各种几何形状约束下的平抛运动

平抛运动是曲线运动的典型物理模型，其解决的办法是化曲为直，即平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，分运动和合运动含有独立性、等时性和等效性的特点．纵观近几年的高考试题，平抛运动考点的题型大多不是单纯考察平抛运动而是平抛运动与斜面、曲面相结合的问题，这类问题题型灵活多变，综合性较强，既可考察基础又可考察能力，因而受到命题专家的青睐，在历年高考试题中属高频考点．解答平抛运动的问题，首先要掌握平抛运动的规律和特点，同时也应明确联系平抛运动的两个分运动数量关系的桥梁除了时间t，尚有是两个重要参量:一是速度与水平方向之间的夹角θ，其正切值tanθ=vy/vx(如图1);二是位移与水平方向之间的夹角α，其正切值tanα=y/x(如图2)．这两个正切值之间还满足关系:tanθ=2tanα．平抛运动与斜面、曲面相结合的问题，命题者用旨在于考察学生能否寻找一定的几何关系，建立上述两个角参量与几何图形中几何角之间关系，或建立水平位移、竖直位移与曲线方程的函数关系，考察学生运用数学知识解决物理问题的能力．倘若学生能够从寻找这层关系上展开思维，也就找到理解决这类问题的钥匙．这类问题有多个题型，下面分几个状况进行讨论和解析一．斜面约束下的平抛运动V0αAB图9例5：在倾角为α的斜面上某点A，以水平速度V0αAB图9（1）物体在斜面运动的时间？（2）小球飞行多长时间距离斜面最远？最远距离是多大？(空气阻力不计，重力加速度为g)解析：办法一，构造位移的矢量三角形，V0V0αAB图10xy①②③由①②③得：（2）如图11所示，离斜面最远时末速度与斜面平行，构造速度矢量三角形得：ααααVαvxvy图11dαxαy最远距离d为:办法二，如图12所示沿斜面建立平面直角坐标系，把初速度和重力加速度投影到坐标轴上，分析两坐标轴上的分运动；（1）小球在y轴的分运动做匀减速运动，由离开斜面到再次回到斜面列方程有：v0v0αvxvygxgygyx图12得：（2）由离开斜面到据斜面距离最远处列方程有：点评：本题是建立做平抛运动的物体由斜面抛出落回斜面的模型，并让同窗们初步学会运用运动的不同分解办法（沿水平和竖直方向分解、沿斜面和垂直于斜面方向分解，也可沿初速度方向和重力方向分解）解决这类问题。例4：一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图6所示，无视空气阻力，重力加速度为g；则小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为多少？解析：办法一，由于是垂直打在斜面上，由合速度与分速度的关系，可构造合速度与分速度中间的矢量三角形，得出两分速度的关系如图7所示，从而得解。θV0θV0V0Vyθxy图7②③θθxy图8θθxy图8办法二，由末速度反向延长线过水平位移的中点如图8所示，可得：点评：通过斜面倾角构造合速度与分速度的矢量三角形，建立各速度的关系，使问题得以解决；也可运用“平抛运动末速度反向延长线过水平位移的中点”此二级结论进行分析。10.横截面为直角三角形的两个相似斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如图8所示，它们的竖直边长都是底边长的二分之一，现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上，其落点分别是a、b、c.下列判断对的的是()图8A.图中三小球比较，落在a点的小球飞行时间最短B.图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最大C.图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最快D.无论小球抛出时初速度多大，落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直答案D解析题图中三个小球均做平抛运动，能够看出a、b和c三个小球下落的高度关系为ha>hb>hc，由t＝eq\r(\f(2h,g))，得ta>tb>tc，又Δv＝gt，则知Δva>Δvb>Δvc，A、B项错误.速度变化快慢由加速度决定，由于aa＝ab＝ac＝g，则知三个小球飞行过程中速度变化快慢相似，C项错误.由题给条件可拟定小球落在左边斜面上的瞬时速度不可能垂直于左边斜面，而对右边斜面可假设小球初速度为v0时，其落到斜面上的瞬时速度v与斜面垂直，将v沿水平方向和竖直方向分解，则vx＝v0，vy＝gt，且需满足eq\f(vx,vy)＝eq\f(v0,gt)＝tanθ(θ为右侧斜面倾角)，由几何关系可知tanθ＝eq\f(1,2)，则v0＝eq\f(1,2)gt，而竖直位移y＝eq\f(1,2)gt2，水平位移x＝v0t＝eq\f(1,2)gt2，能够看出x＝y，而由题图可知这一关系不可能存在，则假设不能成立，D项对的.二．台阶约束下的平抛运动的临界和极值问题例7如图21所示，小球自楼梯顶的平台上以水平速度v0做平抛运动，全部阶梯的高度为0.20m，宽度为0.40m，重力加速度g取10m/s2.