三角函数难题训练

-.z.1、*市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6m，∠ABC=45°，后考虑到平安因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC=30°〔如下图〕．〔1〕求调整后楼梯AD的长；〔2〕求BD的长．〔结果保存根号〕2、如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP=74°，∠BEQ=30°；在点F处测得∠AFP=60°，∠BFQ=60°，EF=1km．〔1〕求证AB=AE；〔2〕两个岛屿A和B之间的距离为多少km〔结果准确到0.1km〕〔参考数据：根号3≈1.73，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24〕3、一副三角板按图1所示的位置摆放．将△DEF绕点A〔F〕逆时针旋转60°后〔图2〕，测得CG=10cm，则两个三角形重叠〔阴影〕局部的面积为多少？4、如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，以下结论：①tan∠AEC=；②S△ABC+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正确结论的个数是〔〕A、1个B、2个C、3个D、4个5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3，则以下结论正确的选项是〔〕A、S1=S2=S3B、S1=S2＜S3C、S1=S3＜S2D、S2=S3＜S16、在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE〔点E，F分别在线段AB，CD上〕，记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出以下命题①假设，则tan∠EDF=，；②假设DE的平方=BD•EF，则DF=2AD．则〔〕①是真命题，②是真命题B、①是真命题，②是假命题C、①是假命题，②是真命题D、①是假命题，②是假命题7、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，假设tan∠DBA=，则AD的长是多少？8、在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F为BC的中点，连接DE、DF、EF，则结论：①DF=EF；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等边三角形；④BE+CD=BC；⑤当∠ABC=45°时，BE=DE中，一定正确的有〔〕A、2个B、3个C、4个D、5个如图，两个高度相等且底面直径之比为1：2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．假设把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是〔〕10、如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D．飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了6千米到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，而山头D恰好在飞机的正下方．求山头C、D之间的距离．11、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4倍根号2，∠B=45°动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．〔1〕求BC的长；〔2〕当MN∥AB时，求t的值；〔3〕试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．12、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停顿运动．设运动的时间为t〔秒〕．〔1〕设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；〔2〕当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；〔3〕当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；〔4〕是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由．13、水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库进展加固．原大坝的横断面是梯形ABCD，如下图，迎水面AB的长为10米，∠B=60°，背水面DC的长度为10倍根号3米，加固后大坝的横断面为梯形ABED．假设CE的长为5米．〔1〕需加固的大坝长为100米，则需要填方多少立方米；〔2〕新大坝背水面DE的坡度为多少？〔计算结果保存根号〕14、如图15，*市郊外景区一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏,东30°方向上，景点D位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，AB=5km，AD=8km.AABCa北D30°〔图15景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；〔结果准确到0.1km〕求景点C与景点D之间的距离〔结果准确到1km〕〔参考数据：≈1.73，≈2.24，sin53°=cos37°=0.80，sin37°=cos53°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=cos52°=0.62，sin52°=cos38°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.79，cos75°=0.26，tan75°=3.73〕15*地震救援队探测出*建筑物废墟下方点处有生命迹象，废墟一侧地面上两探测点A，B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°〔如图〕，试确定生命所在点C的深度．