2021年中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练七：与特殊平行四边形相关压轴题

2021中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练七：

与特殊平行四边形相关的压轴题(附答案)

方法提炼：

1、特殊四边形的探究问题解题方法步骤如下：(1)先假设结论成立；(2)设出点坐标，求

边长.(类型一方法指导)：(3)建立关系式，并计算。若四边形的四个顶点位置已确定，则

直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论。

2、探究菱形:①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标.一般会用

到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等等性质列关系式。

3、探究正方形:利用正方形对角线互相平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两

条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解。

4、探究矩形:利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾

股定理列关系式求解。

典例引领：

例：已知二次函数)，=—+版+3的图象与x轴交于点A(-1,0)与B(3,0).

(1)求此二次函数的解析式；

(2)若该二次函数图象顶点为。，点P为x轴上一点，将该二次函数图象绕着点P旋转

180°得到新抛物线的顶点记为E,与x轴的交点记为八G(点尸在点G的左侧)，若四

边形力8E/是矩形，求点P的坐标；

(3)若抛物线与)，轴交于点C,现将抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过点C,

在平移后的抛物线上是否存在点M,使得以4、8、C、M为顶点的四边形是平行四边形，

若存在，请写出平移方式；若不存在，请说明理由.

分析：(1)把4、8两点坐标代入解析式，建立二元一次方程组，便可求得解析式；

(2)设PC,0),根据矩形的性质得P为DE的中点，从而得E的坐标，因旋转前后的

抛物线的解析式中二次项系数互为相反数，便可写出旋转后的抛物线的解析，进而求得尸

点坐标，再根据矩形的性质得OE=B凡列出，的方程，求得/的值便可；

(3)由题意知，平移后的抛物线的解析式中二次项系数与常数项没变化，只是一次项系

数发生了变化，可设出平移后抛物线的解析式，分三种情况：分别以BC、AB,4c为对

角线构成平行四边形，由平移知识求出M点的坐标，再把M点坐标分别代入平移后的解

析式，求得新抛物线的顶点坐标，再由原抛物线与新抛物线的顶点坐标，便可得各种情

形下的平移方式.

解：(1)•.•二次函数y=o?+W+3的图象与x轴交于点A(-1,0)与B(3,0).

.(a-b+3=0

19a+3b+3=0

.••尸，

lb=2

...此二次函数的解析式：y=-/+2x+3；

(2)Vy=-f+2x+3=-(x-1)2+4,

：.D(1,4),

设0),则E(2f-1,-4),如图1,

令y=0,得（x-2f+l）2-4=0,

解得，x=2t-1±2,

：.F(2L3,0),

：.BF=6-2r,

・・,四边形。血尸是矩形，

:.DE=BF,

A7(2-2t)2+64=6-2t,

:.t=-2,

：.P(-2,0)；

(3)•..抛物线y=-/+2x+3与y轴交于点C,

：.C(0,3),

；将抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过点C,

二可设平移后的抛物线的解析式为y=-7+〃a+3,

•.•以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，

.♦.存在三种情况：

①如图2,当四边形A8MC为平行四边形时，则CM〃4B,且CM=A8,M在第一象限

内，则M(4,3),

M(4,3)代入y=-f+蛆+3中，得〃?=4,

此时，平移后抛物线的解析式为y=-f+4x+3=-(x-2)2+7,

...平移后抛物线的顶点为(2,7),

•.•原抛物线的顶点为(1,4),

故原抛物线向右平移I个单位，再向上平移3个单位，在平移后的抛物线上是就存在点

M,使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形;

