板材成本控制问题

板材成本控制问题【摘要】本文解决了板材成本控制问题即如何下料，并建立初等模型来进行求解，并用线性规划的方法计算最大用材数y与长宽比l的关系。确定切割成的用材数最大以及最大数与板材长宽比的关系。根据四个问题建立不等式，运用分类讨论，线性规划等方法综合求解，最终结果通过LINGO软件运行，并给出结果表达式。关于确定最大用材数y与长宽比l的关系，题设的要求是16nA/B25，即要求原板材的面积A与每个用材的面积B的比值n在16和25范围之内。依据此要求，我们在四个问题中分情况讨论可能的下料方式。除了第一个问题讨论一种情况，其余问题分别各讨论三种下料方式，根据其中各个变量的关系来确定最大用材数y与长宽比l的关系。问题一：正方形，按照最规则的顺序排列，依据正方形的边长与原矩形长宽的关系来确定最大用材数和长宽比的表达式。问题二：圆形，分为四种下料方式，一是整齐排列，即将每个圆看成是一个正方形，简化了问题；二是错位排列，使圆形相互错开紧密排列即下一排的圆在上一排两个圆之间，这种方法材料利用率比第一种高；第三种是将第一二种结合，即既有整齐排列也有相互错开紧密排列；第四种为不规则排列，用料较多舍弃。根据每个情况中圆半径原板材长宽之间的关系来确定最大用材数和长宽比的表达式。问题三：长宽比为2的矩形，也分为三种下料方式，一是把两个长方形当成是一个正方形来处理；二是几行长方形横着排列，几行长方形竖着排列也可以把两个长方形当成是正方形来处理〔其结果相同〕，分为许多种小情况；第三种为不规则排列，用料浪费所以舍弃。根据每个情况中各个变量之间的关系来确定最大用材数和长宽比的表达式。问题四：长宽比为m的矩形，分为四种下料方式分析。第一种是长方形横排，第二种是长方形竖排，而第三种是第一二种的结合，第四种不规则排列浪费所以舍弃。根据各个关系来确定最大用材数和长宽比的表达式。关键词：板材成本控制、初等模型、线性规划、分类比较

目录1问题重述...............................................2问题分析...............................................00总体分析...................................................................................................................................0问题一的分析...........................................................................................................................0问题二的分析...........................................................................................................................0问题三的分析...........................................................................................................................0问题四的分析...........................................................................................................................13符号说明...............................................4模型假设...............................................5模型建立...............................................122问题二模型的建立问题三模型的建立问题四模型的建立...................................................................................................................3...................................................................................................................7.................................................................................................................106模型求解及结果分析....................................13问题一的模型求解及结果分析.............................................................................................13问题一的模型求解问题一的结果分析.........................................................................................................13.........................................................................