〔结果准确到0.1米，参考数据：，〕16、〔1〕如图16-1，16-2，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角确实定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律。AAB1B2B3C3C2C1图16-1AACB1B2B3图16-2〔2〕根据你探索到的规律，试比拟18°，35°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小比拟大小，〔在空格处填写“＜〞“＞〞“或〞“＝‘’〕假设α=45°，则sinαcosα假设α＜45°，则sinαcosα假设α＞45°，则sinαcosα利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比拟以下正弦值和余弦值的大小。sin10°、cos30°、sin50°、cos70°1、解：〔1〕AB=6m，∠ABC=45°，∴AC=BC=AB•sin45°=6×=3，∠ADC=30°．∴AD=2AC=6．答：调整后楼梯AD的长为6m；〔2〕CD=AD•cos30°=6×=3，∴BD=CD-BC=3-3．答：BD的长为3-3〔m〕．解：〔1〕相等〔1分〕因为∠BEQ=30°，∠BFQ=60°，所以∠EBF=30°，所以EF=BF〔2分〕又因为∠AFP=60°，所以∠BFA=60°．在△AEF与△ABF中，EF=BF，∠AFE=∠AFB，AF=AF，所以△AEF≌△ABF，所以AB=AE〔5分〕〔2〕方法一：作AH⊥PQ，垂足为H，设AE=*则AH=*sin74°，HE=*cos74°HF=*cos74°+1〔7分〕Rt△AHF中，AH=HF•tan60°．所以*sin74°=〔*cos74°+1〕•tan60°即0.96*=〔0.28*+1〕×1.73所以*≈3.6，即AB≈3.6km答：两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km．〔10分〕方法二：设AF与BE的交点为G，在Rt△EGF中，因为EF=1，所以EG=〔7分〕在Rt△AEG中，∠AEG=76°，AE=EG÷cos76°=÷0.24≈3.6答：两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km．〔10分〕3：过G点作GH⊥AC于H，如图，∠GAC=60°，∠GCA=45°，GC=10cm，在Rt△GCH中，GH=CH=GC=5cm，在Rt△AGH中，AH=GH=cm，∴AC=〔5+〕cm，∴两个三角形重叠〔阴影〕局部的面积=•GH•AC=×5×〔5+〕=25+4、解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形， ∴AB=BC，CD=DE，∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，∴∠ACE=90°；∵△ABC∽△CDE∴==①∴tan∠AEC=，∴tan∠AEC=；故本选项正确；②∵S△ABC=a2，S△CDE=b2，S梯形ABDE=〔a+b〕2，∴S△ACE=S梯形ABDE-S△ABC-S△CDE=ab，S△ABC+S△CDE=〔a2+b2〕≥ab〔a=b时取等号〕，∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE；故本选项正确；④过点M作MN垂直于BD，垂足为N．∵点M是AE的中点，则MN为梯形中位线，∴N为中点，∴△BMD为等腰三角形，∴BM=DM；故本选项正确；③又MN=〔AB+ED〕=〔BC+CD〕，∴∠BMD=90°，即BM⊥DM；故本选项正确．应选D．5、解：设三角形的三边长分别为a、b、c，∵分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，∵AE=AB，∠ARE=∠ACB，∠EAR=∠CAB，∴△AER≌△ACB，∴ER=BC=a，FA=b，∴S1=ab，S3=ab，同理可得HD=AR=AC，∴S1=S2=S3=．应选A．6、解：①设CF=*，DF=y，BC=h，则由菱形BFDE，BF=DF=y由得：=得：=，即cos∠BFC=，∴∠BFC=30°，由∴∠EDF=30°∴tan∠EDF=，所以①是真命题．②菱形BFDE，∴DF=DE由△DEF的面积为：DF•AD，也可表示为：BD•EF，又DE2=BD•EF，∴△DEF的面积可表示为：DE的平方即：DF的平方，∴DF•AD=DF2，∴DF=2AD，所以②是真命题．应选：A．7、解：作DE⊥AB于E点．∵tan∠DBA==，∴BE=5DE，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE．∴BE=5AE，又∵AC=6，∴AB=6．∴AE+BE=5AE+AE=6，∴AE=，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD=AE=2．