②如图3,当四边形AMCB为平行四边形时，则CM〃/18,且CM=A8,M在第二象限

内，则M(-4,3),

M(-4,3)代入y—-7+，巾+3中，得m--4,

此时，平移后抛物线的解析式为y=-4x+3=-(x+2)2+7,

...平移后抛物线的顶点为(-2,7),

•.•原抛物线的顶点为(1,4),

故原抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，在平移后的抛物线上是就存在点

M,使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形；

③如图4,当四边形ACBM为平行四边形时，则AC〃8M,且AC=8M,M在第四象限

内，则M(2,-3),

M（2,-3）代入y=-』+加计3中，得m=-1,

此时，平移后抛物线的解析式为y=-f-x+3=_（x+/yq_,

...平移后抛物线的顶点为（」，迫），

24

•.•原抛物线的顶点为（1,4）,

故原抛物线向右平移3个单位，再向下平移个3单位，在平移后的抛物线上是就存在点

24

M,使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形；

综上，存在点使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，平移方式有三种：

向右平移1个单位，再向上平移3个单位；原抛物线向左平移3个单位，再向上平移3

个单位；原抛物线向右平移旦个单位，再向下平移个旦单位.

24

点评：本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，图形变换：平移与旋转的性

质，考查了矩形与平行四边形的存在性问题的探究，难度较大，是中考的压轴题，第（2）

小题关键是旋转前后抛物线的解析式的异同，以矩形的对角线相等列方程是突破难点的

方法；第（3）小题分情况讨论是一个难点，往往考虑不全面而失分.

跟踪训练：

1.如图，抛物线^二/+万田4(“W0)与x轴交于4(-1,0),B(4,0)两点，与y轴交

于点C,连接BC,点P是抛物线上第一象限内一动点，过点P作PEJ_尤轴于点E,交

BC于点D,连接PC.(1)求抛物线的解析式；

(2)将沿直线CP翻折，点D的对应点为Q.试问四边形C£»P0是否能为菱形？

如果能，请求出此时点尸的坐标；如果不能，请说明理由.

2.综合与探究

如图，抛物线y=f+bx+c与x轴交于A、8两点，与y轴交于C点，。4=2,OC=6,

连接AC和BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。在抛物线的对称轴上，当△AC。的周长最小时，点。的坐标为.

(3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE.求△BCE面积的最大值及此

时点E的坐标；

(4)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N,使以点A、C、M、N为顶

点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

VV

(备用图)

3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=o?+bx-«的图象经过点A(-1,0),C(2,

0),与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点。.

(1)求二次函数的表达式及其顶点的坐标；

(2)若P为y轴上的一个动点，连接尸D,求■尸B+尸。的最小值；

(3)M(x,t)为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N,使得以A、B、M、N

为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个.

4.如图，在平面直角坐标系中有抛物线y=a(工-2)2-2和、=。(x-/?)2,抛物线

(x-2)2-2经过原点，与x轴正半轴交于点4,与其对称轴交于点8；点尸是抛物线y

=a(x-2)2-2上一动点，且点「在入轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y=a(x

-/?)2于点£),过点。作尸。的垂线交抛物线y=a(x-〃)2于点(不与点。重合),

连接P。'，设点P的横坐标为，":

(1)①直接写出a的值；②直接写出抛物线y="(x-2)2-2的函数表达式的一般式;

(2)当抛物线y=a(x-/z)2经过原点时，设△「£>£)'与△OAB重叠部分图形周长为L：

①求群一的值；②直接写出乙与机之间的函数关系式;

(3)当〃为何值时，存在点尸，使以点。、A、D、D'为顶点的四边形是菱形？直接写

出h的值.

5.已知抛物线以y=-工X2-标+§与x轴交于A，B两点，(点A在点B的左侧)，顶点

2x2

为D点.

(1)直接写出A,B,。三点的坐标；

(2)设M(m,0)x轴上一点，将抛物线L绕点M旋转180°得到抛物线心.

①当抛物线L1经过原点时，直接写出胆的值；

②若C为第一象限内抛物线L上一点，E为第一象限内一点，问是否存在以8。为边,

以B,D,C,E为顶点的正方形，若存在，请求出此时抛物线心的表达式；若不存在,

请说明理由.

6.如图，抛物线4与x轴交于A,B(A在B的左侧)，与)，轴交于点C,抛物

线上的点E的横坐标为3,过点E作直线轴.

