报告5-大跨预应力混凝土连续刚构桥预应力优化研究

大跨预应力混凝土连续刚构桥三向预应力筋的合理布置及优化研究目录一．研究背景及研究内容…………1二．预应力混凝土连续刚构桥的预应力设计理论………………5三．基于弯曲能量最小法的纵向预应力优化设计………………10四．连续刚构预应力参数优化设计………………34五．横向预应力与纵向预应力的交互影响研究…59六．结论……………90研究背景及研究内容近几十年来，虽然广泛应用计算机进行桥梁设计，但是目前仅限于结构分析与方案比较，而方案的提出及设计诸因素的最后确定主要由设计者的经验决定。如何使结构具有足够的承载能力，又能节省材料用量，主要依靠人们的经验和参考已有的设计实例，缺乏理论上的依据。然而，把最优化方法引入结构设计，就能够给结构设计的最优性以明确的科学根据。预应力混凝土连续刚构桥预应力设计是主桥上部结构设计的重要组成部分，如果预应力设计恰当，不仅使连续刚构的受力性能提高，混凝土材料得到充分的应用，而且可以节约钢材。反之，如果预应力设计不恰当，不仅浪费材料，而且会造成混凝土箱梁开裂，甚至破坏的严重后果，因此预应力设计问题对于工程实际意义重大。在以往对连续刚构的优化设计当中，都只对一次落架时桥梁结构的应力进行约束，没有考虑到施工阶段的应力是否满足规范要求。鉴于此，针对国内大跨连续刚构的迅速发展和大量被设计采用，以及对三向预应力的研究方面的不足，本文借助龙潭河特大桥工程，对大跨连续刚构桥的三向预应力进行优化设计及研究分析，得出有益的结论，为大跨连续刚构桥的预应力设计提供指导。1.1 连续刚构的纵向预应力优化方法近年来有不少学者对连续刚构、连续梁桥的纵向预应力进行了优化设计，提供了相应的优化设计方法。1997年M.A.Utrilla中提出了一种在连续梁桥中自动配索的方案。首先，用线性规划的方法得到几何学上最佳的预应力索力和合理的预应力布索位置。然后用最速下降的方法自动寻找预应力筋的几何图形和最小索力。最后，将此方法用于两跨连续梁桥上，并获得了初步的设计结果。1998年，肖汝诚从优化设计的角度出发，以用钢量最小为目标函数，以关键截面的成桥应力为约束条件，采用了影响矩阵法和线性规划的方法优化T构纵向预应力钢筋。M.A.Utrilla和肖汝城采用的方法使用起来比较简单，但只考虑了最后阶段的应力约束，配束不能保证结构在施工阶段中受力也是最优的。2000年，刘桂生提供了一种优化纵向预应力钢筋的方法，其基本思想是：根据悬臂施工阶段按T构弯矩平衡配置静定束，成桥阶段按正截面最不利应力配置后期束。2000年，何雄君建立了基于预应力混凝土连续梁桥预应力度的模糊优化问题，按a-水平截集解法，将模糊优化问题转化为确定性的数学规划问题。求得一较合理的消压弯矩后，只需按控制截面的构造进行预应力体系设计。在此基础上也提出了配束自动化的基本思想。1.2 连续刚构的竖向预应力优化方法近年来，混凝土箱梁的开裂现象相当严重，特别是箱梁腹板开裂占了相当的比例。理论和实践表明：竖向预应力是抵抗箱梁腹板剪应力和主拉应力的关键，所以竖向预应力的优化设计有很大的现实意义。2004年，张开银介绍了一种在复杂应力状态下的混凝土强度三参数准则模式，结合预应力混凝土梁斜截面抗剪强度研究，分析预应力混凝土在双轴应力状态下强度问题，提出考虑如何使混凝土强度提高的竖向预应力间距计算公式。2002年，刘钊从弹性理论的解析解出发，讨论竖向预应力下考虑应力扩散的箱梁腹板压应力计算问题，得到了竖向预应力筋合理间距和扩散角的计算公式。分析表明，竖向预应力的合理间距应该在0.1～0.25h之间，h为梁高。正因为存在预应力扩散角而产生预应力盲区，刘四田认为不能使用直线型布束。浙江工业大学的施颖提出，如果使用纵向直束，为了减小竖向预应力的损失，竖向预应力可考虑在设计上从以下两个方面加以改进：(1)采用整体锚垫板[图1.2(a)]。(2)采用环向预应力筋这种方法，通过加长预应力长度，来建立更多的预应力，有效发挥竖向预应力筋作用。环向预应力筋设置有两种方法:一种将2根竖向力筋连在一起，在梁顶面张拉，错位布置[图1.2(b)]；另一种方法利用横向预应力筋左右间隔锚在梁底下和悬臂端点处[图1.2(c)]。图1.2竖向预应力筋改进方法1.3 连续刚构的横向预应力优化方法在大跨度桥梁的横向预应力的研究上，国内外可查的相关文献非常少。一般连续刚构为了保证箱梁顶板在荷载作用下不产生顺桥方向的纵向裂缝，设计中在顶板内布置有横向预应力钢筋。为防止底板纵向裂缝，也可在底板设置横向预应力筋。1995年，苏炜对双向板进行了研究，得出了以下结论：由于板横向变形，对已存在的先张钢筋有一再张作用，这一作用称为“交互影响”，约占先张钢筋张拉控制应变的1％，其计算公式可根据变形协调原理推导。1990年，在程翔云编著的《梁桥理论与计算》中提到，根据材料力学的泊松效应，箱形截面梁的顶板受到横向预应力作用后，其顶板在顺桥向的正应力峰值将会有所降低。1997年，文国华截取等高度的连续梁任一跨内相邻两个恒载弯矩为零的梁段作为等效简支跨，采用有限条法，对连续梁桥的箱梁上、下翼板在有或无横向预应力情况下截面正应力分布规律进行了分析对比，得出以下结论：横向预应力对根部附近的负弯矩区段产生一定的增载作用，对正弯矩区段的箱梁截面正应力有一定的卸载作用。文国华同时用有限元方法证实了横向预应力对简支梁悬臂翼缘板具有卸载影响。但是文国华只是用均布荷载模拟横向预应力，不能考虑双向预应力之间的弹性压缩损失。1.4 基于可靠度的桥梁结构优化设计基于可靠性的优化模式是由Forsell最先提出来的。Morse首先探讨了基于可靠性的优化设计，他主要研究了可靠性与优化之间的关系。基于可靠度的结构优化设计理论在不断发展之中，它较传统的结构优化设计更为合理，因为它将桥梁结构作为一个整体考虑，而且能考虑和处理桥梁结构设计中的随机不确定性。在基于可靠度的桥梁结构优化设计中，把桥梁结构的可靠度要求或者结合到优化问题的约束条件内，或者结合到优化问题的目标函数内。即在一定的结构可靠度指标下，通过调整设计向量使桥梁结构的费用或重量最小；或者在一定的结构费用或重量条件下，通过调整设计向量使桥梁结构的可靠度最大。桥梁结构设计的基本原则是安全、适用和经济。传统的桥梁结构设计主要是采用定值设计的方法，既不能描述和处理桥梁结构中客观存在的各种不确定性因素，也不能定量地分析计算安全、适用及经济的各项指标，更无法科学地协调它们之间的矛盾，使它们达到合理的平衡。事实上，传统设计方法追求的是一个满足设计规范条件下的最低水平设计。基于可靠度的桥梁结构优化设计方法，是一种“投资-效益”准则下的考虑结构整体性能的方法。它以结构可靠度为控制参数，既能处理桥梁结构中的随机不确定性，又能很好地协调安全与经济之间，近期投资与长远效益之间的矛盾，从而使设计方案在安全、适用、经济的条件下达到优化。在优化设计中，选择结构造价C和损失期望L作为目标控制参数，结构的可靠度Ps作为约束控制参数。它的数学模型就是求解如下的数学规划：求XminC(X)s.tPS*由结构可靠度的最优分配决定，寻求结构可靠度的最优分配就是求解如下的数学规划：求[Psi]i=1，2，，KminW=C+L1.5 主要研究的内容本文以沪蓉国道主干线湖北西段的龙潭河特大桥为依托工程，围绕大跨连续刚构桥三向预应力的优化设计来展开研究，主要研究了以下几方面内容：（1）基于最小弯曲能量法提出悬臂施工连续刚构桥纵向预应力优化设计方法。通过选择施工控制截面并以离散截面的弯曲能量之和最小为目标函数，以各截面在各施工阶段的应力为约束条件，优化得到各阶段张拉的预应力钢筋数量。（2）在上述优化结果的基础上，本文结合BP神经网络和遗传算法对连续刚构纵向预应力弯束的转角、曲线半径和竖向预应力间距等参数进行优化。