2021年中考数学压轴大题含答案解析

2021年中考数学压轴题

1.如图，以点。为圆心，OE为半径作优弧EF,连接OE,OF,且OE=3,NEO尸=120°,

在弧EF上任意取点A,B（点B在点A的顺时针方向）且使AB=2,以AB为边向弧内

作正三角形ABC.

（1）发现：不论点A在弧上什么位置，点C与点。的距离不变，点C与点O的距离是

2V2-V3；点C到直线EF的最大距离是2夜一百+2.

（2）思考：当点3在直线OE上时，求点C到OE的距离，在备用图1中画出示意图,

并写出计算过程.

（3）探究：当8c与OE垂直或平行时，直接写出点C到OE的距离.

解：（1）如图1,连接OA、OB、OC,延长OC交AB于点G,

在正三角形A8C中，AB=BC=AC=2,

"：OA=OB,AC=BC,

；.OC垂直平分4B,

：.AG=^AB^1,

...在RtZ\AGC中，由勾股定理得：CG=\/AC2-AG2=V22-I2=痘,

在Rt^AGO中，由勾股定理得：OG=7A02-W=办一里2=2近,

：.OC=2鱼一匠

如图2,延长CO交EF于点H,

当CO_LEF时，点C到直线E尸的距离最大，最大距离为C4的长，

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E

图2

'：OE=OF,CO.LEF,

.♦.CO平分/EOF,

；/EO尸=120°,

；.NEOH=3/EOF=60。,

在RtZXEO”中，cosNEO”=窈，

0H1

.・.cosowOc。=

3

：.OH=^

Q

：.CH=CO+OH=2V2-V3+|,

.•.点C到直线EF的最大距离是2夜-V3+1.

故答案为：2或一百：2A/2-V3+1.

(2)如图3,当点8在直线OE上时，

由OA=O8,CA=CB可知，

点O,C都在线段AB的垂直平分线上，

过点C作A8的垂线，垂足为G,

则G为AB中点，直线CG过点O.

，由NCOM=NBOG,4cM0=NBGO

：.4OCMs丛OBG,

.CMOC

•.=,

BGOB

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.CM2V2-V3

••-=，

13

•2^2—y[3

••CAY=3,

_2V2-V3

・••点C到OE的距离为一--.

(3)如图4,当8CJ_0E时，设垂足为点M,

VZEOF=120°,

AZCOM=180°-120°=60°,

在RtACOM中，sinZCOM=需，

••'八oCM

..smoO==-y,

CM=%O=(2V2-V3)=V6-|；

如图5,当BC〃OE时，过点C作CN_LOE,垂足为M

"."BC//OE,

:.NCON=NGCB=30°,

：.在RtACOX中，sinZCON=第，

..?八。CN1

・・sin30=-QQ=29

•*.CN—2co=2(2V2-V3)——V2-

综上所述，当BC与OE垂直或平行时，点C到。E的距离为历一|或近一空.

2.问题发现：

(1)如图1,ZVIBC内接于半径为4的。O,若NC=60°,则AB=；

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问题探究：

（2）如图2,四边形ABCO内接于半径为6的。。，若NB=120°,求四边形ABC。的

面积最大值；

解决问题：

（3）如图3,一块空地由三条直路（线段A。、AB,BC）和一条弧形道路前围成，点M

是道路上的一个地铁站口，已知AO=BM=1千米，AM=BC=2千米，ZA=ZB=

60°,口的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，

另外三个入口分别在点C、。、P处，其中点P在加上，并在公园中修四条慢跑道，即

图中的线段DM.MC、CP、PD,是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即

四边形QMCP的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由.

：.ZAOB=120°,

"：OA=OB,

...△04?为等腰三角形,

'：OH±AB,

:./AOH=NBOH=6U°,

/o

AAH=OAsinZAOH=4x1=2a,

则AB=2AH=4^3；

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故答案为4V3；

(2)如图2,连接AC,过点。作。ELAC于点E,过点8作8FLAC于点F,

图2

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,/四边形A3CO的面积S=^ACXDE+^ACXBF=^ACX(DE+BF),

，当。、E、F、B四点共线旦为直径时，四边形A8C。的面积S最大；

VZABC=120°,

AZADC=60°,

AZAOC=120°,

在△40C中，由⑴知，AC=2XOAsin600=2X6x亨=6技

11

四边形ABCD的面积S的最大值为：-xACXBD=1x66x12=36遮,

故四边形ABCD的面积的最大值为36V3；

(3)如图3,过点。作OKLAB于点K,连接CO,

在△A£>M中，OK=AO・sinA=IX孚=字，同理AKJ

则KM^AM-AK=2-1则tan器=孚

.../OMK=30°,故△4DW为直角三角形，同理△CMB为直角三角形,

在RtAADM中，DM=y/AM2-AD2=V4-1=百，

/.ZZ)MC=180°-ZDMA-ZCMB=60Q

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'：AD=BM,AM=BC,ZA=ZB=60°,

ARtAADM^RtABMC(SAS),

.♦.△COM为等边三角形；

设前所在的圆的圆心为R,连接OR、CR、MR,

•:DM=CM,RM=RM,DR=CR,

.•.△DRM必CRMCSSS),

；.NDMR=NCMR=^NDMC=30。,

在△£>"/?中，DR=l,ZDM/?=30°,DM=V3=CM,

过点R作RHLDM于点H,

则RM=^^=W=I=M，

~2

故。、P、C、M四点共圆，

：.ZDPC=120°,

如图4,连接MP,在尸M上取PP=PC,

图4

•••△COM为等边三角形，

：.ZCDM=60°=ZCPM,

：./\P'PC为等边三角形，则PP'=尸'C=PC,

■:NPMC=NPDC,NCP'M=1800-NPP'C=120°=NDPC,CD=CM,

.".△PDC^AP,MC(A4S),

：.PD=P'M,

：.PD+PC=PP'+PD=PP'+P'M=PM,

故当PM是直径时，PD+PC最大值为2；

四边