2024届一轮复习命题方向精讲系列：35 离心率的多种妙解方式（十四大经典题型）（原卷附答案）

第第页获取更多资料，关注微信公众号：Hi数学派考向35离心率的多种妙解方式经典题型一：建立关于和的一次或二次方程与不等式经典题型二：圆锥曲线的定义经典题型三：利用正弦定理经典题型四：利用余弦定理经典题型五：内切圆问题经典题型六：椭圆与双曲线共焦点经典题型七：利用最大顶角经典题型八：基本不等式经典题型九：已知范围经典题型十：经典题型十一：中点弦经典题型十二：坐标法经典题型十三：四心问题经典题型十四：利用双曲线渐近线的斜率求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．二、函数法：1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2、通过确定函数的定义域；3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．三、坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．经典题型一：建立关于和的一次或二次方程与不等式1．（2022·甘肃·瓜州一中高三期中（文））若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（

）A．或 B． C． D．或2．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）椭圆：的左、右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于A，两点，若的周长为16，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．4．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）设双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且，若的面积为4，则双曲线C的离心率为（

）A． B．2 C．3 D．5．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知双曲线的右焦点为，为右支上一点，与轴切于点，与轴交于两点，若为直角三角形，则的离心率为（

）A． B． C． D．经典题型二：圆锥曲线的定义6．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．7．（2022·浙江·高三开学考试）已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（

）A． B． C． D．8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（

）A． B． C． D．9．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线交双曲线右支于不同的两点、.若为正三角形，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．经典题型三：利用正弦定理10．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．11．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（

）A． B．C． D．12．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．经典题型四：利用余弦定理13．（2022·全国·高三专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．14．（2022·河北廊坊·高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为________.15．（2022·全国·高三专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．经典题型五：内切圆问题16．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交于，两点（点在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率______．17．（2022·全国·高三专题练习）已知点，分别是双曲线：的左、右焦点，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为________．18．（2022·全国·高三专题练习）已知，是双曲线的左､右焦点，P为曲线上一点，，的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该双曲线的离心率为e，则___________.19．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线分别为其左､右焦点，若点P在双曲线的右支上，且的内切圆圆心的横坐标为1，则该双曲线的离心率为___________.20．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线，的左右焦点记为，，直线l过且与该双曲线的一条渐近线平行，记l与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为______．21．（2022·全国·高三专题练习）已知点F为双曲线的左焦点，A为直线在第一象限内的点，过原点O作的垂线交于点B，且B恰为线段的中点，若的内切圆半径为，则该双曲线的离心率大小为_________．经典题型六：椭圆与双曲线共焦点22．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（

）A．， B．， C．， D．，23．（2022·江苏·常熟中学高二阶段练习）对于以，为公共焦点的椭圆和双曲线，设是它们的一个公共点，，分别为它们的离心率.若，则的最大值为（

）A． B． C． D．24．（2022·重庆一中高二期中（文））已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最小值是______.25．（2022·内蒙古·霍林郭勒市第一中学高二阶段练习（文））已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，是它们的一个公共点，且．若，则_______26．（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆、双曲线的离心率分别为，则的最小值是__________．27．（2022·黑龙江·宾县第一中学高二阶段练习）已知椭圆和双曲线有相同焦点，且它们的离心率分别为，设点是与的一个公共点，若，则的最小值为______.经典题型七：利用最大顶角28．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．29．（2022·全国·高二专题练习）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．30．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是(

)A． B． C． D．经典题型八：基本不等式31．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．32．（2022·江苏南京·高三阶段练习）设、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆准线上一点，的最大值为60°，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．33．（2022·山西运城·高三期末（理））已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.经典题型九：已知范围34．（2022·四川省南充市白塔中学高三开学考试（理））已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为上顶点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．35．（2022·全国·高二专题练习）已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．36．（2022·全国·高三开学考试（理））设，分别是椭圆的左､右焦点，若椭圆E上存在点P满足，则椭圆E离心率的取值范围（

）A． B． C． D．经典题型十：37．（2022·江苏·海安县实验中学高二阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．38．（2022·浙江湖州·高二期中）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是（

）A． B． C． D．39．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．经典题型十一：中点弦40．（2022·全国·高三专题练习）椭圆方程为椭圆内有一点，以这一点为中点的弦所在的直线方程为，则椭圆的离心率为______．41．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆：上存在两点，关于直线对称，且线段中点的横坐标为2，则椭圆的离心率是______．42．（2022·全国·高三专题练习）过点作斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，若M是线段的中点，则双曲线的离心率为___________.43．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，为上两点，点为弦的中点，且，记双曲线的离心率为，则______．44．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是___________.经典题型十二：坐标法45．（2022·全国·高三开学考试）椭圆的上顶点为A，左焦点为F，AF延长线与椭圆交于点B，若，，则椭圆离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．46．（2022·全国·模拟预测（理））已知O为坐标原点，焦点在x轴上的曲线C：的离心率满足，A，B是x轴与曲线C的交点，P是曲线C上异于A，B的一点，延长PO交曲线C于另一点Q，则的取值范围是（

