x的函数关系式为y=kx+b,依题意，有/°“+b=1°°，解得

l60fc+b=80,

ffc=-2,

lb=200,

与x的函数关系式是y=-2x+200..

②设进价为，元/件，由题意，1000=100x(50”)，解得/=40,.•.进价为40元/件；

周销售利润vv=(x-40)y=(x-40)(-2x+200)=-2(x-70)2+1800,故当售价是70元/件时，

周销售利润最大，最大利润是1800元.故答案为40,70,1800.

⑵依题意有，

w=(-2x+200)(x-40-m)+(2,”+280)x-8000-200加=-2G-m^40)2+^m2-60m+1800.

・，”>0,二对称轴x=S竺>70,

2

•••-2<0,.•.抛物线开口向下，

,烂65,，川随x的增大而增大，

当x=65时，w有最大值(-2x65+200)(65-40-^),

A(-2x65+200)(65-40-???)=1400,

18.【答案】

解：如图，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立

平面直角坐标系.

根据题意，得抛物线的顶点P的坐标为(1,3),

二设抛物线的解析式为y=a(x—1猿+3.

把A(0,2.25)代入，得2.25=a(0—l)2+3,

解得a=-0.75,

/.y=-0.75(x—1)2+3.

令y=0,

得一0.75(X—1)2+3=0,

解得XI=3,X2=—1(舍去)，

•**BC=3m.

答：水流的落地点C到水枪底部B的距离为3m.

19.【答案】

解：设该商品每件涨价X元时，每星期获得的总利润为y元.

(1)由题意，得(60+x—40)(300—1Ox)=6090,

整理得X2—10X+9=0,

解得XI=1,X2=9.

60+1=61(元)，60+9=69(元).

答：要想每星期获得6090元的利润，该商品每件的价格应定为61元或69元.

(2)不能.理由:列方程，W(60+x-40)(300-10x)=7000,

整理得x2-10x+100=0.

VA=(-10)2-4xlxl00<0,

此方程无实数解，

销售该商品每星期不能获利7000元.

(3)y=(60+x-40)(300—1Ox)=-1Ox2+100x+6000=一10(x—+6250,

当x=5时，y最大=6250,60+x=65.

答：该商品每件的价格定为65元时，每星期获利最大，最大利润为6250元.

20.【答案】

解：(1)如图所示.

少(间)

(2)设):依+方(原0),把(200,60)和(220,50)代入，

得产i=6。，解得「7

,220k+h=50,(h=160

.•.)=-$+]60(I70<A<240).

(3)w=x-y=*(-：X+160)=-、，l60x.

函数VV=--X2+160X图象的对称轴为直线X=-」H=160,

22X(-]

V--<0,

2

.•.在170M240范围内，坟随x的增大而减小.

故当x=170时，w有最大值，最大值为12750元.

21.【答案】

［解析］先运用三角形的面积公式求出y关于x的函数解析式，然后运用公式法

或配方法把函数解析式化成顶点式，再根据x的取值范围求所得函数的最大值，

进而解决问题.

解：PBQ=gpB.BQ,PB=AB—AP=(18—2x)cm,BQ=xcm,

.■.y=^(18—2x)-x,

即y=-x2+9x(0<x<4).

9

当x<］时，y随x的增大而增大，而0<x<4,当x=4时，y最大值=20,即^PBQ

的面积的最大值是20cm2.

22.［答案］

脑：(1)该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比每天减少了10必.

(2)由题意，得

>=20(950—1Ox)-(5-1)(950-1Ox)=­2»+40x+14250.(7分)

(3)V-2<0,y=-2?+40x+14250=~2(x-10)2+14450,(9分)