（3）基于ANSYS的APDL语言，编制了计算机程序，对纵向预应力及横向预应力之间的交互作用进行了研究，得到了相关的交互影响系数影响线；并对几个关键截面在预应力的影响下的的剪力滞效应进行了参数分析。预应力混凝土连续刚构桥的预应力设计理论2.1 概述预应力在结构中的应用效果，较大程度取决于技术设计与施工工艺。对于预应力在结构中认识和估计，则取决于桥梁结构分析软件是否对预应力的作用机制有正确的描述，预应力模型的建立是否与实际结构中的预应力相一致。预应力效应从其施力行为看有局部效应和整体效应，从结构成型过程看有施工状态效应和成桥状况效应。预应力效应从其表现行为看有应力（内力）与变位效应。目前，国内的杆系程序对于预应力效应的描述都基于平面有限元。显然，如果预应力束的线形是简单的平面线形，利用平面杆系程序建模是没有问题的，但如果预应力束的线形是复杂的空间线形，不仅有平弯也有竖弯，按平面建模其效果的可行性则有待于进一步的证实。虽然按空间有限元建模的过程比较复杂，但是，从整个桥梁结构的受力和预应力的模拟角度而言，空间建模是最接近真实情况的。对于预应力效应的空间模拟，国内外有关的文献很少。本文结合了施工过程分析包括纵向、竖向和横向三个方向预应力的效应，在优化纵向预应力的用钢量和竖向预应力间距的同时，还研究了纵向预应力与横向预应力的交交互作用。2.2 预应力混凝土连续刚构桥的预应力设计预应力设计对于工程实际意义重大，其内容主要表现在以下几个方面：（1）预应力钢绞线的选择目前国内外使用的预应力钢材主要有预应力钢筋、冷拉预应力钢丝、矫直回火预应力钢丝、低松弛预应力钢丝、普通预应力钢绞线和低松弛钢绞线。作为预应力钢材最新一代的低松弛钢绞线由于其高效、经济、施工方便，使建筑构件轻薄美观的优点，已大量使用在世界各地最重要的土木工程上，如大型桥梁、核电站、高层大跨度房屋、高速公路等。据上海铁道学院对铁路桥梁计算分析，采用高强度低松弛钢绞线可比现有同类桥梁减少钢绞线用量18％－23％。预应力钢绞线的选择应考虑以下几个方面：钢绞线性能参数，包括几何参数、表面状态、松散性、断裂荷载、屈服荷载、伸长率、松弛等：钢绞线标准，包括品种规格、破断荷载、尺寸公差、松弛性、延伸率等。（2）预应力锚具的选择预应力结构成败的关键是在混凝土内部必须建立永久存在的预应力。后张构件或先张构件在预制时都要采用可靠的锚夹具来保持钢索的变形量，使它在结构内产生必要的预应力。由于受到自身结构和构造特征的限制，绝大多数预应力混凝土连续刚构桥是采用后张法施工的。因此，选用一种锚固性能好、成本低廉、使用简单且又与预应力连续刚构修建工艺相适应的锚固体系，就成为预应力设计的重要课题之一。后张法预应力混凝土结构所使用的锚具，主要可分为机械锚具和摩阻锚具两大类。机械锚固类锚具是在预应力钢材的端部采用机械加工形成一个适宜于锚固的工作条件来加以锚固。这类锚具通常用于锚固高强度粗钢筋或集束型高强钢丝，个别也有锚固单根或多根钢绞线的。其特点是锚具应力损失较小，连接比较方便，在未灌浆前可以重复张拉或放松以调整预应力。摩阻锚具类锚具是利用楔形锚具，将预应力钢材“挤紧”形成锚固作用，这类锚具品种较多，应用较广，其特点是锚力变化较多、吨位较大（单个锚具可达10000KN以上），穿索比较方便；不足之处是锚具损失较大，要重复张拉或连接较不方便。后张法构件中采用的锚具，按照所锚固的预应力筋的不同分为：粗钢筋锚具、钢丝束锚具以及钢绞线锚具三类。预应力混凝土连续刚构预应力锚具通常采用“群锚”体系，其常用型式有：OVM锚固体系、XYM锚固体系、VSL锚固体系、DM锚固体系、XM锚固体系以及其它一些组合体系。（3）预应力体系的设计近十年来，我国的预应力技术发展很快，无论从类型上，还是从张拉吨位上都已达到世界先进水平。国际上主要以VSL预应力体系为主，而国内普通使用相应的OVM体系，使预应力的施工工艺更加系统化、规范化。除此之外，还有一些其他的预应力体系，如DM、XM、粗钢筋以及一些组合体系，在应用上各有其优点，在设计和施工中应根据不同的桥梁结构，选择与之相应的预应力体系，从而达到便利、经济、安全之目的。预应力混凝土连续刚构预应力体系的设计通常采用OVM和XYM体系。该体系的顶板纵向钢束均采用平竖弯曲相结合的空间曲线，集中锚固在腹板顶部承托上，底板钢束则尽可能靠近齿板处锚固。这样布束具有如下特点：a.使预应力具有最大力臂，较大限度地发挥其力学效应，同时由于布束接近腹板，预应力以较短的传力路线分布在全截面上。b.顶板束锚固在承托中，不需设置复杂的齿板构造，使箱梁尺寸完全由受力需要来控制设计。c.顶、底板钢束在平面上按同样的S线型锚固于设计位置上，可以消除集中锚固点产生的横向力。（4）预应力效应的分析在预应力混凝土结构设计实践中，通常是根据经验先假定预应力钢束的分布图，而后进行应力分析（也就是全桥正常使用极限状态验算），检查结构各个截面的应力状态，当不能满足要求时则改进钢束分布，经过反复尝试，得到满足应力要求的钢束分布图。这种方法工作量非常大，所以许多学者在研究如何优化配筋。所以说，预应力筋、预应力锚具和预应力体系设计归根到底取决于预应力效应的分析。2.3 预应力筋布束原则连续刚构桥预应力筋束的配置应考虑以下原则：（1）满足构造要求。如孔道中心最小距离，锚孔中心最小距离，最小曲线半径等。（2）注意钢束平、竖弯曲线的配合及钢束之间的空间位置。钢束一般应尽量早地平弯，在锚固前竖弯。特别应注意竖弯段上下层钢束不要冲突，还应满足孔道净距的要求。钢束应尽量靠腹板布置。这样可以使预应力以较短的传力路线分布在全截面上，有利于降低预应力传递过程中局部应力的不利影响；能减少钢束的平弯长度；减小横向力；充分利用梗腋布束，有利于截面的轻型化。（3）应选择适当的预应力束筋的形式与锚具型式，对不同跨径的梁桥结构，要选用预加力大小恰当的预应力束筋，以达到合理的布置型式。避免造成因预应力束筋与锚具形式选择不当，而使结构构造尺寸加大。（4）预应力束筋的布置要考虑施工的方便，不能像钢筋混凝土结构中普通钢筋那样任意切断，从而导致在结构中布置过多的锚具，使结构构造变得复杂，施工不便。由于每根束筋都产生一巨大的集中力，这样锚下应力受力非常复杂，因而必须在构造上加以保证。（5）尽量以S型曲线锚固于设计位置，以消除锚固点产生的横向力。尽量加大曲线半径，以便于穿束和压浆。分层布束时，应使管道上下对齐，这样有利于混凝土浇注与振捣，不可采用梅花形布置。（6）顶板束的布置还应遵循以下原则：a.钢束尽量靠截面上缘布置，以极大发挥其力学效应；b.分层布束时应使长束布置在上层，短束布置在下层。首先，因为先锚固短束，后锚固长束，只有这样布置才不会发生干扰；其次长束通过的梁段多，放在顶层能充分发挥其力学效应；再次，较长束在施工中管道出现质量问题的几率较高，放在顶层处理比较容易些。（7）预应力束筋的布置，既要符合结构受力的要求，又要注意在超静定结构中避免引起过大的结构次内力。（8）预应力束筋应避免使用多次反向曲率的连续束，因为这会引起很大的摩阻损失，降低预应力束筋的效益。（9）预应力束筋的布置，不但要考虑结构在使用阶段的弹性受力状态的需要，而且也要考虑结构在破坏阶段的需要。2.4 预应力筋的布置型式预应力束筋的布置型式，与桥梁结构体系、受力情况、构造型式、施工方法等都有密切关系。由于连续刚构桥采用悬臂浇注法施工，施工阶段比较多，施工、设计复杂。由于受力的需要，钢束的设置也比较复杂，钢束种类繁多。通常设置的有：顶板束、腹板束、顶板连续束、底板连续束、横向预应力束、竖向预应力束、备用束等。