2021年中考数学-三轮冲刺：矩形、菱形(含答案)

2021中考数学三轮专题冲刺：矩形、菱形

一、选择题

1.如图，菱形ABCD的周长为8cm,高AE长为百cm,则对角线AC和BD长之比为

A.l：2B.l；3C.l/V2D.l/V3

2.如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD

的边于M、N两点，设AC=2,BD=1,AP=x,4AMN的面积为y,则y关于x的函数图

象的大致形状是（）

3.（2020•毕节）如图，在矩形ABCO中，对角线AC,8。相交于点O,点E,尸分别是AO,

AO的中点，连接ER^AB=6cm,BC=8cm,则ER的长是（）

A.2.2cmB.2.3cmC.2.4cmD.2.5cm

4.如图，在口ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使口ABCD成为菱形，下

列给出的条件不巧砸的是（）

A.AB=ADB.AC±BD

C.AC=BDD.ZBAC=ZDAC

5.（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,8。相交于点O,AC=8.BD=6,点、E

是CD上一点，连接0E,若OE=CE,则0E的长是（）

C.3D.4

6.（2020.乐山）如图，在菱形ABCO中，AB=4,ZBAD=l20°,。是对角线的中点，过

点。作OE_LCO于E,连接QA,则四边形AOEO的周长为（）

B.9+小C.7+2小D.8

7.（2020.深圳）如图,矩形纸片ABC。中，AB=6,BC=12.将纸片折叠，使点8落在边AO

的延长线上的点G处,折痕为EE,点£、E分别在边A0和边上.连接8G,交CO于点

K,FG交CD于点、H.给出以下结论:

①EF工BG；②GE=GF；③^GOK和△GK"的面积相等；④当点尸与点C重合时，ZDEF

=75°.其中1E颂的结论共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.（2020•泰安）如图，矩形A3CO中，AC,BO相交于点O,过点B作3FLAC交CD于点R

交AC于点M,过点。作OE〃鳍交AB于点E,交AC于点、N,连接EMEM.则下列结论：

①DN=BM；®EM//FN；®AE=FC；④当AO=AO时，四边形。E3F是菱形.其中，正确

结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

9.如图，矩形ABCD的面积是15,边AB的长比AD的长大2,则AD的长是

□

A'-----------'B

10.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF=2,则菱形ABCD的周长

为.

11.把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图

②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为.

图K24-8

12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,且AC=8,BD=6,则菱形ABCD

的高DH=.

13.如图，菱形ABCD的面积为120cm2,正方形AECF的面积为50cm1,则菱形的边长为

cm.

14.如图，正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若

ZD=60°,BC=2,则点D的坐标是

15.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE.如果NADB=30。，则NE

=度.

16.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C

恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将AABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的

点H处.有下列结论：

3

①NEBG=45。；②△DEFs/^ABG；③SAABGJSAFGH;®AG+DF=FG.

其中正确的是.(把所有正确结论的序号都选上)

三'解答题

17.如图，在菱形ABCO中，AC为对角线，点E,尸分别在AB,AD±.,BE=DF,连接EE

(1)求证:ACJLEf;

(2)延长E/交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点0,若8。=4,tanG=］求A。的长.

18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点0,ZABC：ZBAD=1：2,BE〃AC,CE

〃BD.

(1)求以〃NDBC的值；

(2)求证：四边形0BEC是矩形.

E

19.如图，A3是。。的直径，OO_LAB于点。，连接D4交。。于点C,过点。作。。的切线

交。。于点E,连接8C交。。于点£

⑴求证:CE=EE

(2)连接AF并延长，交。。于点G填空：

①当NO的度数为时，四边形EC/G为菱形；

②当N。的度数为时，四边形ECOG为正方形.

20.如图，在菱形A8C0中，A3=5,sinNABO=方-，点P是射线8C上一点，连接AP交菱

形对角线8。于点E,连接EC

⑴求证：AABE会ACBE；

(2)如图①，当点尸在线段上时，且8P=2,求的面积；

(3)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，若CELEP,求线段的长.

图①图②

21.如图，在DABCO中，对角线AC与8。相交于点。，点E,F分别为OB,0。的中点，延

长AE至G,使EG=AE,连接CG

⑴求证:△ABEgaCOE

⑵当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCT是矩形?请说明理由.

AD

O

2021中考数学三轮专题冲刺：矩形、菱形•答案

一、选择题

1.【答案】D［解桐由菱形ABC。的周长为8cm得边长A3=2cm.又高AE长为百cm,所以

ZABC=60°,所以△ABC,△AC。均为正三角形，AC=2cm,3O=2AE=2j5cm.故对角线AC

和长之比为1；b，应选D.

2.【答案】C【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图

象和性质.解题思路：设AC、BD交于点O,由于点P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，

APMNxMN1

所以0VxV2.当OVxVl时，△AMNsaABDn)=^K=7=-r=MN=x=y=7x2.此二次

AUDU11，

函数的图象开口向上，对称轴是x=0,此时y随x的增大而增大.所以B和D均不符合条件.当

l<x<2时，△CMNsZM2BD=;^=薪=-j-=>MN=2—x=y=5x(2—x)=-5x2+x.

