2024届一轮复习命题方向精讲系列：22 解三角形（原卷附答案）

第第⑤在中，内角成等差数列．3．实际应用（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．1．（2022·青海·模拟预测（理））在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积为时，k的最大值是（

）A．2 B． C．4 D．2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，若，则△ABC的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，则的最小值为______．4．（2022·上海·位育中学模拟预测）如图所示，在一条海防警戒线上的点处各有一个水声监测点，两点到点的距离分别为20千米和50千米．某时刻，收到发自静止目标的一个声波信号，8秒后同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是千米/秒．（1）设到的距离为千米，用表示到的距离，并求的值；（2）求静止目标到海防警戒线的距离．（结果精确到千米）．5．（2022·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．（1）求角B；（2）若，，D为AC边的中点，求的面积．6．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角A的大小；（2）若，，求的面积．7．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角对应的边分别为，，向量与向量互相垂直．（1）求的面积；（2）若，求的值．1．（2022·全国·高三专题练习）已知在中，，则等于（

）A． B． C．或 D．2．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））中，若，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则CD的长（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（

）A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形4．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．40海里5．（多选题）（2022·福建·福州三中高三阶段练习）中，角的对边分别为，且，以下四个命题中正确的是（

）A．满足条件的不可能是直角三角形B．面积的最大值为C．是中点，的最大值为3D．当时，的面积为6．（多选题）（2022·广东·华南师大附中三模）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面圆直径为，A，B，C为底面圆周上的三个不同的动点，M为母线PC上一点，则下列说法正确的是（

）A．当A，B为底面圆直径的两个端点时，B．△PAB面积的最大值为C．当△PAB面积最大值时，三棱锥C-PAB的体积最大值为D．当AB为直径且C为弧AB的中点时，的最小值为7．（多选题）（2022·河北·沧县中学模拟预测）在中，三边长分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在中，为其外心，，若，则________．9．（2022·河北·高三期中）已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若的周长为15，，则的面积为___________________．10．（2022·全国·高三专题练习（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最大值为______．11．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：①测量、、；②测量、、；③测量、、；④测量、、．其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD中，已知BC＝2，.(1)若，求BD的长；(2)若，且AB＝4，求AC的长.13．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积．(1)求角B的大小；(2)若，求．14．（2022·上海浦东新·二模）已知函数(1)若函数为偶函数，求实数的值；(2)当时，在中（所对的边分别为、、），若，且的面积为，求的值．15．（2022·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．16．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角A；(2)若，求面积的最大值．17．（2022·上海金山·二模）在中，角、、所对的边分别为、、.已知，且为锐角.(1)求角的大小；(2)若，证明：是直角三角形.18．（2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求B；(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．19．（2022·上海黄浦·二模）某公园要建造如图所示的绿地，、为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏与的总长度为米，且．设（）．(1)当，时，求的长；（结果精确到米）(2)当时，求面积的最大值及此时的值．20．（2022·上海虹口·二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.(1)若，，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；(2)若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？1．（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距2．（2021·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（

）A．1 B． C． D．33．（2021·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.4．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．5．（2022·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．6．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________7．（2021·全国·高考真题（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．8．（2022·全国·高考真题（理））记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．9．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．10．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．11．（2022·北京·高考真题）在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．12．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．13．（2022·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：14．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.(1)若∠ADE，求EF的长；(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）15．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．16．（2021·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．17．（2021·北京·高考真题）在中，，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①：；条件②：的周长为；条件③：的面积为；18．（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.1．【答案】B【解析】由题意得，所以，又因为，所以，所以，其中，且，所以的取值范围为，故选：B．2．【答案】C【解析】△ABC中，，则又，则由，可得，代入则有，则，则又，则△ABC的形状是等边三角形故选：C3．【答案】【解析】，则原等式为，由正弦定理得，，当且仅当时取等号．故答案为：．4．【解析】（1）根据题意可得：（千米），（千米），（千米），（千米），∵，则即，解得（2）在△中，，则设到的距离为（千米），则∴静止目标到海防警戒线的距离为千米5．【解析】（1）由，有，两边同乘得，故，即．因为，所以A为锐角，，所以．又因为，所以．（2）在中，由余弦定理，即，故，解得或舍）．故．6．【解析】（1）因为，由正弦定理得，又，所以．因为，所以，所以，所以．（2）由余弦定理，得，即，因为，所以，所以7．【解析】（1）因为，解得，因为，所以，．有因为，所以，所以的面积．（2），所以．1．【答案】C【解析】由正弦定理,得，因为，故或，故选：C2．【答案】A【解析】在△ABC中，由余弦定理得：设，，因为，所以，即，因为A、B、D三点共线，所以，解得：，所以，即因为AB=5，所以AD=3，BD=2在三角形ACD中，由余弦定理得：，因为，所以.故选：A3．【答案】A【解析】由，得，所以由余弦定理得，因为，所以，因为，所以由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，所以,所以为等腰直角三角形，故选：A4．【答案】A【解析】由题意可知，所以，在中，由正弦定理得，得，在中，因为，所以，在中，由余弦定理得，故选：A5．（多选题）【答案】BD【解析】以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，由，得，即，，化简得：，即点在以为圆心，以为半径的圆上（除去两点）.如图所示：对于：以为圆心，为半径作圆，记该圆与圆的交点为，则为直角三角形，错误；对于：由图得面积的最大值为正确；对于是中点，的值为在上的投影与的积，又点在以为圆心，以为半径的圆上（除去两点），故，错误；对于D：若，则，，正确.故选：BD6．（多选题）【答案】ACD【解析】对于A，记圆锥底面圆心为O，，所以，所以，故A正确；对于B，设，则截面三角形的面积，故B不正确；对于C，由选项B中推理可知，此时，所以点C到AB的距离的最大值为，从而可知三棱锥C-PAB的体积最大值为，故C选项正确；对于D，由题意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC中，，，所以，进而，记PC边上的高为h（垂足为Q），则，所以，当M与Q重合时取等号，故D选项正确；故选：ACD．7．（多选题）【答案】ABC【解析】对于A，，即，也就是，另一方面，在中，，则成立，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，边长为的三角形，满足，但，故D错误．故选：ABC．8．【答案】【解析】设外接圆的半径是，．设，则在等腰中，．所以．故答案为：.9．【答案】【解析】解：可令将上式相加：由此可解的：由正弦定理：又因为：解得：a=3，b=5，c=7.所以代入海伦公式解得：S=故答案为：10．【答案】【解析】∵，∴，∴，当且仅当时等号成立，又，所以，∴.故答案为：．11．【答案】②③【解析】对于①，由正弦定理可得，则，若且为锐角，则，此时有两解，则也有两解，此时也有两解；对于②，若已知、，则确定，由正弦定理可知唯一确定；对于③，若已知、、，由余弦定理可得，则唯一确定；对于④，若已知、、，则不确定.故答案为：②③.12．【解析】(1)∵，∴.又∵，所以，∴在中，由正弦定理，可得，即BD的长为.(2)，∴.∵在中，BC＝2，AB＝4，∴，可得，解得.∴AC的长为.13．【解析】(1)因为，所以，.又因为，所以.(2)因为，所以，即，所以，.因为，，所以，即..14．【解析】(1)任取