图21(1)求小球抛出后能直接打到第1级阶梯上v0的范畴；(2)求小球抛出后能直接打到第2级阶梯上v0的范畴；(3)若小球以10.4m/s的速度水平抛出，则小球直接打到第几级阶梯上？答案(1)0<v0≤2m/s(2)2m/s<v0≤2eq\r(2)m/s(3)28解析(1)运动状况如图甲所示，根据题意及平抛运动规律有h＝eq\f(gt\o\al(2,1),2)，x＝v0t1，可得v0＝2m/s，故直接打到第1级阶梯上v0的范畴是0<v0≤2m/s.(2)运动状况如图乙所示，根据题意及平抛运动规律有2h＝eq\f(gt\o\al(2,2),2)，2x＝v0t2，可得v0＝2eq\r(2)m/s，故直接打到第2级阶梯上v0的范畴是2m/s<v0≤2eq\r(2)m/s(3)同理推知，直接打到第3级阶梯上v0的范畴是2eq\r(2)m/s<v0≤2eq\r(3)m/s直接打到第n级阶梯上v0的范畴是2eq\r(n－1)m/s<v0≤2eq\r(n)m/s设能直接打到第n级阶梯上，有2eq\r(n－1)<10.4≤2eq\r(n)解得27.04≤n<28.04，故能直接打到第28级阶梯上.二、挡板约束（一）水平挡板约束、1．“套圈圈”是老少皆宜的游戏，如图1，大人和小孩在同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v1、v2抛出铁圈，都能套中地面上同一目的。设铁圈在空中运动时间分别为t1、t2，则()图1 A．v1＝v2 B．v1＞v2 C．t1＝t2 D．t1＞t2 解析根据平抛运动的规律h＝eq\f(1,2)gt2知，运动的时间由下落的高度决定，故t1＞t2，因此C错误，D对的；由题图知，两圈水平位移相似，再根据x＝vt，可得：v1＜v2，故A、B错误。 答案D（二）竖直挡板约束做平抛运动的物体抛在平面上。常见有飞机投弹模型，子弹打靶模型，打乒乓球模型，打网球模型等。变式6(·新课标全国Ⅰ·18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图22所示.水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边沿的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范畴内，通过选择适宜的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范畴是()图22A.eq\f(L1,2)eq\r(\f(g,6h))＜v＜L1eq\r(\f(g,6h))B.eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))＜v＜eq\r(\f(4L\o\al(2,1)＋L\o\al(2,2)g,6h))C.eq\f(L1,2)eq\r(\f(g,6h))＜v＜eq\f(1,2)eq\r(\f(4L\o\al(2,1)＋L\o\al(2,2)g,6h))D.eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))＜v＜eq\f(1,2)eq\r(\f(4L\o\al(2,1)＋L\o\al(2,2)g,6h))答案D解析发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动.当速度v最小时，球沿中线正好过网，有：3h－h＝eq\f(gt\o\al(2,1),2) ①eq\f(L1,2)＝v1t1 ②联立①②两式，得v1＝eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))当速度v最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有eq\r(\f(L2,2)2＋L\o\al(2,1))＝v2t2 ③3h＝eq\f(1,2)gt22 ④联立③④两式，得v2＝eq\f(1,2)eq\r(\f(4L\o\al(2,1)＋L\o\al(2,2)g,6h))因此使乒乓球落到球网右侧台面上，v的最大取值范畴为eq\f(L1,4)eq\r(\f(g,h))＜v＜eq\f(1,2)eq\r(\f(4L\o\al(2,1)＋L\o\al(2,2)g,6h))，选项D对的.例1：一架飞机水平地匀速飞行.从飞机上每隔1s释放一种铁球，先后共释放4个.若不计空气阻力，从飞机上观察4个球( )A.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的B.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是不等间距的C.在空中任何时刻总是在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的D.