2024届浙江省金华十校高三上学期11月模拟考试预演数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat20页2024届浙江省金华十校高三上学期11月模拟考试预演数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化简集合，再求集合与集合B的交集【详解】,，即，所以，故选：C.2．（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先用“1”的代换转化，再利用两角差的正切公式的逆用求解.【详解】故选：D【点睛】本题主要考查了两角差的正切公式的逆用及“1”的代换，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】，，，故.故选：D.4．已知函数是定义在上的偶函数，则（

）A．2 B．0 C． D．【答案】D【分析】根据偶函数的定义进行求解即可.【详解】当时，因为是偶函数，所以有，要想上式恒成立，只需，当时，因为是偶函数，所以有，要想上式恒成立，只需，综上所述：，故选：D5．等差数列的公差为2，前n项和为，若p：，，成等比数列，q：的首项为0，则（

）A．p是q的充要条件 B．p是q的既不充分也不必要条件C．p是q的充分不必要条件 D．p是q的必要不充分条件【答案】A【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】时，，，，，依次为，是等比数列，是的必要条件，若，，成等比数列，则，，解得或，时，，，，不成等比数列，舍去．所以，因此是的充分条件，综上，是的充要条件，故选：A．6．已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为A，直线与椭圆E的另一个交点为B，若，则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直线的方程，与椭圆方程联立，求得点B的坐标，再根据求解.【详解】解：由题意得，则直线的方程为，联立，消去y得，则，所以，因为，所以，因为，化简得，即，所以，所以.故选：B.7．已知圆的半径为，，，，为圆上四点，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】借助单位圆建立直角坐标系，用向量数量积的坐标运算求最大值.【详解】知圆的半径为，，，，为圆上四点，且，，为O为原点，OA为x轴建立如图所示的直角坐标系：则，，设，则有，，，，，化简得，由，当时，有最大值6.故选：C【点睛】数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等，解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.8．如图，已知多面体的底面与顶面平行且均为矩形.若，，则该多面体的体积为（

）A． B．37 C． D．47【答案】C【分析】根据组合体的体积公式计算即可.【详解】如图所示，设在底面的投影分别为，延长分别交底面矩形于两点，延长交于两点，由条件易得，所以几何体的高为，该几何体的体积可分割为两个几何体的体积加两个几何体的体积再加长方体的体积.易得，同理，，故该几何体体积为：.故选：C二、多选题9．已知，则实数，满足（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】对于A，根据对数函数的性质分析判断，对于C，由已知可得，从而可得，对于D，利用基本不等式判断，对于B，由，得分析判断.【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，所以，所以A正确；对于C，由，得，所以，所以C错误；对于D，因为，所以，得，所以D正确；对于B，因为，所以，所以B错误.故选：AD10．已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．的最小值为C．在上单调递增D．在上单调递减【答案】AD【分析】化简函数为，再结合函数图像对各个选项逐一分析判断即可得到结果.【详解】因为，其图像如图所示，由图像知，函数的最小正周期为，故选项A正确；函数的最小值为，故选项B错误；函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，故选项C错误；函数在区间上单调递减，故选项D正确.故选：AD.11．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为（为锐角）的直线交抛物线于两点（其中点A在第一象限）.如图，把平面沿轴折起，使平面平面，则以下选项正确的为（