(1)点P为抛物线上的动点，且在直线AC的下方，点M,N分别为x轴，直线八上的

动点，且MNLx轴，当△APC面积最大时，求尸M+MN+返£N的最小值；

2

(2)过(1)中的点P作尸OLAC,垂足为F,且直线PO与y轴交于点£),把

绕顶点尸旋转45°,得到△£>'人?,再把△£>'■7沿直线P。平移至△£)"F'C",在平

面上是否存在点K,使得以O,C",D",K为顶点的四边形为菱形？若存在直接写出

点K的坐标；若不存在，说明理由.

图①图②

7.如图，己知抛物线)，=-“+温-4与x轴交于月、B两点(点A在点B的左侧),

33

与y轴交于点C.

(1)连接BC,尸是线段8c上方抛物线上的一动点，过点P作PHLBC于点H,当PH

长度最大时，在△AP8内部有一点M,连接AM、BM、PM,求AJW+FBM+PM的最小

值.

(2)若点。是0C的中点，将抛物线丫=-3阻-4沿射线AD方向平移行个单

33

位得到新抛物线旷，C是抛物线y'上与C对应的点，抛物线y的对称轴上有一动点

N,在平面直角坐标系中是否存在一点S,使得C'、N、B、S为顶点的四边形是矩形？

若存在，请直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

8.定义：在平面直角坐标系中，图形G上点尸(x,y)的纵坐标)'与其横坐标x的差y-x

称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特

征值”

(1)点A(2,6)的“坐标差”为；(2)求抛物线丫=-7+5x+4的“特征值”:

(3)某二次函数y=-/+fev+c(cWO)的“特征值”为-1,点B与点C分别是此二次

函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解

析式；

(4)二次函数丫=-W+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四

边形。EF。是矩形，点E的坐标为(7,3),点。为坐标原点，点。在x轴上，点尸在

y轴上，当二次函数y=-W+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的

解析式及特征值.

9.已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且。A=

1,。8=3,OC=4,

(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

(2)在平面直角坐标系X。)，中是否存在一点P,使得以点A、B、C、P为顶点的四边形

为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

10.如图，已知抛物线y=a/+c过点(-2,2),(4,5),过定点F(0,2)的直线/：y=

fcr+2与抛物线交于A、

8两点，点B在点A的右侧,过点8作x轴的垂线，垂足为C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系(>、V、=),

并证明你的判断;

(3)P为y轴上一点，以8、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P(0,切)，求自

然数机的值；

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，。为坐标原点，抛物线y=a(x+3)(x-1)(a>0)

与x轴交于A,8两点(点A在点B的左侧).

(1)求点A与点B的坐标；

(2)若。=工，点M是抛物线上一动点，若满足NMA。不大于45°,求点M的横坐标

3

m的取值范围.

(3)经过点B的直线l：y=kx+b与y轴正半轴交于点C.与抛物线的另一个交点为点D,

且CD=4BC.若点P在抛物线对称轴上，点。在抛物线上，以点8,D,P,。为顶点

的四边形能否成为矩形？若能，求出点尸的坐标；若不能，请说明理由.

12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a?+Zzx+c与x轴交于A(-2,0),B(8,0)

两点，与y轴交于点C,且OC=2O4,抛物线的对称轴x轴交于点。.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为㈤

且5ACDP=—求m的值；

20

(3)K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H,使8、C、K、，为顶

点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点，的坐标；若不存在，说明理由.

(备用图1)

13.已知平面直角坐标系X。），（如图1,一次函数＞=-1^+3的图象与y轴交于点A,点

M在正比例函数尸苧的图象上，且MO=MA.二次函数y=f+bx+c的图象经过点A、

M.

(1)求线段4M的长;

(2)求这个二次函数的解析式;

(3)如果点3在y轴上，且位于点A下方，点。在上述二次函数的图象上，点。在一

次函数），=[x+3的图象上，且四边形A8CD是菱形，求点C的坐标.