从桥墩顶的0号块开始的平衡悬臂施工，所有布置在梁顶的束筋主要承受结构的重力与施工荷载，弯束是连续刚构桥承受剪力而布置的，而在中跨的合拢段附近下缘束和边跨用支架施工端的下缘束除了承受活载需要外，常因结构次内力在这些部位产生正弯矩而需要布置。2.5 工程背景图2.1龙潭河特大桥立面布置图(单位：cm)龙潭河特大桥是沪蓉国道主干线湖北至恩施公路上的一座5跨预应力混凝土连续刚构箱梁桥，该桥主桥墩最高178m，居国内梁式桥之最，跨径布置为106＋3×200m＋106m，箱梁根部梁高12m，跨中梁高3.5m，顶板厚28cm，底板厚从跨中至根部由32cm变化为110cm，腹板从跨中至根部分三段采用40cm，55cm，70cm三种厚度，箱梁高度和底板厚度按1.8次抛物线变化。图2.1为龙潭河特大桥立面布置图，图2.2为其跨中及根部断面尺寸图。对于这种对称布置的多跨连续刚构桥在分析时一般可取对称中间跨及两个边跨结构来简化模型。本文在第3章与第4章中取五跨平面分析模型进行分析，图2.2箱梁断面尺寸图（单位：cm）在第5章中平面分析模型和空间有限元图2.2箱梁断面尺寸图（单位：cm）在计算过程中材料特性参数及荷载取值如下：（1）截面尺寸横断面为直腹单箱单室，箱梁根部高12m，跨中高3.5m，顶板厚28cm，底板厚从跨中至根部由32cm变化为110cm，腹板从跨中至根部分三段采用40cm，55cm，70cm三种厚度，梁高按1.8次抛物线变化。箱梁顶板横向宽12.5m，底板宽6.5m，翼缘悬臂长3m在墩顶及跨中处设置有横隔板。（2）材料特性：主梁：C55混凝土；墩身：C50混凝土；C50混凝土弹性模量：E=3.45×104MPa；C55混凝土弹性模量：E=3.5×104MPa；泊松比：＝0.167；温度线膨胀系数：＝1.0×10－5。（3）预应力体系：纵向分别为1215.24、1915.24及2215.24三种不同束数的钢绞线，=1860MPa；横向为312.7钢绞线，=1860MPa；竖向预应力采用采用315.24钢绞线；在计算中纵、横、竖向预应力束张拉控制应力按0.75。（4）荷载取值温度荷载：合拢温度：，体系升温：+250C，体系降温：-25荷载等级：汽—超20、挂—120。三．基于弯曲能量最小法的纵向预应力优化设计3.1 概述大、中跨径预应力混凝土连续刚构通常采用悬臂施工方法。一般连续刚构桥预应力配筋是在成桥状态超静定结构体系下通过人工反复试算后选择可行的布置方案，或根据连续刚构桥弯矩包络图计算预应力筋。桥梁结构的理想控制目标是对应于某种性能指标最优的某一种结构状态，这种性能指标就是最优化目标函数。确定桥梁结构理想控制目标需要将结构分析、优化设计和施工仿真等方法结合起来。本文提出悬臂施工连续刚构桥预应力优化设计的新方法,其基本思想是首先选择施工控制截面，使离散截面的弯曲能量最小为优化目标函数，然后用MATLAB优化工具箱优化各阶段张拉的预应力钢筋数量。本文在优化设计中借助了平面杆系有限元软件进行施工仿真分析。本文提出的优化设计方法以各施工阶段各截面的应力为约束，不刻意追求节省预应力钢材，主要目的是使主梁变形小、截面应力均匀，有利于施工控制；并且使得施工阶段应力能满足施工要求、使用阶段内力能达到预期的理想状态。采用静力优化的方法进行分析，一般步骤如下：（1）建立合理的数学模型模型是对实际问题的一种近似描述，模型必须能反映问题的本质特征。塑造模型时应吸收工程上成熟的经验和结论，并在合理的范围内做一些近似，最后进行数学处理，获得优化问题的数学模型，这包括选择合理的设计变量、目标函数和约束条件。一般将影响目标函数的主要因素作为设计变量，而将次要因素作为预先确定的参数，以降低问题的维数。目标函数是评价设计方案优劣的标准，应选择最能体现优劣的指标作为优化目标，这需要综合考虑很多因素，如重量、造价、受力合理性、美观、舒适及环境的协调性等。约束条件是设计应遵守的规则，一般有界限约束、强度约束、刚度约束和稳定性约束等，除界限约束是显式外，其余的一般均为隐式，需通过结构的静力分析才能得到。（2）选择合适的优化算法优化算法指问题获得最优解所采用的方法。优化算法有很多种，一个合适的优化算法应结合实际情况，具有可靠性好、计算效率高、稳定性好和简便性等特点。选择合适的优化算法需要考虑设计变量的个数、类型，目标函数的形态、特点，约束条件的数目、形态、特点等，另外，还应该对最优解的大致范围及局部解有初步的估计和了解。一般的工程问题，多采用搜索法进行寻优。搜索法属于数学规划法的一种，有利用目标函数的梯度类算法，如牛顿法、共扼梯度法、梯度法等；有直接利用目标函数值的直接法，如单纯形法、复合形法、网格搜索法等。直接法适用于维数不多的问题，由于直接利用函数值，所以它最大的优点是不怕问题的病态性和退化性，其他算法不能求解的问题，用直接法一般也可获得较好的结果。（3）编制计算程序或引用已有的计算软件求解。根据建立的数学模型和选用的优化算法编制计算程序，通过计算机获得最优设计结果。编制的程序对同一类型的结构应通用。（4）分析获得的最优解的可靠性和合理性。优化结果是否合理、可靠需经过多方面的分析才能确定，包括可行性分析、结构的受力性能分析、美观分析、经济分析等，最后确定是否采用优化结果[37]。3.2 弯曲能量最小法基本原理弯曲能量最小法是用结构的弯曲应变能作为性能指标函数。任何结构的弯曲应变能都可写成：(3.1)对于离散的杆系结构可表示成：(3.2)式中：m是结构单元总数；Li、Ei和Ii分别表示i号单元的杆件长度、材料弹性模量和截面惯性矩；MLi，MRi分别表示单元左、右端弯矩。将式(3.2)改写成：(3.3)式中：、分别表示左、右端弯矩向量，[B]为系数矩阵(3.4)令截面左、右端恒载弯矩为、，施加预应力向量为,，则施加预应力后弯矩向量为：(3.5)(3.6)式中：[CL]、[CR]分别为预应力对施工阶段左、右端截面弯矩的影响矩阵。用同样的方法进行讨论，容易得到如下结论：（1）如果取弯曲应变能与拉压应变能之和为性能指标函数，则只要在式(3.3)中增加构件压力与预应力影响矩阵的关系项，就可方便地得出相应的最优预应力方程。（2）如果索力优化时只将结构中一部分主要截面上的内力应变能作为性能指标函数，则式(3.3)左右端的影响矩阵用预应力相应于这些主要截面内力的影响矩阵取代就可得出相应的最优索力方程。（3）式(3.4)中的[B]矩阵可以看成单元柔度对单元弯矩的加权矩阵，对于变截面箱梁，优化结果意味着刚度大的截面可适当多分担些弯矩。如果[B]矩阵可任意调整，则可根据构件的重要性，人为给出各构件在优化时的加权量。当[B]为单位阵时，优化性能指标函数就变成了弯矩平方和。（4）用恒、活载共同作用下的弯曲能量作为性能指标函数进行预应力优化，只需将内力组合后的结果代替式(3.3)中的和便可。（5）在优化整体内力的同时，如果还需要指定某些截面上的内力值(或应力值)，则预应力优化问题变成了求条件极值问题。本文使用了条件极值的求解方法。3.3 约束优化算法及实现约束优化问题根据约束函数的性质可分为：线性约束优化问题和非线性约束优化问题[39]。其标准形式分别如下所示。线性约束情形：(3.7)非线性约束情形：(3.8)求解约束优化问题的思路主要分为两大类：一是直接对目标函数采用搜索法在可行方向求出最优解；另一个是对目标函数进行转换，化为更易求解的问题来求原优化问题的最优解，比如无约束优化问题或动态规划问题等。3.3.1 可行方向法可行方向法可以看做是无约束下降算法的自然推广，其典型策略是从可行点出发，沿着下降的可行方向进行搜索，求出使目标函数值下降的新的可行点。算法的主要步骤是选择搜索方向和确定沿此方向移动的步长。3.3.2 惩罚函数法惩罚函数法的基本思想是，借助惩罚函数把约束问题转化为无约束问题，进而用无约束最优化方法来求解。