）A． B． C． D．47．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）青铜器是指以青铜为基本原料加工而成的器皿､用器等，青铜是红铜与其它化学元素（锡､锦､铅､磷等）的合金.其铜锈呈青绿色，故名青铜.青铜器以其独特的器形，精美的纹饰，典雅的铭文向人们揭示了我国古代杰出的铸造工艺和文化水平.图中所示为觚，饮酒器，长身，侈口，口底均成喇叭状，外形近似双曲线的一部分绕虚轴所在直线旋转而成的曲面.已知，该曲面高15寸，上口直径为10寸，下口直径为7.5寸.最小横截面直径为6寸，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．48．（2022·江西·临川一中高三阶段练习（理））已知是双曲线的两条渐近线，直线l经过T的右焦点F，且，l交T于点M，交于点Q，若，则双曲线T的离心率e的取值范围为（

）A． B． C． D．经典题型十三：四心问题49．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1的重心为G，则椭圆C的离心率为________．50．（2022·全国·高三专题练习）已知斜率为1的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若椭圆上存在点，使得的重心恰好是坐标原点，则椭圆的离心率______.51．（2022·全国·高三开学考试（文））瑞士著名数学家欧拉在年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线与轴与双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心、重心、垂心所成集合，若的斜率为，则该双曲线的离心率可是以是①，②，③，④，⑤.以上结论正确的是_______.52．（2022·全国·高三专题练习）已知点分别为双曲线的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点恰好为的外心，若，则C的离心率为__________.53．（2022·山东·济南市历城第二中学高三开学考试）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是△的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是________．54．（2022·全国·高三专题练习）平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为_______________经典题型十四：利用双曲线渐近线的斜率55．（2022·全国·高三专题练习）设是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为，，过作直线的垂线，分别交，于、两点．若，，成等差数列，且向量与同向，则双曲线离心率的大小为_____________．56．（2022·上海·华师大二附中高三阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率为___________.57．（2022·山东青岛·高三开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.58．（2022·江西南昌·高三阶段练习）如图，分别是双曲线的右顶点和右焦点，过作双曲线的同一条渐近线的垂线，垂足分别为为坐标原点，若，则的离心率为____．59．（2022·四川广安·模拟预测（文））过双曲线（）的右焦点且与x轴垂直的直线与渐近线交于第一象限的一点P，为左焦点，直线的倾斜角为，则双曲线的离心率e为_______.1．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．2．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．33．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．4．（2021·全国·高考真题（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2021·全国·高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．6．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．7．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．8．（2022·全国·高考真题（文））记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．9．（2021·全国·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.10．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.经典题型一：建立关于和的一次或二次方程与不等式1．【答案】A【解析】是2和8的等比中项，或，当时，方程为，表示椭圆，，离心率为，当时，方程为，表示双曲线，，离心率为，故选：A2．【答案】C【解析】依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分，∴四边形是矩形，其中，，设，则，根据勾股定理，，，整理得，由于点M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得.故选：C．3．【答案】A【解析】由题可知，即，所以椭圆的离心率.故选：A.4．【答案】D【解析】由题意，双曲线，可知，设，可得，又因为，若的面积为，所以，且，联立方程组，可得，所以双曲线的离心率为.故选：D.5．【答案】B【解析】不妨设点在轴的上方，因为轴，将点的横坐标代入，得.由题意可知，且，则有，即，则，即，则.故选:B.经典题型二：圆锥曲线的定义6．【答案】C【解析】如图，设，则．又，所以，所以．又，所以，由，得，则，而，则，化简得，所以．7．【答案】D【解析】由已知，可根据条件做出下图：因为，令，所以，，由椭圆的定义可知，所以，所以，，，，由椭圆的定义可知，在中，，所以,在中，，所以所以.所以的离心率是.故选：D.8．【答案】C【解析】由题意得：，则，由椭圆定义可知：，所以，即，所以，又，所以，即故E的离心率为.故选：C.9．【答案】B【解析】不妨设点、，则、，所以，，同理可得，由题意可得，即，所以，，因此，双曲线关于轴对称，故点、关于轴对称，将代入双曲线方程可得，解得，则，由双曲线的定义可得因为为等边三角形，则，即，则，因此，该双曲线的离心率为.