8、解：①∵BD、CE为高，∴∠BDC=∠CEB=90°，又∵F为BC的中点，∴DF=BC，EF=BC，∴DF=EF；②∵∠A=∠A，∠ADB=∠AEC，∴△ADB∽△AEC，∴AD：AB=AE：AC；③∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵DF=CF，EF=BF，∴∠BEF+∠CDF=120°，∴∠BFE+∠CFD=120°，∴∠DFE=60°，又∵DF=EF，∴△DEF是等边三角形；④BE+CD=BC•sin∠BCE+BC•sin∠CBD=BC•〔sin∠BCE+sin∠CBD〕=BC•[sin∠BCE+sin〔60°-∠BCE〕]，不一定等于BC；⑤∵∠ABC=45°，∴BE=BC=DE．正确的共4个．应选C．9、甲液体的体积等于液体在乙中的体积．设乙杯中水深为*，则π×12×16=π×48×*，解得*=4．在直角△ABP中，AP=43，AB=83，∴BP=12．根据三角形的面积公式可知直角△ABP斜边上的高是6，所以乙杯中的液面与图中点P的距离是16-6-4=6．应选B．10、解：∵飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°，到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，∴∠BAC=60°，∠ABC=30°，∠BAD=30°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-30°-60°=90°，即△ABC为直角三角形，∵AB=6千米，∴BC=AB•cos30°=6×32=33千米．Rt△ABD中，BD=AB•tan30°=6×33=23千米，作CE⊥BD于E点，∵AB⊥BD，∠ABC=30°，∴∠CBE=60°，则BE=BC•cos60°=323，DE=BD-BE=32，CE=BC•sin60°=92，∴CD=DE2+CE2=(32)2+(92)2=21千米．∴山头C、D之间的距离根号21千米．11、解：〔1〕如图①，过A、D分别作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形．∴KH=AD=3．在Rt△ABK中，AK=AB•sin45°=42•22=4BK=AB•cos45°=42•22=4．在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC=52-42=3．∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10．〔2〕如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．∵MN∥AB，∴MN∥DG．∴BG=AD=3．∴GC=10-3=7．由题意知，当M、N运动到t秒时，=t，CM=10-2t．∵DG∥MN，∴∠NMC=∠DGC．又∠C=∠C，∴△MNC∽△GDC．∴CD=CMCG，即t5=10-2t7．解得，t=5017．〔3〕分三种情况讨论：①当NC=MC时，如图③，即t=10-2t，∴t=103．②当MN=NC时，如图④，过N作NE⊥MC于E．解法一：由等腰三角形三线合-性质得EC=12MC=12〔10-2t〕=5-t．在Rt△CEN中，cosc=EC=5-tt，又在Rt△DHC中，cosc=CHCD=35，∴5-tt=35．解得t=258．解法二：∵∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°，∴△NEC∽△DHC．∴NCDC=ECHC，即t5=5-t3．∴t=258．③当MN=MC时，如图⑤，过M作MF⊥于F点．FC=12NC=12t．解法一：〔方法同②中解法一〕cosC=FCMC=12t10-2t=35，解得t=6017．解法二：∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，∴△MFC∽△DHC．∴FCHC=MCDC，即12t3=10-2t5，∴t=6017．综上所述，当t=10分数线3、t=258或t=6017时，△MNC为等腰三角形．12、解〔1〕如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12．∵QB=16-t，∴S=12×12×〔16-t〕=96-6t〔0≤t＜16〕；〔2〕由图可知：CM=PD=2t，CQ=t．以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①假设PQ=BQ．在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=〔16-t〕2，解得t=72；②假设BP=BQ．在Rt△PMB中，BP2=〔16-2t〕2+122．由BP2=BQ2得：〔16-2t〕2+122=〔16-t〕2即3t2-32t+144=0．由于△=-704＜0，∴3t2-32t+144=0无解，∴PB≠BQ．③假设PB=PQ．由PB2=PQ2，得t2+122=〔16-2t〕2+122整理，得3t2-64t+256=0．解得t1=163，t2=16〔不合题意，舍去〕综合上面的讨论可知：当t=72秒或t=163秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．〔3〕如图，由△OAP∽△OBQ，得APBQ=AOOB=12．∵AP=2t-21，BQ=16-t，∴2〔2t-21〕=16-t．∴t=585．过点Q作QE⊥AD，垂足为E．∵PD=2t，ED=QC=t，∴PE=t．在Rt△PEQ中，tan∠QPE=QEPE=12t=3029．又∵AD∥BC，∴∠BQP=∠QPE，∴tan∠BQP=3029；〔4〕设存在时刻t，使得PQ⊥BD．如图，过点Q作QE⊥AD于E，垂足为E．由Rt△BDC∽Rt△QPE，得DCBC=PEEQ，即1216=t12．解得t=9．所以，当t=9秒时，PQ⊥BD13、解：〔1〕分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如下图在Rt△ABF中，AB=10米，∠B=60°．所以sin∠B=AFAB，∴AF=10×3253，DG=5根号3；所以S△DCE=12×CE×DG=12×5×53=252