由于约束的非线性，不能用消元法将问题化为无约束问题，因此在求解时必须同时照顾到既使目标函数值下降，又要满足约束条件这两个方面。实现这一点的一种途径是由目标函数和约束函数组成辅助函数，把原来的约束问题转化为极小化辅助函数的无约束问题。考虑等式约束问题：(3.9)可定义辅助函数：(3.10)其中参数σ是很大的正数，常称做惩罚因子。这样就把问题转化为无约束问题：(3.11)显然，(式3.11)的最优解必定使hj(x)接近零，否则，(式3.10)的第二项将是很大的正数。因此求解问题(式3.11)能够得到(式3.10)的近似解。考虑不等式约束：(3.12)辅助函数形式与等式约束情形不同，但构造函数的基本思想是一致的，这就是在可行点辅助函数值等于原来的目标函数值；在不可行点，辅助函数值等于原来的目标函数值加上一个很大的正数。由此，定义辅助函数：(3.13)当x为可行点时，max{0,gi(x)}=0；当x为不可行点时，max{0,gi(x)}=-gi(x)这样，可将问题(式)转化为无约束问题。(3.14)3.3.3 二次规划(QP)算法及实现在约束条件极值问题中，常用的方法是先将原问题转化为较容易的子系统问题，然后再求解并用做一个迭代过程的基础。很多种约束优化的一个特点就是为约束条件增加一个惩罚函数，从而将约束问题转化为基本的无约束条件问题。按照这种方法，条件极值问题可以通过参数化无约束条件优化序列来求解，不过这样求解的效率不高。目前这种方法已经被集中于对Kuhn-Yucker(KT)方程进行求解的方法所取代。KT方程是条件极值问题的必要条件，如果要解决的问题是所谓的凸规划问题(也即f(x),g(x)都是凸函数)，那么KT方程可以表示为：(3.15)上式第一个方程说明了优化目标函数和约束条件之间的梯度相互抵消，其中Langrange乘子λi(i=1,…m)。约束条件的拟牛顿法通过使用拟牛顿更新方程对KT方程累积二阶信息以保证超线性收敛。因为在每一个主要的迭代步骤中解决一个二次规划子问题，所以这些方法一般成为序列二次规划方法(SequentialQuadraticProgramming，SQR)，也称为迭代二次规划(IterativeQuadraticProgramming，SQP)等。下面将介绍解决约束优化问题的两种主要方法：序列二次规划方法(SQP)和二次规划(QP)子问题。1.算法描述序列二次规划(SQP)方法可以模拟解决无约束优化问题的牛顿方法来解决约束优化问题，在每一次迭代中，收敛可以由用拟牛顿(Quasi－Newton)方法得到的Langrange函数构成的Hessian矩阵来保证。从而转化为一个二次规划(QP)子问题，它的解产生线性搜索过程的搜索方向。序列二次规划(SQP)方法的主要思想如下所述：给定一个(式3.16)所示的GP问题，它的求解的基本思想就是基于Langrange函数的二次近似求解子问题的二次规划(QP)。(3.16)上式是假设约束条件为不等式约束后简化得到的，因此通过线性化非线性约束条件可以得到二次规划(QP)子问题：(3.17)此子问题可以通过任何QP算法来求解，例如可形成如下形式的新迭代方程：(3.18)步长参数αk通过合适的线性搜索过程来确定，从而可以使得某一指标函数值得到足够的下降量。dk为迭代的搜索方向。矩阵Hk是Langrange函数Hessian矩阵的正定近似，Hk可以用任何拟牛顿法进行更新，但BFGS方法更常用一些。BFGS方法是牛顿法的一种，具有比较好的数值稳定性。使用SQP算法，求解一个非线性约束优化问题比一个无约束优化问题所迭代的次数要少，只是因为受到解可行区域的限制，这种方法更可能得到恰当的搜索方向和迭代步长。例如考虑如下带非线性不等式的约束的Rosenbrock函数：(3.19)求解此函数的极值，如果用SQP算法实现，需经过96次迭代后得到问题的解；如果当做一个无约束优化问题来求解，则需迭代130次才能得到问题的解。2.算法的MATLAB实现（1）更新Langrange函数的Hessian矩阵在每一次主迭代中，H均作为Langrange函数Hessian矩阵的正定拟牛顿近似，采用BFGS方法进行计算，其中λi(i＝1，…，m)是Langrange乘子的估计。Hessian矩阵更新(采用BFGS方法)：(3.20)其中：H初始值为一个正定矩阵，在更新过程中通过保证qkTsk的正定性来维持Hessian矩阵的正定性，当qkTsk非正定时，通过修改其中的元素使得qkTsk>0。这样修改的目的是尽可能少地错改qk的值(qk与Hessian矩阵的正定更新有直接联系)，因此在修改的开始阶段，qkTsk中的大多数负的元素不断被除以2直至qkTsk大于或等于1e-5，如果在此过程中qkTsk仍然为负，则通过加上一个向量v与常熟标量w的乘积来改变qk的值。(3.21)其中：w对称增加直至qkTsk为正。在MATLAB优化工具箱中，fmincon、fminimax、fgoalatain和fseminf都使用了SQP算法。（2）求解二次规划子问题在SQP算法的每一次主迭代中都要求解一次如(式3.22)所示的QP问题(3.22)满足：求解过程包含两个阶段：第一阶段计算解的一个可行点；第二阶段产生可行点的一个迭代序列，这个序列收敛到问题的解。在这种方法中，一直保持着一个活动集合，Ak在每一次迭代时被更新，从而构成搜索方向的基础，等式约束的信息也包含在中，在搜索方向上，目标函数的值在约束边界内取得最小值；而的可行子空间又以Zk为基础，Zk与的估计值是正交的，即，因此由Zk任意列的线性和所构成的搜索方向被保证在约束边界内。矩阵Zk由矩阵分解后的第l＋1列到第m列组成，l是约束的数目(l<m),也就是说由下式得到：(3.23)其中：这样，我们以p代替，则待求的二次问题可以转化为p的函数：(3.24)关于P差分形式为：▽q(p)称为二次函数的规划梯度，ZkTHZk称为规划Hessian矩阵，当▽q(p)＝0时，▽q(p)在由Zk定义的子空间上取得最小值，它就是下列线性方程的解：从而得到迭代形式：(3.25)（3）线性搜索和计算指标函数如上节所述，求解QP子问题得到一个向量dk，由它可得到新的迭代：аk的每次取值必须保证指标函数有足够的下降量，这里的指标函数如(式3.26)所示：(3.26)其中：3.4 MATLAB优化工具箱介绍本文利用fmincon函数求多变量有约束非线性函数的最小值，fmincon函数中采用了上节中提到的序列二次规划算法。假设多变量非线性函数的数学模型为：(3.27)式中，x，b，beq，lb和ub为向量，A和Aeq为矩阵，c(x)和ceq(x)为函数，返回标量。f(x)，c(x)和ceq(x)可以是非线性函数。Fmincon函数的调用格式如下：(3.28)调用格式中，fun函数中定义所求的函数；xo为给定的初值；线性等式Aeq·x=beq和线性不等式A·x≤b中的向量b、beq和矩阵A、Aeq均在上式中设置，若无不等式存在则A=[]，b＝[]，同样，无等式存在则Aeq＝[]，beq=[]；设计变量x的下界为lb和上界lu，使得总是有lb≤x≤ub，当无边界存在时，令lb=[]和ub=[]；nonlcon参数计算非线性不等式约束c(x)≤0和非线性等式约束ceq(x)=0，要求输入一个向量x，返回两个变量－解x处的非线性不等式向量c和非线性等式向量ceq；当调用格式中有options时，将按options指定的参数进行最小化。在中型优化算法中，fmincon函数使用二次规划法(SQP)。本法中，每一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。