环

7-

6■

5-

4-

3-

2-

1-

123456；

参考答案

1.分析：（1）利用待定系数法求解可得；

（2）如图2,当点Q落在），轴上时，四边形CZJPQ是菱形，根据翻折的性质知：CD=

CQ,PQ=PD,NPCQ=NPCC,又知。落在y轴上时，则CQ〃/V）,由四边相等：CD

=DP=PQ=QC,得四边形CDPQ是菱形，表示P（n,-n2+3n+4）,则D（〃，-〃+4）,

G（0,-〃+4）,利用勾股定理表示PD和CD的长并列式可得结论.

解：（1）将A（-1,0）、B（4,0）两点代入y=or2+Zzr+4,得：

[a-b+4=0

\16a+4b+4=0

解得：卜=T,

lb=3

二抛物线解析式为y=-/+3x+4；

（2）存在这样的。点，使得四边形SPQ是菱形，如图1,

当点。落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，

理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ,PQ=PD,NPCQ=NPCD,

当点。落在y轴上时，CQ//PD,

：.ZPCQ=ZCPD,

:.NPCD=NCPD,

：.CD=PD,

：.CD=DP=PQ=QC,

四边形CAP。是菱形，

过。作。GJ_y轴于点G,

设P(”，-〃2+3〃+4),则。-”+4),G(0,-a+4),

在RtZ\CGO中，CD2^CG2+GD2^[4-(-n+4)]2+n2=2??2,

而|尸。|=|(-w2+3n+4)-(-n+4)|=|-n2+4n|,

,:PD=CD,

-〃2+4"="y^"①，

-ir+4n--②，

解方程①得：〃=4-圾或0(不符合条件，舍去)，

解方程②得：〃=4+我或0(不符合条件，舍去)，

当〃=4-加时，P(4-圾，5&-2),如图1,

当〃=4+亚时，P(4+近，-572-2)，如图2,

此时点P在第四象限，此情况舍去.

综上所述，存在这样的。点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为(4-料,

572-2).

点评：本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质

和判定，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用勾股定理列方程解决问

题.

2.分析：(1)由。4=2,0C=6得至UA(-2,0),C(0,-6),用待定系数法即求得抛

物线解析式.

(2)由点。在抛物线对称轴上运动且A、B关于对称轴对称可得，AD=BD,所以当点

C、。、8在同一直线上时，△△(?£)周长最小.求直线BC解析式，把对称轴的横坐标代

入即求得点。纵坐标.

(3)过点E作EGLx轴于点G,交直线BC与点F,设点E横坐标为f,则能用t表示

7

E尸的长.ABCE面积拆分为△BEF与△CE/的和，以EF为公共底计算可得SABCE=」

2

EF-OB,把含r的式子代入计算即得到SABCE关于/的二次函数，配方即求得最大值和r

的值，进而求得点E坐标.

(4)以AC为菱形的边和菱形的对角线进行分类画图，根据菱形邻边相等、对边平行的

性质确定点N在坐标.

解：⑴VOA=2,OC=6

；.A(-2,0),C(0,-6)

•.•抛物线)，=/+bx+c过点A、C

.*-2b+c=0解得：fb=-l

I0+0+c=_6Ic=_6

，抛物线解析式为y=7-x-6

(2),当y=0时，x1-x-6=0,解得：x\--2,X2—3

：.B(3,0),抛物线对称轴为直线

22

:点。在直线》=工上，点A、B关于直线》=」对称

22

.'.XD——,AD—BD

2

当点8、D、C在同一直线上时，CMCO=AC+A£>+C£)=AC+BO+CD=AC+BC最小

设直线BC解析式为)=丘-6

：.3k-6=Q,解得:k=2

直线2C：y=2x-6

.".VD=2XA-6=-5

2

：.D(―,-5)

2

故答案为：(［，-5)

2

(3)过点E作EGJ_x轴于点G,交直线BC与点厂

设E(t,?-r-6)(0<r<3),则F(f,2r-6)

；.EF=2t-6-(P-r-6)=-p+3r

:•SABCE=S&BEF+SACEF=工EF.BG+\EF・OG=工EF(BG+OG)=_1E-O8=2X3(

22222

P+3/)=-3(z-2)2+ZL

228

.•.当f=3时，ABCE面积最大

2

；.yE=(—)2-—-6=--

224

...点E坐标为(旦，-2L)时，ABCE面积最大，最大值为22.