因为函数为偶函数.所以

（法二：特值法，再验证）由函数为偶函数知，（可取不同特殊值）得，t=0

又当时，，函数为偶函数，

（法三：观察法，需举反例），时，函数为偶函数，

任选，则有

当时，举反例，如，

此时为非奇非偶函数，所以，函数为偶函数时；(2)当时,，

由则有

由题意，

在中，，则．15．【解析】(1)因为，即，而，所以；(2)由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．16．【解析】(1)由，可得，得，则，由于，所以．(2)由，可得，又，则，则，（当且仅当时等号成立）则，（当且仅当时等号成立）则，即面积的最大值为．17．【解析】(1)由正弦定理可知，，又在中，，即，为锐角，.(2)所以由正弦定理得：，又，即，，故可得，即为直角三角形.18．【解析】(1)在中，由正弦定理及得：，整理得：，由余弦定理得：，而，解得，所以.(2)由（1）知，即，因为锐角三角形，即，解得，由正弦定理得：，则，当时，，，而，即，因此，，则，所以周长的取值范围是.19．【解析】(1)在中，，，，由余弦定理，得，故．因此的长约为米．(2)连接．由题意，，，在△中，由正弦定理，得．于是，．当，即时，取到最大值，最大值为．因此，当时，养殖场最大的面积为平方米20．【解析】(1)由余弦定理，，故，又由正弦定理有，故，所以扇形的半径，故种植花卉区域的面积(2)设，则，故，，故平行四边形绿地占地面积，因为，故要面积最小，则当，即，时面积取得最小值，即多大时，平行四边形绿地占地面积最小1．【答案】A【解析】如图所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故选：A.2．【答案】D【解析】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.3．【答案】

【解析】由题意作出图形，如图，在中，由余弦定理得，即，解得（负值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案为：；.4．【答案】.【解析】因为，所以．故答案为：.

5．【答案】【解析】设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.

6．【答案】【解析】根据余弦定理：，得，由正弦定理△ABC的外接圆半径为.故答案为:.7．【答案】【解析】由题意，，所以，所以，解得（负值舍去）.故答案为：.8．【解析】(1)证明：因为，所以，所以，即，所以；(2)解：因为，由（1）得，由余弦定理可得，则，所以，故，所以，所以的周长为.9．【解析】(1)因为，即，而，所以；(2)由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．10．【解析】(1)由于，，则．因为，由正弦定理知，则．(2)因为，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面积．11．【解析】(1)解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.(2)解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为.12．【解析】(1)由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；(2)由正弦定理得：，则，则，.13．【解析】(1)由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．(2)由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立．14．【解析】(1)设EF与圆D相切于对点，连接，则，则，所以直角与直角全等所以在直角中，在直角中，(2)设,，则，所以梯形的面积为当且当，即时取得等号，此时即当时，梯形的面积取得最小值则此时梯形FEBC的面积有最大值所以当时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为15．【解析】（I）因为，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.16．【解析】（1）因为，则，则，故，，，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故.17．【解析】（1），则由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择②：由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定