................................15问题二的模型求解及结果分析.............................................................................................15问题二的模型求解问题二的结果分析.........................................................................................................15.........................................................................................................21问题三的模型求解及结果分析.............................................................................................21问题三的模型求解问题三的结果分析.........................................................................................................21.........................................................................................................23问题四的模型求解及结果分析.............................................................................................23问题四的模型求解问题四的结果分析.........................................................................................................23.........................................................................................................287模型的优缺点分析......................................28模型优点.................................................................................................................................28模型缺点.................................................................................................................................288改良方向..............................................9参考文献..............................................2828

1问题重述板材下料成本控制问题是经典的优化问题。考虑一块面积为A，长宽比为l的板材。现在需要切割成面积为B的用材。16nA/B25，不妨假设n为整数。请根据以下需求，建立实际问题的数学建模，确定最大的用材数y与l的关系。〔1〕用材为正方形，1l2。〔2〕用材为圆形，1l2。并给出可能的不同下料方式。〔3〕用材为矩形，长宽比为2，1l2。并给出可能的不同下料方式。〔4〕用材为矩形，长宽比为m，1l2，1m2。并给出可能的不同下料方式。2问题分析这四个问题有个共同的特点：都是求解如何下料使得切割的用材数最大以及最大用材数和板材长宽比的关系。不同点就是同一种下料方式不一定都适用于这四种情况。就第一个问题而言，相对于其他三个较为简单。下料方式就是使正方形整齐排列来切割板材使得得到的用材数最大。其他的下料方式〔例如斜着切割〕会导致板材浪费较多。就问题二来说，可分为四大种情况来考虑。第一种是让圆形整齐排列，关键在于把每个圆形当成一个正方形来处理，简化了问题。第二种是使圆形相互错开紧密排列即下一排的圆在上一排两个圆之间，关键在于找出板材长与宽分别与能放的圆的个数的关系，然后根据这关系来解决问题。第三种是前两种情况的结合，即既有整齐排列也有相互错开紧密排列，这种情况包括了很多种小情况，比方先整齐排列后是间隔排列，或者整齐排列与间隔排列相互交错，针对每一种情况都有不同的解题方式。第四种情况就是不规则排列，由于这种下料方式会导致板材浪费较多所以舍弃。就问题三来说，可分为四种情况来考虑。第一种是把长方形全部横放来处理，关键是先使长方形整齐排列在判断剩余边角料部分能否放进去一个长方形其中两个上下紧挨着的长方形可以看做是两个长方形竖着紧挨着摆放。第二种情况是把长方形竖着摆放，关键是先使长方形整齐排列在判断剩余边角料部分能否放进0