故选：B.经典题型三：利用正弦定理10．【答案】B【解析】由题意及正弦定理得：，令，则，，可得，所以椭圆的离心率为：.故选：B11．【答案】C【解析】在中，由正弦定理可得所以，所以该椭圆的离心率，故选：C．12．【答案】【解析】由已知，得，由正弦定理，得，所以．由椭圆的几何性质，知，所以且，所以且，即且，结合，可解得．故答案为：.经典题型四：利用余弦定理13．【答案】D【解析】因为，由椭圆定义知，又，所以，再由椭圆定义，因为，所以，所以由余弦定理可得，即，化简可得，即，解得或（舍去）.故选：D14．【答案】【解析】设关于平分线的对称点为Q，则三点共线，设，则，又，所以在中，由余弦定理有：，即由椭圆定义可知，可得所以在中，由余弦定理可得：，即，所以，所以.故答案为：15．【答案】D【解析】因为，由椭圆定义知，又，所以，再由椭圆定义，因为，所以，所以由余弦定理可得，即，化简可得，即，解得或（舍去）.故选：D经典题型五：内切圆问题16．【答案】【解析】如图所示，由椭圆定义可得，，设的面积为，的面积为，因为，所以，，即，设直线，则联立椭圆方程与直线，可得，所以，，令，则，当时，有.故答案为：17．【答案】【解析】设的内切圆与，的切点分别为，，由切线长定理可知，，，又，所以由双曲线的定义可知，所以，又，所以双曲线的离心率为．故答案为：18．【答案】【解析】由题意，设，因为，故，即，根据双曲线的定义有，故.所以的面积为.又，故.故内切圆半径满足，解得.又的外接圆半径满足，故，由题意，即，所以，故，故，解得故答案为：19．【答案】3【解析】设的内心为I，过I作轴于H.由三角形内切圆的性质知：①.又②，③，由①②③得：.∴，故离心率.故答案为：320．【答案】【解析】由题意可知，，设双曲线一条渐近线方程，则直线的方程，联立方程组，消去可得，解得，，点的坐标为，设，，由三角形的面积可得，化简可得①，又②，由①②解得，设直线的倾斜角为，过点作轴，垂足为，则，，在，，，整理可得，即，解得，（舍去）．故答案为：．21．【答案】【解析】如图所示，设，由题意知，点在渐近线上，点在直线上，可得，因为为线段的中点，且，所以，解得，所以，则，因为的内切圆半径为，所以，即，化简得，即，所以离心率为.故答案为：.经典题型六：椭圆与双曲线共焦点22．【答案】A【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，．设，．．则，，∴，．因为，所以，即．∴，∴，∴，则，当且仅当，时取等号．故选：A．23．【答案】D【解析】设椭圆方程是1，双曲线方程是1，由定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，在△F1PF2中由余弦定理可得，（2c）2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2+2（a1+a2）（a1﹣a2）cos60°，即4c2＝a12+3a22，∴4，由柯西不等式得（1）（）≥（1）2＝（）2，即（）24，即，当且仅当e1，e2时取等号．故选D．24．【答案】【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为，，设两曲线的焦距为，设，，则，，所以，，，化为，，，，当且仅当时，取等号，则的最小值是.故答案为：.25．【答案】【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：，解得，，设，．则：在△中由余弦定理得，，化简得：，该式可变成：．．又，解得，所以．故答案为：26．【答案】【解析】设椭圆方程是,双曲线方程是,由定义可得,在中由余弦定理可得,即.当且仅当时等号成立.故答案为.27．【答案】【解析】设椭圆方程是,双曲线方程是由椭圆和双曲线定义可得:即可求得:在中由余弦定理可得:即利用柯西不等式即即可得,故,当且仅当取等号.的最小值为故答案为:.经典题型七：利用最大顶角28．【答案】A【解析】如图：当P在上顶点时，最大，此时，则，所以，即，，所以，则，所以椭圆的离心率的取值范围是，故选：A29．【答案】B【解析】当椭圆的焦点在轴上时，由椭圆的对称性得,所以，所以，所以椭圆的离心率，因为椭圆的离心率.当椭圆的焦点在轴上时，同理可得.综合得.故选：B30．【答案】C【解析】连接，当不为椭圆的上、下顶点时，设直线、分别与圆切于点A、B，，∵存在、使得，∴，即，又，∴，连接，则，∴．又是上任意一点，则，又，∴，则由，得，又，∴．故选：C．经典题型八：基本不等式31．【答案】B【解析】如图所示：设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，即，所以四边形为矩形，，设，，在直角中，，，得，所以，令，得，又，得，所以，所以，即，所以所以椭圆的离心率的取值范围为，故选：B32．【答案】A【解析】由题意可设直线，的倾斜角分别为，，由椭圆的对称性不妨设为第一象限的点，即，则，，因为，所以，所以，则，解得，故选：A.33．【答案】【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设，，∴当且仅当取等号，∵直线l上存在点P满足∴即，∴，即，所以，故椭圆离心率的最大值为.故答案为：.经典题型九：已知范围34．【答案】D【解析】易知点、、、，则线段的方程为，在线段上取一点，满足，则，，，所以，，整理可得，由题意可知，关于的方程在时有两个不等的实根，则，可得，可得，所以，.故选：D.35．【答案】B【解析】设点，，因为，所以，即，结合可得，所以.故选：B.36．【答案】B【解析】设，由椭圆的方程可得，，，则，即，由P在椭圆上可得，所以，所以可得，所以，由，所以，整理可得：，，可得：.故选：B经典题型十：37．【答案】C【解析】在中，由正弦定理可得,又由，即，即,设点，可得，则，解得，由椭圆的几何性质可得，即，整理得，解得或，又由，所以椭圆的离心率的取值范围是.故选：C.38．【答案】A【解析】令，则根据椭圆的焦半径公式可得，所以根据题意可得，整理可得，所以，因为P在椭圆上，所以，即，因为，所以，即，解得，而椭圆离心率范围为，故.故选：A39．【答案】D【解析】由椭圆的定义得，又∵，∴，，而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，即，即，则，即.故选：D．经典题型十一：中点弦40．【答案】【解析】设直线与椭圆交于，则.因为AB中点,则.又，相减得：.所以所以所以，所以，即离心率.故答案为：.41．【答案】【解析】由题意可知直线AB的斜率为1．设，，∵线段AB中点的横坐标为2，∴，解得，则，．又，，两式相减可得，即.于是，解得，∴椭圆C的离心率．故答案为：42．【答案】【解析】设，，，，则①，②，是线段的中点，，，直线的方程是，，过点作斜率为的直线与双曲线相交于，两点，是线段的中点，①②两式相减可得，即，．故答案为：．43．【答案】【解析】解法一

