《利用解直角三角形解决有关问题》教学设计(山东省县级优课)-九年级数学教案

2.4解直角三角形（3）教学设计一、学习目标（一）知识与技能：能够应用解直角三角形的知识解决有关的非直角三角形问题。过程与方法：通过添加辅助线-----作三角形一边上的高，把的求斜三角形边或角问题转化为解直角三角形的问题。

情感态度与价值观：培养学生分析问题和解决问题的能力，增强数学的应用意识，激发学习的兴趣和求知欲望。教学重点：利用解直角三角形的知识解决有关问题，提高数学的应用意识和能力。教学难点：通过作辅助线构造直角三角形，发展“转化”的思想。四、教学过程一、情境导入师：三角板是我们学习上的重要工具，下面我们就利用三角板解决一些新问题。前两节课学习了解直角三角形，请大家用解直角三角形的方法求这两个三角板的边长1.如图，在Rt∆ADC中，∠ADC=90°，∠A=60°，AC=12，求AD和CD的长.生：在Rt∆ADC中，∠ADC=90°∵sinA=∴CD=AC×sinA=12×=∵cosA=∴AD=AC×cosA=12×=62.如图，在Rt∆BDC中，∠BDC=90°，∠B=45°，CD=，求BD的长.生：在Rt∆BDC中，∠BDC=90°∵tanB=∴BD===师：现在老师将其中一个三角板平移，拼成一个大三角形。如图，∠A=60°，∠B=45°，AC=12，CD⊥AB于点D,你能迅速说出AB的长吗？生：AB=AD+BD=6+师：请同学们观察一下，此时∆ABC是直角三角形吗？这样的三角形我们称它为斜三角形.这节课我们就来研究解直角三角形第三课时——解斜三角形.【设计意图】数学知识是环环相扣的，复习解直角三角形能让学生为接下来的学习作很好的铺垫和自然的过渡。熟练掌握解直角三角形的基础上，去探索解斜三角形的方法，激发了他们研究的兴趣和探究的激情.二、探究新知BACD例：如图，∆ABC中，∠A=60°，∠B=45°，ACBACD解：过点C作CD⊥AB，垂足为D点.在Rt∆ADC中，=12，∠=60°∴CD=AC×sinA=12sin60°=12×=AD=AC×cosA=12cos60°=12×=6在Rt∆BDC中，∠B=45°∴BD===∴AB=AD+BD=6+变式一CBA如图，∆ABC中，∠A=105°，∠B=45°，AC=12，求CBA师：思考：如何构造直角三角形？（教师演示用一副三角板图形）生：过点A作AD⊥BC，垂足为D点师：你能说出这个题的解题思路吗？生:解两个直角三角形∆ABD和∆ACD师：这个斜三角形还有别的方法构造直角三角形吗？生：过点B或点C垂直，构造直角三角形。师：这样构造直角三角形能解决问题吗？如果不能，为什么？生：不能，直角三角形中没有特殊角，不能解。师：说的非常好.所以同学们我们在做这类问题时应该从非特殊角的顶点作垂线，这样就不能破坏特殊角.【设计意图】让学生初步体会解斜三角形的含义、步骤及解题过程。通过展示他们的思路让他们更好的体会将斜三角形转化解直角三角形。CBCBA如图，∆ABC中，∠C=105°，∠B=45°，AC=12，求AB的长.变式二ABC如图，∆ABC中，∠B=45°，sinC=ABC变式三ABC如图，∆ABC中，∠B=45ABC师：是不是所有的斜三角形，都是在三角形内部作垂线构造直角三角形呢？请大家再看一个钝角三角形.【设计意图】（1）转化的数学思想方法的应用，把实际问题转化为数学模型解决.（2）巩固解斜三角形，构造直角三角形后可以运用特殊角三角函数，勾股定理等知识求三角形的边长.三、归纳总结师：如何将斜三角形问题转化成直角三角形问题？生：通过作辅助线构造直角三角形，从而解决问题.师：（出示两种基本图形）怎样作辅助线构造直角三角形？生：可以在三角形内部作高，也可以在三角形外部.生：锐角三角形高作在三角形内部，钝角三角形的高可以作在内部，也可以作在外部.【设计意图】这是这节课的重点，让学生归纳和讨论，总结通过作辅助线构造直角三角形，将求斜三角形边或角的问题转化成解直角三角形问题的方法。给学生展示的平台，增强学生的兴趣及自信心.师：归纳的非常全面。请完成以下问题，看看你有几种做法？每种做法需要提供哪些数据？变式四CBA如图，在∆ABC中，∠B=47°，∠ACB=15CBA生1：如果已知15°和47°角的正弦值，过点A作AD⊥BC，垂足为D点.解直角三角形∆ABD和∆ACD.生2：如果已知62°的正弦和余弦，47°的正切，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D.解直角三角形∆ABD和∆ACD.师：两个同学说的非常棒！钝角三角形的高可以作在内部，也可以作在外部.需要根据已知条件确定.请同学们老师给出的这些条件，完成这个题.（学生练习，找同学板书）师：两个同学配合默契.希望大家认真计算。学习了解斜三角形，我们利用转化的思想化斜为直，将求三角形的边角问题转化为解直角三角形问题。我们再一起看看四边形的面积怎样求？【设计意图】体会一般三角形在构造直角三角形时方法往往不止一种，要根据已知条件确定如何构造.进而利用解直角三角形的知识解决有关问题，巩固解斜三角形.四、拓展提高DCBA（出示题目）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=，CD=DCBA师：先独立思考，再小组交流。看看哪个小组想到的方法多。生1：我们组想到两种方法.一种是分别延长BA、DC交于点E.解∆ADE，∆BCE。第二种方法是分别过点A、D作AE⊥BC，DF⊥AE.解∆ABE，∆ADF生2：和刚才的小组一样，过点D作DE⊥AD，EF⊥AB.解∆CDE，∆BEF.师：相比较这三种方法哪种方法更简单？在导学案上整理.【设计意图】使学生巩固利用解直角三角形的有关知识解决问题，考察建立数学模型的能力，转化的数学思想在学习中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力。以及在学习中还存在哪些问题，及时反馈矫正.五、谈收获师：这节课你有什么收获？师：我们学习了解斜三角形，就是解直角三角形的应用。运用了转化的思想，通过作高将斜三角形转化成直角三角形，再运用三角函数、勾股定理等知识来解决，建立直角三角形模型.【设计意图】学生回顾本堂课的收获，体会如何通过作垂线构造直角三角形，进而解决问题.六、课后作业必做：习题1、2选