本文中将使用中型优化算法。在使用该函数的过程中，还有一些需要注意的问题：（1）如果用Aeq和beq清楚地提供等式约束，将比用lb和ub获得更好的数值解。（2）在二次子问题中，若有等式约束并且诸因变等式被发现和剔除，则将在过程标题中显示‘dependent’。只有在等式连续的情况下，因变等式才会剔除。若等式系统不连续，则子问题将不可行并在过程标题中输出‘infeasible’消息。（3）目标函数和约束函数都必须是连续的，否则可能会给出局部最优解。（4）当问题不可行时，fmincon函数将试图使最大约束值最小化。（5）目标函数和约束函数都必须是实数[40]。3.5 工程实例分析图3.1龙潭河特大桥钢筋布置图本节将基于最小弯曲能量法提出了悬臂施工连续刚构桥预应力优化设计方法。通过选择施工控制截面以离散截面的弯曲能量之和最小为目标函数，以各截面在各施工阶段的应力为约束条件，优化得到各施工阶段张拉的纵向预应力钢筋数量。本文将此优化方法用于龙潭河特大桥，优化其纵向预应力钢筋。图3.1为龙潭河特大桥－连续刚构桥预应力钢筋的布束型式及各个位置的预应力大样图。其中，在悬臂施工阶段，每个截面相应地张拉两束顶板束及两束腹板下弯束(左右腹板各一束，在优化计算中，把两束相同的预应力钢筋当成一束来求影响矩阵)；合拢段主要为底板束居多。T代表顶板束，共22×4束(共4个墩)；W代表腹板下弯束，共21×4束；CT代表中跨合拢束的顶板束，共1×3束(3段中跨合拢段)；CB代表中跨合拢束的底板束，共13×3束；ST代表边跨合拢束的顶板束，共3×2束(2段边跨合拢段)；SB代表边跨合拢束的底板束，共7×2束。CB与SB是同时张拉的。3.5.1 纵向预应力布束形式对应力的影响取消下弯束的配束方案具有明显的优点：（1）腹板内大部分空间无纵向预应力管道，使腹板混凝土的浇筑极为方便。（2）由于可将预应力筋尽量设置在腹板承托内，即最大受力部位，可以节省预应力钢材，经济效益客观。取消下弯束在以往的设计经验中有成功的先例，如从广州洛溪大桥开始取部分下弯束，到虎门大桥辅航道桥取消全部的下弯束，使得这一布束方法得以推广。但是竖向预应力损失通常都比较大，如果纵向只布直束，腹板的主拉应力往往不能满足应力要求，所以鉴于目前的设计偏于保守，设置下弯束布束方案仍然占据主导。本文中的依托工程设置了下弯束。表3.1最大悬臂状态腹板束下弯与不下弯的主梁控制截面的内力项目断面腹板束下弯腹板束不下弯弯矩(kN.m)剪力(kN)弯矩(kN.m)剪力(kN)边跨跨中-80300-13700-70300-146001/4跨-66800-22000-32600-24800根部16100-3130073200-35300中跨跨中00001/4跨-81200-13800-71100-14700根部12500-3130069700-35400表3.2正常使用状态腹板束下弯与不下弯的主梁控制截面的内力项目断面腹板束下弯腹板束不下弯最大弯矩(kN.m)最小弯矩(kN.m)最大弯矩(kN.m)最小弯矩(kN.m)边跨跨中-22100-75700-16800-659001/4跨-55400-141000-29300-109000根部-39200-1720005600-120000中跨跨中26900-11200026100-114001/4跨30200-4420038100-35200根部-43700-2470007470-197000表3.3最大悬臂状态腹板束下弯与不下弯的主梁控制截面的应力Mpa项目断面腹板束下弯腹板束不下弯上缘正应力下缘正应力主拉应力上缘正应力下缘正应力主拉应力边跨跨中4.9110.5-0.6615.5510.4-0.7021/4跨7.329.38-0.5048.339.11-0.608根部9.438.54-0.57210.58.23-0.693中跨跨中0000001/4跨4.8810.5-0.6675.5210.4-0.734根部9.388.59-0.57410.48.27-0.696表3.4正常使用状态腹板束下弯与不下弯的主梁控制截面的应力Mpa项目断面腹板束下弯腹板束不下弯上缘正应力下缘正应力主拉应力上缘正应力下缘正应力主拉应力边跨跨中5.639.42-0.7296.269.34-0.7971/4跨7.29.4-0.5868.219.13-0.695根部8.879.0-0.6699.928.69-0.796中跨跨中8.0411.9-0.0208.7712.1-0.0911/4跨8.026.29-0.8948.656.2-0.965根部9.18.71-0.72110.28.4-0.85为了验证腹板下弯束对结构的作用，对龙潭河特大桥取消下弯束和有腹板下弯束两种布束方式进行施工仿真，表3.1、表3.2给出最大悬臂状态阶段和正常使用状态主梁控制截面的内力，表3.3、表3.4给出最大悬臂状态阶段和正常使用阶段主梁控制截面的应力。考虑两种预应力情况：预应力1－含有腹板下弯束；预应力2－不含腹板下弯束。从表3.1-表3.4可以看出:（1）腹板剪力受支座负弯矩区段的预应力布束形式影响不大。布直束时剪力增加13％左右。从表3.1和表3.2的弯矩栏可以看出，两种不同预应力状况下，弯矩变化很大，布直束时部分弯矩值由正弯矩变为负弯矩。（2）中间支座负弯矩区预应力筋布置方式对腹板主拉应力影响比较大。从表3.3中可以看出，直线布束与下弯布束相比，腹板主拉应力增大20％左右。而且，布直束时，主梁上下缘的正应力都要相应增大。（3）取消下弯束的配束方案是有理论依据的。从桥梁结构整体而言，连续刚构桥的主梁是一个受弯构件，加上强大的纵向预应力筋之后，主梁实际上成为一个小偏心受压构件，而不是受弯构件。而通过配置竖向预应力可以解决腹板主拉应力增大的问题。因此可以不设置腹板下弯束。但是，许多学者通过现场测试与试验发现，在大跨径桥梁中竖向预应力损失通常很大，腹板主拉应力过大而造成腹板开裂，所以竖向预应力的施工质量及构造形式是一个值得研究的问题。所以，一般在设计纵向预应力时，仍采用有腹板下弯束的纵向预应力钢筋布束形式。对只布置顶板直束的布束形式仍待进一步研究。3.5.2 结合弯曲能量最小法与MATLAB优化工具箱对背景桥进行优化设计，首先要建立优化的目标函数及约束条件。1.最大悬臂状态的目标函数基于弯曲能量最小法，以最大悬臂状态的弯曲应变能为性能指标函数。因主梁为五跨对称结构，且在最大悬臂状态，4个单T结构完全相同，且单T的左右对称，所以只取其中一个单T结构的半边悬臂计算弯曲应变能。由3.2节可知，结构弯曲应变能可写成：(3.29)式中：、分别表示左、右端弯矩向量，[B1]为系数矩阵：(3.30)n为所计算节段数。令截面左、右端恒载弯矩为、，施加预应力向量为,是所要求的变量，，则施加预应力后弯矩向量为：(3.31)(3.32)式中：[CL1]、[CR1]分别为最大悬臂状态预应力对施工节段左、右端的弯矩影响矩阵。可通过平面杆系有限元软件求得最大悬臂状态的预应力弯矩影响矩阵[CL1]与[CR1]。预应力影响矩阵的计算方法可表述如下：由于每束预应力筋的截断位置（即张拉位置）与根数不同，故各束预应力钢筋影响到的主梁截面数也将不同。在各个施工阶段张拉相应的预应力束中的一根，用平面杆系有限元软件进行计算，可得到已浇注节段的主梁弯矩值和轴力值，最后可形成相应施工阶段的预应力弯矩影响矩阵[C]1i和轴力影响矩阵[Np]1i。因施工方法采用悬臂浇注法，所以得到的预应力影响矩阵为一系列下三角矩阵。各阶段的预应力影响矩阵将在约束条件中用到，而目标函数中只需要代入最大悬臂状态的预应力影响矩阵[CL1]与[CR1]。在各施工阶段不张拉预应力钢筋，则可以通过上述方法求得恒载影响矩阵与。