248

(4)存在点M使以点A、C、仞、N为顶点的四边形是菱形.

VA(-2,0),C(0,-6)

•■"AC=V22+62=2V10

①若AC为菱形的边长，如图3,

则MN〃4C且，MN=AC=2A/75

:N(-2,2V7^)，M(-2,-2A/IO)-M(2,0)

②若AC为菱形的对角线，如图4,则AN4〃CM4,AN4=CNA

设N4(-2,n)

■〃="22+(n+6)2

解得：〃=-独

3

：.N4(-2,-—)

3

综上所述，点N坐标为（-2,2/而），（-2,-2万），（2,0）,（-2,工.

3

图1

点评：本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径，一次函数的图象与性质，

一次方程(组)的解法，菱形的性质，勾股定理.第(4)题对菱形顶点存在性的判断,

以确定的边4c进行分类，再画图讨论计算.

3.分析：(1)将A、C三点的坐标代入y=o?+法利用待定系数法即可求出二次函

数的表达式，进而得到其顶点坐标；

(2)连接AB,作于H,交0B于P,止匕时最小.最小值就是线段DH,

2

求出。〃即可.

(3)当以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A为圆心AB为

半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM=AB；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴

有两个交点，此时8M=48；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时

BM.由M点的个数则可得出点N的个数有5个.

(1)•••二次函数＞=0?+云-遍的图象经过点A(-L0)C(2,0),

.fa-b-V3=0

I4a+2b-V3=0

a-

2

解得：

返'

b=-

2

•••二次函数的表达式为y1■X2耳•x-F，

，抛物线的顶点坐标为(!*)；

2

(2)如图，连接AB,作。H_LA2于H,交OB于P,此时』PB+P。最小.

2

理由：'：OA=1,OB=«,

；.tanNA8O=如皿•,

OB3

，NABO=30°,

：.PH=^PB,

2

：.^PB+PD=PH+PD=DH,

2

，此时2PB+PO最短(垂线段最短).

2

在RtZ\A£>H中，VZAHD=90°,AD=^-,ZHAD=60°,

2

.\sin60o=胆，

AD

:.DH=^^,

4

：.lpB+PD的最小值为3返；

24

(3)①以A为圆心A8为半径画弧，因为A8>4。，故此时圆弧与对称轴有两个交点，

且AM=AB,即M点存在两个，所以满足条件的N点有两个；

②以8为圆心AB为半径画弧，因为AB〉/,故此时圆弧与对称轴有两个交点，且

=A2,即M点有两个，所以满足条件的N点有两个；

③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时因为M点有一个，所以

满足条件的N点有一个；

则满足条件的N点共有5个，

故答案为：5.

点评：本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数的解析式，菱形

的判定，锐角三角函数定义，垂线段最短的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法

确定函数解析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会利用数形结合

解决问题.

4.分析：⑴)①将x=0,y=0代入y=a(x-2)2中计算即可；②y=/x2-2x.

(2)将(0,0)代入y=a(x-h)之中，可求得待定系数法求OB、

AB的解析式，由点P的横坐标为根，即可表示出相应线段求解；

(3)以点0、A、D、D'为顶点的四边形是菱形，DD1=。4,可知点。的纵坐标为2,

再由40=04=4即可求出h的值.

解：(1)①将x=0,y=0代入y=a(x-2)2-2得：(0-2)2-2,解得：a

=工

21

②产/x?-您.