）

A．折叠前的面积的最大值为B．折叠前平分C．折叠后三棱锥体积为定值D．折叠后异面直线所成角随的增大而增大【答案】BCD【分析】对于A：利用弦长公式结合点到直线的距离运算求解；对于B：利用韦达定理证明，即可得结果；对于C：根据面面垂直的性质结合锥体的体积公式运算求解；对于D：根据题意利用结合空间向量可得，再根据复合函数单调性分析判断.【详解】由题意可得：抛物线的焦点为，准线，则，设直线，联立方程，消去x得，可得，则，对于选项A：因为，点到直线的距离，可得折叠前的面积，所以当时，折叠前的面积的最小值为，故A错误；对于选项B：因为，即折叠前直线关于x轴对称，所以折叠前平分，故B正确；对于选项C：因为平面平面，则可知点A到平面的距离即为点A到x轴的距离，的面积，所以折叠后三棱锥体积（定值），故C正确；对于选项D：由抛物线的性质可知：，可得，，根据题中所给的空间直角坐标系，可得，则，可得，所以，即折叠后异面直线所成角的余弦值为，因为在上单调递增，则在上单调递减，且在定义域内单调递增，则在上单调递减，所以折叠后异面直线所成角随的增大而增大，故D增大；故选：BCD.【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解；（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)．12．已知函数满足为偶函数且，其中是的导函数，则（

）A．的一个周期为B．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称对称【答案】BD【分析】根据偶函数的性质，结合函数的对称性、复合函数的导数法则逐一判断即可.【详解】因为是偶函数，所以有，因此函数的图象关于直线对称，因此选项C不正确，不能判断函数的周期性，因此选项A不正确；由，所以的图象关于点对称，因此选项B正确；因为的图象关于点对称，所以，于是有即，所以的图象关于点对称，因此选项D正确，故选：BD【点睛】关键点睛：本题的关键是对进行求导，进而判断的对称性.三、填空题13．已知，，若，则．【答案】【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】因为，，所以，解得.故答案为：14．已知圆的直径，点满足.记点的轨迹为，设与交于两点，则.【答案】【分析】首先建立坐标系，分别求圆和圆的方程，两圆相减后求直线的方程，再根据弦长公式求解弦长.【详解】以线段的中点为原点，以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，