其中，、[CR1]和[B1]见表3.5、表3.6及表3.7。与[CL1]分别为、[CR1]去掉矩阵的第一列，并在最后一行补一列零元素。2.正常使用状态的目标函数基于最小弯曲能量法，以正常使用状态主梁的弯曲应变能为性能指标函数，则结构弯曲应变能可写成：(3.33)(3.34)(3.35)(3.36)式中：′为最大悬臂状态弯曲能量最小时优化得到的预应力钢筋向量。CB1、CB2与CB3中各有13束底板束；为了简化设计变量，假定这13束底板束的根数相等，且等价为一个设计变量。ST1与ST2(三束)、SB1与SB2(7束)也用同样的方法简化。全桥共划分为202个节段，203个截面，30个施工阶段，53种类型的预应力钢筋(已求得的静定束43种，待求的后期束10种)，故为1行×53列的矩阵；恒载弯矩影响矩阵、为30行×202列的矩阵；预应力弯矩影响矩阵[CL1]、[CR1]为53行×202列的矩阵；系数矩阵[B2]为202行×202列的矩阵。各影响矩阵的求法同最大悬臂状态影响矩阵的求法。3.5.3 约束方程一般称在最大悬臂状态前施加的预应力束为静定束，合拢阶段施加的预应力表3.5节段左截面恒载弯矩影响矩阵{ML01}22×22(单位：kN.m)``①②252423222120191817161514131211109876542-39570000000000000000000003-19980-3796000000000000000000004-42750-19350-364100000000000000000005-70980-41370-18740-34900000000000000000006-104900-68570-40030-18160-3345000000000000000007-144100-101200-66250-38750-17590-320600000000000000008-187900-138900-97720-64020-37510-17050-30720000000000000009-239900-184500-136900-96840-63920-37890-17620-35610000000000000010-294200-233000-179700-133800-95170-63390-38190-18740-3262000000000000011-352500-285800-227000-175600-131500-94200-63520-39160-18000-311500000000000012-414300-342400-278400-221800-172400-129800-93890-64280-37710-17430-29760000000000013-487200-409700-340000-277800-222700-174600-133000-97770-64760-38630-18340-3589000000000014-564200-481300-406300-338700-278300-224800-177900-137300-98130-65870-40040-20000-341700000000015-640600-552800-472900-400500-335200-276900-225100-179600-135000-97160-65780-40540-18800-30390000000016-719800-627500-542900-465800-395900-332900-276500-226400-176400-133300-96600-66050-38680-18030-2912000000017-797700-701100-612400-531100-456900-389700-329100-274700-219900-172000-130500-95130-62330-36600-17140-269600000018-878300-777600-684800-599400-521200-449900-385200-326800-267300-214800-168600-128600-90550-59580-35230-16640-26010000019-961500-856900-760100-670800-588600-513400-444700-382400-318500-261400-210700-166200-123100-87050-57630-34310-16300-2521000020-1047000-939000-838400-745300-659300-580200-507700-441600-373200-311800-256700-207800-159800-118800-84480-56230-33630-16010-245400021-1136000-1024000-919900-823000-733300-650500-574200-504300-431700-366000-306600-253400-200600-154800-115600-82590-55160-33070-15780-24010022-1229000-1113000-1005000-904300-810900-724400-644500-570900-494000-424100-360500-303100-245500-195000-151100-113300-81160-54330-32640-15610-2364023-1325000-1206000-1094000-989600-892500-802300-718800-641500-560500-486400-418700-357100-294800-239600-191000-148500-111700-80130-53750-32370-15510-2345注：①表示施工阶段号②表示控制截面号表3.6节段左截面预应力弯矩影响矩阵[CL1]43×22(单位：kN.m)①②钢筋号252423222120191817161514131211109876542T12090000000000000000000000W13380000000000000000000003T22120199000000000000000000000W21280347000000000000000000004T32150201018900000000000000000000W31810123035100000000000000000005T42160203019001780000000000000000000W41840172012203730000000000000000006T52170204019101790167000000000000000000W51880177016601230399000000000000000007T62180205019201800168015700000000000000000W61900180016901590127050500000000000000008T72190206019301810169015801470000000000000000W71960184017201610150012104800000000000000009T82190206019301810169015801470137000000000000000W816301510140012901180108098454700000000000000………………21T202220208019501830171016001490139