此二次函数的图象开口向下，对称轴是x=l,此时y随x的增大而减小.所以A不符合条件.综

上所述，只有C是符合条件的.

3.【答案】D,

【解析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理..

解：矩形A8CD中，"：AB=6cm,：.DC=6cm,'：ZBCD=90°,BC=8cm,：.BD=IO.

・•,对角线AC,8。相交于点O,.•.0。=」8。=5.•.,点E,尸分别是AO,AD的中点，.•.所

2

=2.5.故选D.

4.【答案】C【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A正确；对角线互相垂直的平行

四边形是菱形，所以B正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C错误；由NBAC=ND4C

可得对角线是角平分线，所以D正确.

5.【答案】B

【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB,OC,AC±BD,然后利用勾股定理列式求

出BC,最后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可.

•••菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,

1111.

OB=1BD=^x6=3fOA=OC="=2X8=4,ACLBD,

由勾股定理得，BC=^OB2+OC2=p+42=5,

：.AD=5,

"：OE=CE,

：.ZDCA=ZEOC,

•..四边形ABC。是菱形，

：.ZDCA=ZDAC,

：.ZDAC=ZEOC,

：.OE//AD,

\'AO=OC,

：.OE是△AOC的中位线，

1

OE=/£>=2.5.

6.【答案】B

【解析】由已知及菱形的性质求得NABO=NCDB=3（F,AO1BD,利用含30。的直角三角形

边的关系分别求得A。、DO、OE、DE,进而求得四边形AOE。的周长•四边形ABC。是菱

形，。是对角线AC的中点,：.AOLBD,AD=AB=4,AB//DC；VZBAD=120°,/.ZABD

=NADB=NCDB=30。；VOE±DC,.,.在RraA。。中，AD=4,AO=^AD=2,DO=

NAD2-AO2=2小;在RfZ\£>EO中，OE=3（）D=5,DE-=yjAD2-AO2=3,，四边形AOEO

的周长为AO+OE+DE+AO=2+小+3+4=9+小.

7.【答案】C

【解析】由轴对称可知，B、G关于EF对称，E尸垂直平分BG,故①正确；又由矩形A8CO

知，AD〃BC,：./GEF=NBFE,连接BE,NBEF=/GEF,：./BEF=/BFE,：.BE=BF,

而BE=GE,BF=GF,：.GE=GF,故②正确；由8E=GE=BE=G尸知，四边形BEG尸是菱

形，，GK平分NOGH,而DG<GH,:.DK,KH,：.S&GD#S&GKH,故③错误；当点尸与点C

工人一,180°—NAE3

重合时，BF=BC=n,：.BE=U,而AB=6,.•.NAEB=30°,.•.NGEf=-----------------=75°,

故④正确；因此本题选C.

8.【答案】D

【解析】本题考查了矩形的性质、三角形全等的条件与性质、等边三角形的条件与性质、平行

四边形的条件与性质以及菱形的判定方法，因为四边形ABCD是矩形，所以AB=CD,AD=BC,

AD〃BC,所以NDAN=NBCM.因为BFLAC,DE//BF,所以DELAC,即ZAND=ZCMB=90°,

所以△ADNgZ\CBM,所以DN=BM,ZAND=ZCBM,则4ADE之ACBF,所以AE=CF、

DE=BF,所以NE=MF,即①②③都是正确的，由AE=CF、AB=CD,所以BE=DF,所以四边

形AEBF是平行四边形.因为四边形ABCD是矩形，所以AO=DO,因为当时，

AO=DO=AO,所以△ADO是等边三角形，所以NAND=ZBDE=30°，所以NBDE=ZABD=30°,

所以DE=BE,所以四边形DEBF是菱形，则④也是正确的，因此本题选D.

二、填空题

9.【答案】3【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题.设AD=x,由题知，AB

=x+2,又•.•矩形ABCD的面积为15,则x(x+2)=15,得到x?+又一15=0,解得，xi=-

5(舍)，X2=3,/.AD=3.

10.【答案】16【解析】VE,F分别是AD,BD的中点，；.AB=2EF=4,...菱形ABCD周

长是4AB=16.

11.【答案】12［解析］设图①中小直角三角形的两直角边长分别为a,b(b>a),则由图②，图③

可列方程组f+b=5,解得,二

所以菱形的面积S=*x6=12.故答案为12.

=1,［b=3,

12.【答案】48【解析】•.,$菱形=gACBD=2ABDH,，AC•BD=2ABDH.•四边形ABCD

是菱形，••.NAOB=90。，AO=1AC=4,BO=1BD=3,/.^E^AAOB中，AB=^42+32=5,

.8x6

.,.DH=Z-7=4.8.

13.【答案】13【解析】如解图，连接AC、BD交于O,则有gAC-BD=120,...AC・BD=240,

又..•菱形对角线互相垂直平分，，2OA・2OB=240,二OA-OB=60,VAE2=50,OA2+OE2

=AE2,OA=OE,；.OA=5,AOB=12,AAB=^OA2+OB2=^/122+52=13.