则圆的方程为，，，设，由题意可知，，整理为，，则圆的方程为；两圆相减得直线的方程为，圆心到直线的距离，所以线段.故答案为：15．从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合，则在的条件下，恰有1个元素的概率为.【答案】【分析】按照要求分类讨论并结合组合数公式、条件概率公式计算即可.【详解】由题意若恰有1个元素，则分以下四种情形进行讨论：情形一：若中有一个元素，则中至少有三个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有1个元素的有种；情形二：若中有两个元素，则中至少有两个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有1个元素的有种；情形三：若中有三个元素，则中至少有一个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有1个元素的有种；情形四：若中有四个元素，则中至少有一个元素，且注意到集合不同，此时满足的情况有种，而满足恰有1个元素的有种；故由条件概率公式可得：恰有1个元素的概率为.故答案为：.四、双空题16．已知函数恰有两个零点，和一个极大值点，且，，成等比数列，则；若的解集为，则的极大值为．【答案】44【分析】根据已知，结合三次函数的图象特征可得是的极小值点，借助导数及函数零点可得的关系即可求出；由不等式的解集求出，再验证即可求出极大值作答.【详解】因三次函数有一个极大值点，则该函数必有一个极小值点，且极小值点大于，又恰有两个零点，，且，因此也是的极小值点，求导得：，即，是方程的二根，有，即，显然，则，整理得，两边平方得：，因成等比数列，即，于是得，即，而，有，所以；显然有，，，因的解集为，则5是方程的根，即有，整理得：，解得或，当时，，，不等式，解得，符合题意，函数的极大值为，当时，，，不等式，解得，不符合题意，舍去，所以函数的极大值为.故答案为：4；4【点睛】方法点睛：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．五、解答题17．我国航空事业的发展，离不开航天器上精密的零件．某车间使用数控机床制造一种圆形齿轮零件．由于零件的高精度要求，该车间负责人需要每隔一个生产周期对所生产零件的直径进行统计，排查机床可能存在的问题并及时调试维修．已知该负责人在两个相邻生产周期（分别记为周期Ⅰ和周期Ⅱ）中分别随机检查了枚零件，测量得到的直径（单位：）如下表所示：周期Ⅰ4.95.15.05.05.15.04.95.25.04.8周期Ⅱ4.85.25.05.04.84.85.25.15.05.1周期Ⅰ和周期Ⅱ中所生产零件直径的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．(1)求，，，；(2)判断机床在周期Ⅱ是否出现了比周期Ⅰ更严重的问题（如果，则认为机床在周期Ⅱ出现了比周期Ⅰ更严重的问题，否则不认为出现了更严重的问题）．【答案】(1)5.0；5.0；0.012；0.022(2)无法推测机床在周期Ⅱ出现了比周期Ⅰ更严重的问题．【分析】(1)根据平均数，方差公式即可求解.(2)根据题中公式，进行求值比较，即可求解.【详解】（1）由表可知（2）由（1）可知，因此在的显著性水平下，无法推测机床在周期Ⅱ出现了比周期Ⅰ更严重的问题．18．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为．(1)求；(2)点D在边AB上，，，求a．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用面积公式得到方程，求出，利用同角三角函数关系求出；（2）利用求出，利用正弦定理求出，由余弦定理求出a【详解】（1）由三角形面积公式及已知可得，即．由余弦定理可得：，又，所以．故；（2）由可知，．由可得：，所以，．又，所以，．所以在△ACD中，由正弦定理可得．在△BCD中，由余弦定理可得19．在四棱锥中，底面是矩形平面，，，且二面角的大小为．(1)求四棱锥的体积；(2)设为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)．【分析】(1)先根据空间位置关系，证明PF为锥体的高，再根据锥体体积公式，即可求解.(2)找出线面角的平面角，即可求出正弦值.【详解】（1）设与交于点，连接；在平面中作于．因为平面，平面，所以．同理，．因为平面，平面，平面平面，所以就是二面角的平面角，从而．因为底面是矩形，，所以矩形是正方形．所以，．又因为，所以是等边三角形，故．因为，，，所以平面，即是四棱锥的高．故四棱锥的体积．（2）设．因为，，所以是的重心，故．因为平面，所以即为直线与平面所成角．于是，因此，直线与平面所成角的正弦值为．20．已知函数有两个零点.(1)求的取值范围；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用导数研究函数的单调性及极值计算即可；（2）构造函数判定其单调性与最值，利用，构造变形得出及得出，作差即可证明不等式.【详解】（1）由题意可得：，令，令，即在上单调递减，在上单调递增，则，当时，，当时，，故要符合题意需；（2）不妨设，由（1）知，设，即在上单调递增，又，所以时，，则，故①，又时，，则，同理有，即②，②式①式得，即证.21．已知数列的各项均为非负实数，且对任意正整数，均有.(1)若成等差数列，证明：存在无穷多个正整数，使得；(2)若，求的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由递推公式推出，再根据条件判定即可；（2）结合（1）的结论，化简各项之间的关系再利用对勾函数求最值即可.【详解】（1）由，则，故中序号相差6的项形成的子数列是以6为公差的等差数列，又成等差数列，故，所以，又，当时，，当时，，所以对于，当或时，等号恒成立，证毕；（2）由上可知，所以，又，所以，又因为数列的各项均为非负实数，所以，即，由对勾函数得单调性可知当时，，此时.【点睛】关键点睛：本题关键在于第一问找出数列的性质，利用等差数列的通项公式即可证明结论；第二问则找出对应项之间的关系利用对勾函数的性质求最值即可.22．在直角坐标系中，是双曲线的两条渐近线上的动点，满足点A在第一象限，点在第四象限，且直线与的右支有交点.(1)求的最小值；(2)设是直线与的一个交点且.记上的点到的焦点的距离的取值集合为S，若，求面积的取值范围.【答案】(1)2(2)【分析】（1）设直线方程及点坐标，分别联立双曲线方程及渐近线方程得，消元结合函数单调性即可求最值；（2）先由双曲线的性质得，再由向量关系得出三点横纵坐标关系式，结合渐近线方程及双曲线方程消元转化得，后根据韦达定理将三角形面积化为，由对勾函数求范围即