012801170107098388780172364458353048645100W201860175016501540144013301240114010509498597766906125424704153683292840022T21219020801960185017301620151014001290119010909938968097306505895364924564290W212000189017801670156014501350125011501050953865775692618542485435393360328023T2221802070195018401720161015001400129011801080990894807729648587534490455428409注：①表示施工阶段号，T为顶板束，W为腹板束②表示控制截面号表3.7弯曲应变能系数矩阵[B1]22×22①②2524232221201918171615141312111098765425.04E-08000000000000000000000305.77E-08000000000000000000004006.63E-08000000000000000000050007.62E-08000000000000000000600008.77E-08000000000000000007000001.01E-07000000000000000080000001.17E-07000000000000000900000001.55E-070000000000000010000000001.94E-070000000000000110000000002.30E-070000000000001200000000002.75E-070000000000013000000000003.67E-070000000000140000000000004.47E-070000000001500000000000005.44E-070000000016000000000000006.60E-070000000170000000000000008.33E-070000001800000000000000009.98E-070000019000000000000000001.18E-060000200000000000000000001.38E-060002100000000000000000001.57E-060022000000000000000000001.75E-060230000000000000000000001.88E-06注：①表示施工阶段号②表示施工阶段号束为后期束。1.最大悬臂状态假定连续刚构在某个施工阶段张拉的预应力筋根数向量为{T}1i，该预应力筋产生的内力影响矩阵为（包括弯矩值及轴力值），本阶段的恒载影响矩阵为，最大容许应力向量为{Ecc1},最小容许应力向量为{Ect1}。各施工阶段产生的{T}1i、、是最大悬臂状态产生的{T}1、、的子块矩阵(取节段的左截面的影响矩阵或右截面的影响矩阵均可)。约束方程可表述为：(3.37)在建立约束方程时，必须保证在各个施工阶段中，已经浇注节段的截面应力均不超过相应的容许应力，以达到施工要求。在悬臂浇注法中，随着浇注节段的增加，所需要约束的截面也是逐渐增加的，约束方程比较多。本文所验算的桥梁最大悬臂状态悬臂端有22个施工阶段(除去0号块，浇筑0号块时没有张拉预应力钢筋)，且在求解过程中，约束方程需左右分开表达成两个不等式，因此，共有(22+21+20…+1)×2＝506个约束方程。按文献[41]规定，预应力混凝土受弯构件，在预应力和构件自重等施工荷载作用下截面边缘混凝土的法向应力应符合下列规定：（1）压应力(3.38)（2）拉应力(3.39)式中:、－按短暂状况计算时截面预压区、预拉区边缘混凝土的压应力、拉应力。、－与制作、运输、安装各施工阶段混凝土立方体抗压强度相应的抗压强度、抗拉强度标准值。C50混凝土中，，。即，在式(7)中，。2.正常使用状态对于全预应力混凝土，后期束布置的原则是确定预应力的分布及大小，抵消正常使用阶段正截面上产生的拉应力，使主梁全截面受压。将最大悬臂状态产生的实际应力状态作为初态，依合拢施工阶段结构体系转换过程及布置活荷载阶段，计算所有后期束在以上阶段的结构响应，得到各阶段的影响矩阵，其过程可描述为：（1）按施工正装顺序计算所有施工荷载及静定束在各合拢阶段产生的结构内力。（2）分别施加每束合拢段预应力筋中的一根，用平面杆系有限元软件进行计算(此阶段是超静定结构，要计入其产生的二次内力)。计算得到正常使用阶段单根预应力筋下各截面的预应力弯矩值，最后可得到内力影响矩阵[C2]。（3）布置活载后，根据文献[41]要求计算短期效应应力组合，并对其相应的最不利组合应力进行约束，在荷载短期效应组合下，分段浇注的纵向分块构件必须满足：(3.40)但在荷载长期效应组合下(3.41)式中:－在作用(或荷载)短期效应组合下构件抗裂验算边缘混凝土的法向拉应力。－在作用(或荷载)长期效应组合下构件抗裂验算边缘混凝土的法向拉应力。－扣除全部预应力损失后的预加力在构件抗裂验算边缘产生的混凝土预压应力。这一阶段后期束的优化方法与最大悬臂状态的静定束优化方法相同。Matlab提供了fmincon函数求解约束非线性优化问题。本文将采用fmincon函数进行优化求解。以主梁弯曲能量(式3.29或3.33)作为目标函数，以各阶段应力应力(式3.38～式3.41)作为约束条件，通过Matlab优化工具箱即可求解出最大悬臂状态阶段的静定束和合拢阶段的后期束。3.5.4 取设计变量为每束预应力束的根数，则原设计方法中的预应力束根数向量的可表示为：T＝{19，22，22，22，22，22，22，22，22，22，19，19，19，19，19，19，19，19，19，19，19，19}W＝{12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12}CT＝{12}CB＝{19，19，19，19，19，19，19，19，19，19，19，19，19}ST＝{12,19,19}SB＝{12，12，12，12，12，12}在确定主梁截面尺寸与预应力钢筋的布束型式的前提下，以全桥离散截面弯曲能量最小为目标函数，各施工阶段应力及正常使用阶段应力为约束条件，优化得到每束预应力钢筋的用量。当限定设计变量(指各束预应力钢筋得根数)的取值范围为5<x<25时，基于弯曲能量最小法优化得到预应力束根数向量为：T＝{15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，25，25，25，25，25，25，25，25，25，25，15}W＝{8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，12，15，8，15，15，15，15，15，15}CT＝{20}CB＝{10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10}ST＝{15,15,15}SB＝{10，10，10，10，10，10}图3.2-图3.7为各种方法得到的分析结果。其中，最大悬臂状态荷载包括自重、预应力和施工荷载(挂篮及临时荷载)，正常使用阶段阶段荷载包括自重、预应力和汽车荷载。横坐标代表主梁控制截面标号，其中4号为最大悬臂状态自由端截面标号，25号为1号墩根部截面号；25和29、75和79、125和129、175和179号为图2.1中1号－4号双支薄壁墩的左端与右端根部截面号。