14.【答案】(/+2,7)【解析】如解图，过点D作DGLBC于G,DF_Lx轴于F,•在菱形

BDCE中，BD=CD,/BDC=60°,Z\BCD是等边三角形，，DF=CG=^BC=1,CF=DG

=小，.*.OF=V3+2,，D(小+2,1).

15.【答案】15【解析】如解图，连接AC「.•四边形ABCD是矩形，...AD=BC,AC=BD,

又•.,AB=BA,.'.△DAB❷△CBA(SSS),/.ZACB=ZADB=30°,VCE=BD,/.AC=CE,

/.ZE=ZCAE=|ZACB=15°.

--

RC田解图

16.【答案】西@【解析】由折叠的性质得，NCBE=NFBE,NABG=NFBG,，NEBG

=ZFBE+ZFBG=^X90°=45°,故①正确；由折叠的性质得，BF=BC=10,BA=BH=6,

.*.HF=BF-BH=4,AF=A/BF2-BA2=^/102-62=8,设GH=x,则GF=8-x,在心△GHF

中，X2+42=(8-X)2,/.X=3,.*.GF=5,/.AG=3,同理在汝△FDE中,由FDZMEFZ-ED?,

/口810.ED4AB.人,_1,

得ED=§,EF=y,AFD=3^AG=2,••△def^aABG不相似，故②不正确；SMBG=]X3X6

=9,SAFGH=1X3X4=6,SA，BG、=:93

/.c7=9,故③正确；,；AG=3,DF=AD—AF=2,；.FG=5,

bz\FGH0Z

...AG+DF=FG=5,故④正确.综上，答案是①③④.

三、解答题

17.【答案】

解:(1)证明:•••四边形ABCD为菱形,

：.AB=AD,AC平分NBAD

•；BE=DF,：.AB-BE=AD-DF,

：.AE=AF,

...△AEF是等腰三角形，

YAC平分NBA。，：.AC1EF.

（2）...四边形ABC。为菱形，

：.CG//AB,B0=-BD=2,

2

易知EF//BD,

四边形EBDG为平行四边形，

ZG=ZABD,tanZABD=tanZG=-,

2

/.tanZABD----=~,."0=1.

BO22

18.【答案】

（1）【思路分析】根据四边形ABCD是菱形，ZABC：ZBAD=1：2,可求出NDBC的度数,

其正切值可求出.

解：•.•四边形ABCD是菱形，

，AD〃BC,ZDBC=|ZABC,

NABC+NBAD=180。，

又YNABC:ZBAD=1：2,

AZABC=60°,（2分）

ZDBC=|ZABC=3O°,

J3

：.tanZDBC=tan30°=羊（3分）

（2）【思路分析】由BE〃AC,CE〃BD可知四边形BOCE是平行四边形，再结合菱形对角线

垂直的性质即可证明四边形BOCE是矩形.

证明：•.•四边形ABCD是菱形，

.*.AC±BD,即ABOC=90°,（4分）

VBE//AC,CE〃BD,

，BE〃OC,CE〃OB,

二四边形OBEC是平行四边形，且NBOC=90。，

二四边形OBEC是矩形.（5分）

方法指导1（1）要求一个角的正切值,可通过相关计算先求得角的度数，再求其正切值，这种情

况往往所求角度为特殊值；或者将该角置于直角三角形中，通过求直角三角形边长来，求其正

切值.（2）矩形的判定：①平行四边形十有一个角是直角；②平行四边形十对角线相等；③四

边形的三个角是直角.

19.【答案】

解:⑴证明:连接0C.

•.•CE是。。的切线，OC±CE.

：.ZFCO+ZECF=90°.

'：DOLAB,：.ZB+ZBF0=9Q°.

■:4CFE=NBF0,

：.ZB+ZCFE=90°.

VOC=OB,：.ZFCO=ZB.

：.ZECF=ZCFE.

：.CE=EF.

(2)•..AB是。。的直径，AZACB=9Q°.

：.ZDCF=90°.

:.NDCE+NECF=90。,ZD+ZEFC=90°.

由(1)得/EC/=NCFE,

：.ZD=ZDCE.

：.ED=EC.

：.ED=EC=EF.

即点E为线段。f的中点.

①四边形ECFG为菱形时，CF=CE.

'：CE=EF,：.CE=CF=EF.

...△CEF为等边三角形.

：.ZCFE=60°.

：.ZD=30°.

故填30°.

②四边形ECOG为正方形时，△ECO为等腰直角三角形.

二ZCEF=45°.

"：ZCEF=ZD+ZDCE,

：.ZD=ZDCE=22.5°.

故填22.5°.

20.【答案】

(1)证明：•.•四边形ABC。是菱形,

：.AB=BC,NABE=/CBE.

在AABE和中，AB=BC,NABE=NCBE,BE=BE,

：.△ABE丝△CBE(SAS)；

(2)解：如解图①，连接AC交BO于点。，分别过点A、E作BC的垂线，垂足分别为点”、F,

BPFHC

解图①

•.•四边形A3CD是菱形，

：.AC±BD,

J5

'：AB=5,si