2024届一轮复习人教A版 　 一元二次不等式及其解法 课件（40张）

第2节一元二次不等式及其解法考纲展示1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程,会解一元二次不等式.2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.积累必备知识提升关键能力培育学科素养备选例题积累必备知识知识梳理1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像{x|x<x1或x>x2}R{x|x1<x<x2}2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解过程用程序框图表示为3.分式不等式与一元二次不等式的关系(x-a)(x-b)>0基础自测1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(

)(3)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(

)(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0,且Δ=b2-4ac≤0.(

)×√××C2.(教材改编题)不等式x2+2x-3>0的解集为(

)A.{x|-3<x<1} B.{x|-1<x<3}C.{x|x<-3或x>1} D.{x|x<-1或x>3}解析:根据题意,方程x2+2x-3=0有两个根,即-3和1,则x2+2x-3>0的解集为{x|x<-3或x>1}.故选C.C答案:-145.已知不等式x2-2x+k2-1>0对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围为

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考点一一元二次不等式的解法提升关键能力角度一不含参的不等式的解法[例1]解下列不等式:(1)-3x2-2x+8≥0;[例1]解下列不等式:(2)0<x2-x-2≤4;[例1]解下列不等式:反思归纳(1)解一元二次不等式的一般步骤一化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.二判:计算对应方程的判别式.三求:求出对应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有没有实根.四写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.答案:(1)(1,2)答案:(2)(-1,0)∪(1,+∞)角度二含参的不等式的解法[例2]解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0(a∈R).反思归纳解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.提醒:(1)当不等式中二次项的系数含有参数时,不要忘记讨论其等于0的情况.(2)含参数讨论问题最后要综上所述.[对点训练2]解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈R).解:原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.①当a=0时,原不等式可化为x+1≤0,解得x≤-1.考点二一元二次不等式恒成立问题角度一在R上的恒成立问题[例3](2021·云南玉溪高三三模)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围为(

)A.{a|a<2} B.{a|a≤2}C.{a|-2<a<2} D.{a|-2<a≤2}反思归纳一元二次不等式恒成立问题的求解策略[对点训练3]设a为常数,对于∀x∈R,ax2+ax+1>0,则a的取值范围是(

)A.(0,4) B.[0,4)C.(0,+∞) D.(-∞,4)角度二在给定区间上的恒成立问题[例4]设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.反思归纳一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围).(2)转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a.角度三给定参数范围的恒成立问题[例5]若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,求实数x的取值范围.反思归纳一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.即把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.[对点训练5](2021·江西宜春高三三模)对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则实数x的取值范围是(

)A.1<x<3 B.x<1或x>3C.1<x<2 D.x<1或x>2考点三一元二次不等式的实际应用(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.反思归纳求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.(2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数学模型.(3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义.(4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果.[对点训练6]某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;解:(1)由题意得y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10000×(1+0.6x)(0<x<1),整理得y=-6000x2+2000x+20000(0<x<1).[对点训练6]某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已