在原设计方法中，使用节段施工的建模方法，考虑了各施工阶段对结构内力及应力的影响。同时也考虑了预应力钢束的各项预应力损失：摩阻损失、钢束回缩、应力松弛、弹性压缩及收缩徐变。弯曲能量法、弯矩平衡法及用钢量最小法在优化过程中只考虑了摩阻损失、钢束回缩及应力松弛。弹性压缩及收缩徐变引起的预应力损失既与外荷载有关，又与预应力束布置有关，还与时间有关；在未确定实际预应力钢筋实际数量的情况下，弹性压缩及收缩徐变引起的预应力损失很难确定下来，且其影响比较小，在最后仿真分析阶段通过杆系有限元软件进行正装计算考虑进去。从最大悬臂状态结构受力状态(图3.2)来看，弯矩平衡法和弯曲能量最小法较为理想。这两种优化方法的主梁弯矩都比较小，原设计方法与用钢量最小法的结果比较接近，但主梁弯矩值比较大。从最大悬臂状态主梁上下缘应力比(图3.3)来看，弯矩平衡法最为理想。在最大悬臂状态，上下缘应力比都在1左右，表明主梁几乎达到了中心受压状态，受力均匀。弯曲能量最小法在0.6-1.2之间波动，但大部分在1.1左右，结果也比较好。原设计方法与用钢量最小法(应力比在0.4-1.7之间)所得的应力比波动太大。图3.2最大悬臂状态主梁弯矩图3.3最大悬臂状态主梁上下缘正应力之比图3.4最大悬臂状态主梁竖向位移图3.5长期效应组合底板正应力包络图图3.6长期效应组合顶板正应力包络图图3.7用钢量直方图从各阶段的应力图(图3.2、图3.5、图3.6)来看，弯曲能量法在最大悬臂状态得到的主梁应力最好，上下缘应力几乎相等，截面应力均匀。在正常使用阶段，主梁没有出现拉应力，达到了全预应力的要求；并且，主梁的压应力都在4-11Mpa之间，表明主梁有足够的压应力储备。从3.5.5 参数分析在悬臂浇注阶段，对应于每个施工阶段，张拉相应的一束顶板束与一束底板束。本节主要研究了当顶板束与腹板束的根数比（即面积比）取不同的比值时，主梁的内力、位移及用钢量的变化情况。这里取了9个比值，分别为0、0.5、1、2、3、4、5、6和∞。其中，0代表只有腹板下弯束的情况，∞代表只有顶板束即直束的情况。同上节，采用最小弯曲能量法优化得到每束预应力钢筋的根数。从图3.8中可以得出，随着顶板束与腹板束的根数比(在图中，用横坐标8表示比值为∞)增大，用钢量将不断减少，当只采用顶板直束时最少，为671.6t。同时，还可以看出，限定顶板束与腹板束的根数的比值为2与∞之间，比限定根数向量上下界得到的用钢量更少。且根数的比值为2到∞之间时,用钢量变化比较缓慢.从图3.9和图3.10中可以得到，目标函数取全桥弯曲能量最小时，顶板束与腹板束的根数比对最大悬臂状态主梁的弯矩及上下缘正应力比没有太大影响，即主梁弯矩比较小且应力比较均匀。从图3.11中可以看出，随着顶板束与腹板束的根数比增大，主梁的最大悬臂状态的主梁位移逐渐减小，比值在2到∞之间的主梁的位移都比较小，有利于合拢阶段施工。图3.8用钢量变化图图3.9最大悬臂状态主梁弯矩图3.10最大悬臂状态主梁上下缘正应力之比图3.11最大悬臂状态主梁竖向位移图3.12长期效应组合顶板正应力包络图图3.13长期效应组合底板正应力包络图注：实心点代表包络图中的最大正应力，空心点代表包络图中的最小正应力。图3.12和图3.13表明了正常使用阶段，各种情况得到的主梁的上下缘正应力都在规范要求内，都比较合理，且有一定的预应力储备。综上所述，当顶板束与腹板束的根数比为2～3时，主梁的内力、位移、应力结果都比较好，并且用钢量比较小。虽然只布直束时得到的结果也比较合理，且用钢量更小，但是，在连续刚构中，需要提供一部分下弯束来抗剪，所以不提倡只布直束[22]。3.6 三种能量法的比较连续刚构在弯矩、剪力和轴力的综合作用下，结构的总能量由弯曲应变能、轴压应变能及剪切应变能组合而成，总能量可表达为：(3.42)式中：E－弹性模量；G－剪切模量；I－抗弯惯矩；A－截面面积；k－剪应力不均匀分布系数。在平面杆系有限元中，箱形截面梁可以等价为工字形梁，而工字形梁的剪应力不均匀分布系数，A为全截面面积，为腹板截面面积。表3.8最大悬臂状态主梁单T结构的能量比较方法能量弯曲应变能(J)轴压应变能(J)剪切应变能(J)总能量(J)原设计方法8.77E+042.62E+062.33E+052.94E+06弯曲能量最小法8.41E+033.00E+062.70E+053.28E+06弯矩平衡法7.05E+032.74E+062.77E+053.02E+06用钢量最小法1.03E+052.47E+062.31E+052.80E+06表3.9正常使用状态主梁结构的能量比较方法能量弯曲应变能(J)轴压应变能(J)剪切应变能(J)总能量(J)原设计方法1.61E+051.29E+071.23E+061.43E+07弯曲能量最小法1.41E+051.30E+071.22E+061.44E+07弯矩平衡法1.48E+051.19E+071.36E+061.34E+07用钢量最小法3.63E+051.23E+071.20E+061.39E+07就常规材料建造的连续刚构而言，轴力与剪力并不控制主梁的设计尺寸，主要是由弯矩控制。亦就是说，弯矩耗费的材料比较多。因此，一般用弯曲应变能的多少作为结构经济指标的衡量标准。但为了作为比较，表3.8-表3.9给出4种方法在最大悬臂状态及正常使用状态的三种应变能。从以上两个表格可以看出，各种方法对剪切应变能和轴压应变能的影响并不是很大，而对弯曲应变能的影响非常大。从弯曲能量最小法可以看出，在最大悬臂状态主梁单T结构的弯曲应变能相对比较小，轴压应变能比较大；而在正常使用阶段，主梁的弯曲应变能最小，轴压应变能最大，达到了最优的状态。以上现象可以这样解释：从桥梁结构整体而言，连续刚构桥的主梁是一个受弯构件，但加上强大的纵向预应力筋后，主梁实际上成为一个小偏心受压构件；因而合理配置预应力钢筋，可使得主梁的弯矩很小（弯曲应变能小），轴力比较大（轴压应变能大），如弯曲能量法和弯矩平衡法。但主梁的剪力主要由主梁的恒载提供，主梁弯束提供少部分，因而剪切应变能变化不大。由此可见，选取弯曲应变能最小为目标函数是可行的。从三中能量的数量级可以看出，轴压应变能要比弯曲应变能大2～3个数量级，而剪切应变能比弯曲应变能大1～2个数量级，再加上各种方法对剪切应变能的影响不大，因此，以总能量作为目标函数可能会引起大数吃小数的后果，不宜以总能量作为目标函数。这也证明了前面所说的理论：弯矩耗费的材料比较多。因此，一般用弯曲应变能的多少作为结构经济指标的衡量标准。3.7 本章小结综合比较，可以得出基于最小弯曲能量法的纵向预应力优化方法是较为理想的优化方法，它使得主梁受力、变形较小，且应力比较均匀，特别适用于优化含腹板下弯束的纵向预应力钢筋。弯矩最小法概念简单、计算方便，可以在只要求配置直束的中小跨径刚构桥中使用，但必须按照实际施工过程进行仿真分析，验算施工应力是否满足要求。在实际应用中，特别是对于大、中跨径的预应力混凝土连续刚构桥，为了得到最优的纵向预应力，应采用几种不同的方法进行优化计算并进行比较，最后得到最优的解。参考以往的连续刚构梁的预应力钢筋设计图，一般在布置静定束时顶板束与腹板下弯束的比值接近2。通过参数分析，也可得出，在设计预应力钢筋时，取顶板束与腹板下弯束的根数比值为2～3时，得到的主梁内力、应力及用钢量都比较优。建议在设计预应力束时根数比值取2～3之间。在弯曲应变能、轴压应变能和剪切应变能中，选取弯曲应变能为目标函数是有一定的依据的，基于弯曲能量最小法的纵向预应力钢筋的优化设计有一定的工程实用价值。四．连续刚构预应力参数优化设计4.1 概述在土木工程、航天航空等领域，结构优化设计技术正得到越来越广泛的应用，结构优化设