在空中任何时刻总是在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是不等间距的点评：建立飞机投弹模型，能够培养学生的抽象思维，也巩固了学生对平抛运动的深刻理解；答案：C例2：如图1所示，排球场的长为18m，网高2m，运动员站在离网3m远的线上，正对网前竖直跳起，把球垂直于网水平击出，无视空气阻力，重力加速度为g。（1）射击球点的高度为2.5m，问球被水平击出时的速度在什么范畴内才干使球既不触网也不出界？3m18m3m18m图1解析：（1）要球不出界，水平位移不能超出12m，要不触网，水平位移应不不大于3m，运动草图如图2所示：①②图29m3m图29m3mV02.5m2m④其中=12m,=2.5m,=3m,=0.5m;由①②③④并代入数据得：=17m/s,=9.5m/s因此要球既不触网又不出界，有：9.5m/s<<17m/s。（2）运动轨迹刚好过网的最高点和边界点时球的高度为临界高度，如图3所示：图39m3m图39m3mV0h⑥⑦⑧其中=12m,=3m;由⑤⑥⑦⑧并代入数据得：h=2.13m.点评：通过分析这个问题，让同窗们熟悉有关临界问题的状态模型在物理中的运用。例3：抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。现讨论乒乓球发球问题。设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力（设重力加速度为g）。（1）若球在球台边沿O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台的P1点（如图4实线所示），求P1点距O点的距离x；（2）若球在0点正上方以速度v2水平发出后，正好在最高点时越过球网落在球台的P2点（如图4虚线所示），求V2的大小；（3）若球在O点正上方水平发出后，球经反弹正好越过球网且刚好落在对方球台边沿P3处，求发球点距0点的高度h3。图4解析：（1）由分运动之间的独立性与等时性可得：图4①②由①②得：（2）由所给条件知整个轨迹可分为三段对称轨迹，因此整个运动可等效为三段相似的平抛运动过程，由此可得：③④其中=h,=L/2;由③④并代入已知量得：2LV2LV3hh3h3图5⑤⑥⑦⑧其中=2L/3,=L/3;由⑤⑥⑦⑧并代入已知量得：点评：本题重要通过轨迹的对称性及等效平抛运动的思维模型进行解决问题，使复杂问题变得简朴化。做平抛运动的物体抛在竖直面上。OAOABC图16解析：时间分析参考例8得，由于水平位移相似，由分析可得，。（三）三双竖直挡板约束如图示，从一根内壁光滑的空心竖直钢管A的上端边沿，沿直径方向向管内水平抛入一钢球．球与管壁多次相碰后落地(球与管壁相碰时间不计)，若换一根等高但较粗的内壁光滑的钢管B，用同样的办法抛入此钢球，则运动时间（）A．在A管中的球运动时间长B．在B管中的球运动时间长C．在两管中的球运动时间同样长D．无法拟定扩展：初速度为，高度为，水平距离为，落地时碰撞了多少次？三．抛物线挡板约束0hV0yx0hV0yx图14解析：①②③④由①②③④联立得：；点评：运用平抛运动的知识结合抛物线（也可是椭圆曲线）的关系从而使问题得以解决。四．圆周约束abd例题三、如图，水平地面上有一种坑，其竖直截面为半圆，ab为沿水平方向的直径。若在a点以初速度v0沿ab方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c点。已知abd分析：既然平抛运动是在圆周的约束下发生的，那么我们就要充足的运用圆周的几何特点，去寻找几何关系，这是解决圆周约束下的平抛的核心。例6：如图13所示小球平抛在圆面内，已知小球下落高度为h，圆的半径为R，求小球的初速度？（无视空气阻力，重力加速度为g）hRhRV0图13①②③由①②③得：点评：抓住时间由下落高度决定这一规律，由半径入手通过几何关系，结合分运动的等时性原理即可求出初速度。2、如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最后它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则两小球初速度之比eq\f(v1,v2)为 () A．tanα B．cosαC．tanαeq\r(tanα) D．cosαeq\r(cosα)答案C解析两小球被抛出后都做平抛运动，设容器半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2，对A球：Rsinα＝v1t1，Rcosα＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)；对B球：Rcosα＝v2t2，Rsinα＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)，解四式可得：eq\f(v1,v2)＝tanαeq\r(tanα)，C项对的．五．做平抛运动的物体抛在普通曲面上。例8：在同一平台上的0点抛出的三个物体，做平抛运动的轨迹如图15所示，无视空气阻力，比较三次所用时间的大小及初速度的大小？解析：由于得：，由此可知，时间由下落高度决定；又由于；因此：。由于C点