由题意知，，则．设，，则两式相减，得．因为的中点为，所以，，又，所以，整理得，所以，得，得．解法二

由题意知，，则．设直线的方程为，即，代入双曲线方程，得．设，，结合为的中点，得．又，所以，整理得，所以，得，得．故答案为：44．【答案】【解析】设，，，在椭圆上，所以，，两式相减，得，又为线段的中点，所以，即，即，所以.故答案为：经典题型十二：坐标法45．【答案】B【解析】，，则AF：，，满足,消去得，，是它的一个解，另一解为，因为，所以，所以，故，所以，所以．故选：B．46．【答案】A【解析】由解得，所以曲线C是椭圆．因椭圆C的焦点在x轴上，则．因为，所以，不妨设，，，，由题意知，则，即，．故选：A．47．【答案】B【解析】依题意，该酒杯可近似看成双曲线模型，建立直角坐标系，并作出双曲线如下：设均和轴垂直.则，，设双曲线的方程为：，根据双曲线经过，可知，设的纵坐标分别为，结合图像可知，由可得：，，解得，根据可知，，解得，于是.故选：B48．【答案】B【解析】不妨设的方程为，设的方程为，，因为，所以直线l的方程为：，由，即，由，即，因为，所以由，故选：B经典题型十三：四心问题49．【答案】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得＋＝0.(*)因为△ABF1的重心为G，所以故代入(*)式得，所以＝＝，即a2＝3b2，所以椭圆C的离心率e＝.故答案为：50．【答案】【解析】设，，坐标分别为，因为的重心恰好是坐标原点，则，则，代入椭圆方程可得，其中，所以……①因为直线的斜率为，且过左焦点，则的方程为：，联立方程消去可得：，所以，……②所以……③，将②③代入①得，从而.故答案为：51．【答案】①③⑤【解析】设直线的方程为，令，可得，设直线与轴的交点，双曲线的渐近线方程为，与直线联立，可得，.由三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，当、、依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为，；当、、依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为化为不成立；当、、依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为，；当、、依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为不成立；当、、依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为，；当、、依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为化为不成立.故选：①③⑤.52．【答案】【解析】取的中点为C，连接BC、、，如图所示：因为，所以，又C为的中点，所以为等腰三角形且，因为点恰好为的外心，所以点在直线BC上，且，由双曲线的定义知，则，所以为等边三角形，则，在中，即，化简得，同时除以可得，解得或(舍去).故答案为：53．【答案】【解析】设的内切圆的半径为，由双曲线的定义可得，则，