去一个长方形，其中两个左右紧挨着的长方形可以看做是两个横着上下紧挨着的长方形摆放。第三种情况是几行长方形横着排列，几行长方形竖着排列也可是把两个长方形当成是正方形来处理〔其结果相同〕都有即有许多种小情况，这种情况可以简化成先是横着排列再是竖着排列，其结果与这许多小情况结果形同。其边角料处理方法与第一种类似。第四种情况就是不规则排列，由于这种下料方式会导致板材浪费较多所以舍弃。就问题四来说有四种情况，第一种是长方形横着整齐排列，排剩余的边角料部分判断是否可以竖着放进去长方形，分情况处理。第二种是长方形竖着排列，其方法与第一种类似。第三种是几排横着，几排竖着排列，可见其中有几种小情况，但都可简化为先横着排列在竖着排列的情况处理。第四种情况是不规则排列，由于这种下料方式会导致板材浪费较多所以舍弃。3符号说明符号表示说明板材的面积ABa用材的面积板材的宽l板材的长宽比labr板材的长用材〔正方形〕边长用材〔圆形〕半径用材〔矩形〕宽用材〔长宽之比为2的矩形〕长用材〔长宽之比为m)长最大的用材数x2xmxy14模型假设[1]假设不考虑刀具的厚度；[2]假设不考虑在切割板材的过程中的损耗；[3]假设不考虑板材厚度的影响；[4]假设不考虑人为的损耗；[5]假设不考虑切割工艺的不同；[6]切割过程中不会出现机器故障等其他非正常故障。[7]假设每次切割都准确无误。5模型建立问题一模型的建立作为板材下料成本控制问题的决策者，决定板材A的长宽比l，所以决策变量为l,引入参数正方形的边长b。决策者的目的是使用材数y所以目标函数为alay[][]〔1〕bb又因为板材面积A与用材面积B有关系16nA/B25(2)Alaa(3)2Bb(4)所以有约束条件2lab1625(5)22即4alb5(6)l另外有1l2(7)所以约束条件为4alb5(6)l1l2(7)0ba(8)作为板材下料成本控制问题的决策者，决定板材A的长宽比l，所以决策变量为l,引入参数圆形的半径rr,决策者的目的是使用材数y最大。根据问题二的分析，第一种下料情况如图5.2.1所示所以目标函数为y[a][la](9)2r2r又因为板材面积A与用材面积B有关系16nA/B25(2)Alaa(3)2Br(10)所以22lar1625(11)3即44a5r(12)(12)lll另外有1l2(7)所以约束条件为a5rl1l2(7)02ra(13)02rla〔14〕(a)(b)(a),一共排的行数n[a2r]1(14)3ral根据归纳分析得当[]为奇数时，即第一排最后一个圆大于半个圆但不是整圆，rla[]1r2所以每一行的整圆的个数是相同的，第一行整圆的个数是，所以总共的la[]1alr用材数为n,当[]为偶数时，第一排最后一个圆小于半个圆，奇数行的2rla[]r2整圆的个数总比偶数行正圆的个数大1，第一行整圆的个数为，所以总共的4la[]r2n用材数为n[]。所以目标函数为2(15)约束条件有4a5(12)lrl1l2(7)02ra(13)02rla〔16〕(b)(a)处理方法，所以目标函数为(17)约束条件有4a5(12)rll1l2(7)02ra(13)02rla〔16〕5引进参数，整齐摆放的圆形的行数由归纳分析得m1，相互错开紧密摆放的圆形的行数m2，a3rm12r（m21)3r2ra〔18〕所在长上，整齐摆放的整个圆形的个数为[la]；相互错开紧密摆放的整个圆中，2r偶数行摆放的整圆的个数为[la]，假设是2rrla[la]2r2r〔19〕2r则奇数行摆放的整圆的个数为[la]，则目标函数为2ry[la](m1m2)〔20〕2r假设是0la[la]2rr〔21〕2r则奇数行摆放的整圆的个数为[la]1，则目标函数为2rmy[la](m1m2)[2]〔22〕2r2所以目标函数为〔23〕约束条件为a3rm12r（m21)3r2ra〔18〕4a5r(12)ll61l2(7)02ra(13)02rla〔16〕作为板材下料成本控制问题的决策者，决定板材A的长宽比l，所以决策变量为l，引入参数用材〔矩形〕宽x,则长为2x,决策者的目的是使用材数y最大。所以目标函数为y[a][la](24)x2x假设是板材长度放整个长方形外还有剩余，且剩余长度足够竖着放进去一个长方形即xla[la]2x2x(25)2x则还能放进[a]个长方形，即2xy[a][la][a](26)x2x假设是剩余长度不够竖着放进去一个长方形级即2xla0la[]2xx(27)2x所以此时y[a][la](24)x2x因此目标函数为(28)又因为板材面积A与用材面积B有关系716nA/B25(2)Alaa(3)Bx2x(29)所以2lax1625(30)22即42a52(31)xll另有1l2(7)0xa(32)02xla(33)所以约束条件为42a52(31)lxl1l2(7)0xa(32)02xla(33)同第一种情况，所以目标函数为(34)约束条件为842a52(31)xll1l2(7)0xa(32)02xla(33)引进参数，横着摆放矩形的行数m1，竖着摆放矩形的行数m2，则axm1xm22xa〔35〕所以在长上，横着摆放的矩形个数为[la]，竖着摆放的矩形个数为[la]2，所2x2x以目标函数m1[la]m2[la]2〔36〕y2x2x假设是板材长度放整个长方形外还有剩余，且剩余长度足够竖着放进去一个长方形即xla[la]2x2x(25)2x则还能放进[a]个长方形，即2xym1[la]m2[la]2[a]〔37〕2x2x假设是剩余长度不够竖着放进去一个长方形级即2x0la[la]2xx(27)2x所以此时m1[la]m2[la]2〔36〕y2x2x因此目标函数为9〔38〕约束条件为axm1xm22xa〔35〕42a52(31)lxl1l2(7)0xa(32)02xla(33)作为板材下料成本控制问题的决策者，决定板材A的长宽比l，所以决策变量为l，引入参数用材〔矩形〕宽x,则长为mx,决策者的目的是使用材数y最大。