(2)•・•抛物线y=“(X-//)2经过原点，0=1;

.".y=—%2,

-2

：.A(4,0),B(2,-2),

易得：直线解析式为：y=-x,直线A8解析式为：y=x-4

如图1>P(m,/1n2-2机)，D(m,ECm,0),F(w,-m),D'(-m,

2

①PO=/m2-(-^m-2,M)=2m,DD'=2m

•PD_2m_।

7

*'DD—五一

②如图1,当0<机<2时，L=OE+EF+OF=m+m+y/2m=(2+&)m,

当2<根<4时，如图2,设交x轴于G,交AB于H,PD交x轴于E,交4B于凡

贝UP(/*,—-Im},DCm,—TT,2),EGn,0),F{m,m-4),D'(,-m,—m2),

222

22

PF=(w-4)-(Am-2m)---m+3w-4,FH=PH^^-PF^

2224m2

-2五，PG=2血2+2行”

■:DD'//EG

里，即：EG・PD=PE・DD',得：EG<2m)=(2w-XM2)«2/M

DD'PD2

：.EG=2m-^m2,EF=4-m(也可以利用等腰直角三角形的性质得出结论)

2

2+12

L=EG+EF+FH+GH=EG+EF+PG=2m-A,„+4-/„+(^2a然)=~^m

222

+(2^/2+1)m+4

(2W^)m(0<m42)

:.L=11^2+(2\/^+])»4(2^m<C4)

(3)如图3,设。尸交x轴于N.

图3

,JOADD1为菱形

：.AD=AO=DD,=4,

:.PN=2,

NA22

=VAD-PD=V42-22=2a

：.h=2+273.

点评：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线

的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法.

5.分析：(1)令)，=0解方程即求得点A、8的坐标；把抛物线解析式配方即得到顶点。的

坐标.

(2)由于抛物线经过180。旋转后开口大小不变(方向相反)，抛物线心顶点为P与。

关于点M中心对称，即A/为中点，则利用中点坐标公式可用，〃表示点01坐标，进

而用顶点式写出抛物线L1的表达式.①当抛物线人经过原点，即把x=0、y=0代入抛

物线L\的表达式得到关于m的方程，解方程即求得m的值.

②利用构造弦图的全等三角形，求出以8。为边，另外两点M、N也在第一象限内的正

方形BDMN中，点、M、N坐标.分类计算当点M或点N为C在抛物线Li上，列得关于

m的方程，解得m的值代入抛物线L\的表达式即可.

解：(1)；y=0时，->1/-"+互=0

22

解得：xi=-5,%2=1

AA(-5,0),B(1,0)

：y=-2？-2x+5=-2(x+2)2+9

2222

：.D(-2,—)

2

(2)•.•将抛物线L绕点M旋转180°得到抛物线Li

.••抛物线L1开口大小与抛物线L相同，开口方向相反，即。=工

2

设抛物线L\顶点为Di,则。।与。(-2,❷)关于点M中心对称

2

：.M(m,0)为DD1中点

.xD+xDVD+VD］八

..------Lt=tn,-------=0

22

：.Di(2m+2,一9)

2

，抛物线Li的顶点式为尸/(x-2m-2)2-£

①：•抛物线L1经过原点

.•」(0-2/n-2)2-旦=0

22

解得：m\=--,m2=—

22

的值为-”或工

22

②存在以8。为边，以8,D,C,E为顶点的正方形.

如图，假设点”、N在第一象限内，且四边形为正方形

过点。作。轴于点P,作QRLy轴，过点M作MRLOR于点R,过点N作NQLx

轴于点Q

：.BP=\-(-2)=3,0P=擀，NDPB=NDRM=NBQN=90。

；四边形BDMN是正方形

：.NMDB=/DBN=90°,DM=DB=BN

：.ZPDB+ZPBD=NPBD+NQBN=9Q°

：.ZPDB=ZQBN

在△P8O与△QVB中

，ZDPB=ZBQN

-ZPDB=ZQBN

BD=NB

.,.△PBDBAQNB(A4S)

：.BQ=PD^^,QN=PB=3

.•.XN=1+9」^,即N』，3）

222

同理可证：4PBD9ARMD

Q

：.DR=PD=—RM=PB=3

2f

：.M（互，工）

22

i）若点C在点M位置且在抛物线Li上，则上（5-2,"-2）2-2=①

2222

解得：,"1=工+捉，m2=--^6

44

.•.尸工（X-276-—）2-9或/=」（X+2V6-—）2-—

222222

〃・）若点C在点N位置且在抛物线Li上，则」（11-2m-2）2-1-3

222

...y=《（X-V15-—）2-旦或y=-l（x+万一¥）2-2

222222

综上所述，此时抛物线L\的表达式为y=l（x-2捉-互）2-9或y=l（x+2遥-

22tit

2-9或产工（x-V15-—）2-9或产工（X+万一孕）2-2

2222222

点评：本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，旋转的性质，中点坐标公

式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质.解题关键是在无图的情况下运用函数图

象和旋转性质解题，抓住抛物线在旋转过程中特殊点(顶点)的变换特点.

6.分析：(1)根据题意求得点4、B、C、E的坐标，进而求得直线/1和直线AC解析式.过

点尸作x轴垂线PG交AC于点H,设点P横坐标为f,即能用f表示尸、，的坐标进而

表示尸〃的长.由5/^。=5/^>"+5«9=工?""6+2出7・。6=工2小04=2?，得到关

222

于f的二次函数，即求得f为何值时△APC面积最大，求得此时点P坐标.把点P向上

平移MN的长，易证四边形PMNP是平行四边形，故有PM=P'N.在直线1\的上方以

EN为斜边作等腰RtANEQ,则有NQ=®EN.所以PM+MN+显EN=PN+MN+NQ,

22

其中MN的长为定值，易得当点P\N、Q在同一直线上时，线段和的值最小.又点N

是动点,NQLEQ,由垂线段最短可知过点P作EQ的垂线段P7?时,PN+NQ=P7?最短.求

直线EQ、P7?解析式，联立方程组即求得点R坐标，进而求得P'R的长.

(2)先求得C,D,F的坐标，可得△CDF是等腰直角三角形，当绕F逆时针旋

转45°再沿直线尸。平移可得△「'C"D",根据以O,C",D",K为顶点的四边形

为菱形，可得。K〃C"D",PDVC"D",OKLPD,0K=2,即可求得K的坐标，当

△CCF绕尸顺时针旋转45°再沿直线尸。平移可得C"ZT,根据以0,C"，

K为顶点的四边形为菱形，可得0KJ_P。，0K=2扬2,即可求得K的坐标.

解：(1)如图1,过点P作PG_Lx轴于点G,交4C于点H,在PG上截取尸产=MN,

连接PW,

以NE为斜边在直线NE上方作等腰Rt/XNEQ,过点P作P,RLEQ于点R

".'x=0时，y=—x2+x-4=-4

2

：.C(0,-4)

,.,y=0时，■^■X2+X-4=0

解得：xi=-4,xi—2

(-4,0),B(2,0)

直线AC解析式为y=-x-4

•：抛物线上的点E的横坐标为3

.,.yE=—X32+3-4=—

22

：.E(3,工)，直线/|：y=Z

22

•.•点M在x轴上，点N在直线/i上，MNLx轴

:.PP=MN=M

2

设抛物线上的点尸(f,—?+?-4)(-4<f<0)

2

：.HCt,-t-4)

：.PH=-r-4-(A/2+r-4)=-A？-2/

22

AS^APC^S^APH+S^CPH^—PH'AG+^PH-OG^—PH-0A^2PH^-i2-4t

222

当―-――-2时，S&&PC最大

-2

.".yp——t1+t-4=2-2-4—-4,yp'-yp+—=^-

222

：.P(-2,-4),P(-2,-』)

2

,:PP'=MN,PP,//MN

四边形PMN尸是平行四边形

：.PM=P'N

•.,等腰RtZSNEQ中，NE为斜边

：.4NEQ=NENQ=45°,NQLEQ

:.NQ=XEN

2

PM+MN+^-EN=P'N+PP'+NQ=—+P'N+NQ

22'

•当点P、N、。在同一直线上时,P'N+NQ=PR最小

/.PM+MN+返硒=1+PR

22

设直线EQ解析式为y=-x+“

-3+a——解得：

22

，直线EQy=-x+券

设直线PR解析式为y^x+b

：.-2+b=-A解得：b=3

22

直线PR：y=x+1-

.y=-x下

・解得：J

3

y=x+7,y=4

：.R(24)