m的矩形第一种下料方式所以目标函数为y[a][la](39)xmx假设是板材长度放整个长方形外还有剩余，且剩余长度足够竖着放进去一个长方形即xla[la]mxmx(40)mx则还能放进[a]个长方形，即mxy[a][la][a](41)xmx假设是剩余长度不够竖着放进去一个长方形级即mx100la[la]mxx(42)mx所以此时y[a][la](39)xmx因此目标函数为(43)又因为板材面积A与用材面积B有关系16nA/B25(2)Alaa(3)Bxmx(44)所以2la1625(45)2xm即4ma5m(46)lxl另有1l2(7)1m2(47)0xa(32)0mxla(48)所以约束条件为4ma5m(46)lxl1l2(7)1m2(47)0xa(32)0mxla(48)11m的矩形第二种下料方式同第一种情况，所以目标函数为(49)约束条件为4ma5m(46)lxl1l2(7)1m2(47)0xa(32)0mxla(48)m的矩形第三种下料方式引进参数，横着摆放矩形的行数m1，竖着摆放矩形的行数m2，则axm1xm2mxa〔49〕所以在长上，竖着摆放的矩形个数为[]，横着摆放的矩形个数为[la]，所以目laxmx标函数lalam1[]m2[]〔50〕2xxy假设是板材长度放整个长方形外还有剩余，且剩余长度足够竖着放进去一个长方形即12xla[la]mxmx(40)mx则还能放进[amxmxm2]个长方形，即amxm2]〔51〕mxym1[la]m2[la][2xx假设是剩余长度不够竖着放进去一个长方形级即0la[la]mxx(42)mx所以此时m1[la]m2[]〔50〕lay2xx因此目标函数为〔52〕约束条件为axm1xm2mxa〔49〕4ma5m(46)xll1l2(7)1m2(47)0xa(32)0mxla(48)6模型求解及结果分析根据问题一的模型，用LINGO求解最优解，程序代码如下所示，max=n*m;@bnd(1,l,2);b>0;a>0;s=a^2*l/b^2;13@gin(s);s>=16;s<=25;d=a/b;n=@floor(d);m=@floor(d*l);运行结果如图6.1.1.1所示14a所以，当l1,[]5,时y最大，y25。b下料方式就是使正方形整齐排列来切割板材使得得到的用材数最大。其他的下料方式〔例如斜着切割〕会导致板材浪费较多。当l取其他值的时候，例如l2a时，y21所以，当l1,[]5,时y最大，y25。b根据问题二的模型，用LINGO求解最优解，第一种下料方式程序代码如图下所示，max=n*m;@bnd(1,l,2);r>0;a>0;s=a^2*l/(@PI()*r^2);@floor(s)>=16;@floor(s)<=25;d=a/(2*r);n=@floor(d);m=@floor(d*l);15所以，当l1.28,a2.80,r0.35时y最大，y20。第二种下料方式程序代码如图下所示max=@if(g#eq#0,m/2*n-@bnd(1,l,2);@floor(n/2),(m-1)/2*n);r>0;16a>=2*r;s=a^2*l/(@gin(s);s>=16;@PI()*r^2);s<=25;d=a/r;@gin(n);d<=n*@sqrt(3)+2;d>=(n-1)*@sqrt(3)+2;m=@floor(d*l);g=@mod(m,2);max=@if(g#eq#0,m/2*n-@floor(n/2),@floor((m-1)/2*n));@bnd(1,l,2);r>0;a>=2*r;s=a^2*l/(@gin(s);s>=16;@PI()*r^2);s<=25;d=a*l/r;@gin(n);d<=n*@sqrt(3)+2;d>=(n-1)*@sqrt(3)+2;m=@floor(d/l);g=@mod(m,2);17

(a)18(b)所以，对于(a)当l1.52,a1.34,r0.19时y最大，y18。对于(b)当l1.60,a23.49,r3.36时y最大，y18。19第三种下料方式程序代码如下所示max=@if(@mod(n,2)#eq#0,n/2*(m1+m2)-@floor(m2/2),(n-1)/2*(m1+m2));@bnd(1,l,2);r>0;a>=2*r;s=a^2*l/(@gin(s);s>=16;@PI()*r^2);s<=25;d=a/r;@gin(m1);@gin(m2);m1>=0;m2>=0;n=@floor(d*l);d<=m2*@sqrt(3)+2*m1+2;d>=(m2-1)*@sqrt(3)+2*m1+2;20图6.2.1.3。问题二第三种下料方式运行结果所以，当l1.33,a41.44,r5.51，m11，m23时y最大，y18。这三种方案进行比较，第一种方案切割的用材数最大，其他的下料方式〔例如斜着切割〕会导致板材浪费较多。所以，按照第一种切割方式切割较为合理，即按照第一种切割方式，当l1.28,a2.80,r0.35时y最大，y20。根据问题三的模型，用LINGO求解最优解，第一种下料方式程序代码如下所示，max=@floor(c*d/2);@bnd(1,l,2);b>0;a>b;@gin(s);s=a^2*l/(2*b^2);s>=16;21s<=25;c=@floor(a/b);d=@floor(a*l/b);所以，当l2，a3.80，x0.76时，y最大，y25。由于两个矩形可看做一个正方形，所以前三种方案所能切割的最大用材数相同，即当l2，a3.80，x0.76时，y最大，y25。22由于其与切割方式会使板材利用不充分导致板材浪费较多。任意一种切割方式都可获得最大的用材数25所以按照前三种根据问题四的模型，用LINGO求解最优解，第一种下料方式程序代码如下所示，max=@if(d*l-n*m#ge#0#and#d*l-n*m#lt#1,n*@floor(d),n*@floor(d)+c);@bnd(1,l,2);@bnd(1,m,2);b>0;a>b;@gin(s);s=a^2*l/(m*b^2);s>=16;s<=25;@gin(n);n=@floor(d*l/m);d=a/b;c=@floor(d/m);d*l/m-n<=1;d*l/m-n