2

("|"+2)2+(4T)2=2^

PM+MN+返EN最小值为

22

(2)'：PD1.AC,P(-2,-4),

直线尸。解析式为：y=x-2,

：.D(0,-2),F(-1,-3),

.,•CD=2,DF=CF=y/2>△(?£>尸是等腰直角三角形，

如图2,把△£）下（？绕顶点尸逆时针旋转45°,得到△OFC,（&-1，-3）,D

（-1,圾-3）

把△〃人?沿直线尸。平移至△£)"F'C",连接。'D",CC"

则直线C'C"解析式为y=x-2-&,直线O'D"解析式为y=》+血-2,显然OC"

》血+1>2=。"D"

...以O,C",D",K为顶点的四边形为菱形，0C"不可能为边，只能以0D"、C"D"

为邻边构成菱形

AOD"=C"D"=0K=2,

■：OK//C"D",PD1.C"D"

：.OKA.PD

(我，-料)，

如图3,把△OFC绕顶点F顺时针旋转45°,得到△Z7FC,.,.C'(-1,-3-\历),

D'(V2-1)-V2-3)

把△£>'■7沿直线PO平移至△»'F'C",连接D",CC",

显然，C"D"//PD,OC"2M+1>C"D",0D"2b+1>C"D",

.•.以0,C"，D",K为顶点的四边形为菱形，C"D"只能为对角线，

Ki(2+A/2,-2-y[0).

综上所述，点K的坐标为：Ki(J5，-J5),K2(2+J5，-2-J5).

点评：本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数最值应用，线段和最小值问题，待

定系数法求函数解析式，平移、旋转等几何变换，等腰直角三角形性质，菱形性质等知

识点，涉及知识面较广，综合性很强，难度较大，是一道关于二次函数的综合题、压轴

题，要求学生能够掌握并运用数学知识分析和解决问题.

7.分析：（1）待定系数法求直线BC解析式，设点P横坐标为处用含，"的代数式表示P。,

再根据PH与PQ的关系得到PH最大时，m的值，将绕点B顺时针旋转120°得

△PM'B,连接MM',过点P作P'R_Lx轴于点R,线段AP'即为例+P历

的最小值.

（2）C、N、B、S为顶点的四边形是矩形可以根据C'B分别作为矩形对角线或边分

类进行讨论：①当C'8为矩形对角线；②当C'8为矩形的边，CB±CN时：③

当C'B为矩形的边，CBLBN时.先求出点N坐标后再根据平移规律求S坐标.

解：（1）在抛物线>>=-上/+笆3x-4中，令x=0,得y=-4,；.C（0,-4）

33

令y=0,得=-:+铉x-4=0,解得：X\=«,X2=W^,(5/3-0)，B(4«,

33

0),

•■•fiC=VoB2-K)C2=8

如图1,过点。作PQJ_x轴于点E交SC于点。则尸。〃y轴,

：.ZPQH=ZBCO

'：PHLBC

：.NPHQ=NBOC=90°

：./\PQH^/\BCO

.PH_BO_W3_Vs

"PQBC"1-V

设直线2C解析式为y=心+6将B（4“，0）,C（0,-4）代入得l/k+bn。，解得

lb=-4

b=-4

二.直线BC解析式为>=零》-%

设p（办,m2+-^返机-4），Q（机，返机-4）,则PQ=J^m2+W3/n

33333

?<0'0<m<4M

.••当，〃=2加时，PQ有最大值，此时P”=^PQ有最大值，，P（2加，2）,

将△PM8绕点3顺时针旋转120°得△〃M'B,连接MA/',过点P'作P'R_Lx轴

于点R,

：tan/PBE=^=—^==返，：.ZPBE^30°

BE2733

：.ZP'BR=180°-120°-30°=30°,P'B=PB=4

则P'（6«,2）,AP'=，AR2+P，R2=M，

AM+4?>BM+PM=AM+MM'+PM^AP'=5/79；

（2）存在.如图2,设N（心旦，〃），

2

,-D（0,-2）,.,MD=^OA2<）D2=V7

•••抛物线y=-工