浙教版八年级上第2章 特殊三角形小专题：等腰三角形中的分类讨论(含答案)

小专题(二)等腰三角形中的分类讨论类型1对顶角和底角的分类讨论对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．1．等腰三角形中有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.类型2对腰长和底长的分类讨论在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”、哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论．判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．2．(1)已知等腰三角形的一边长等于6cm，一边长等于7cm，求它的周长；(2)等腰三角形的一边长等于8cm，周长等于30cm，求其他两边的长．解：(1)周长为19cm或20cm.(2)其他两边的长为8cm，14cm或11cm，11cm.3．若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长．解：如图，由于条件中中线分周长的两部分，并没有指明哪一部分是9cm、哪一部分是12cm，因此，应有两种情形．设这个等腰三角形的腰长为xcm，底边长为ycm，根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)x＝9，,\f(1,2)x＋y＝12))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)x＝12，,\f(1,2)x＋y＝9.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝9，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝5.))故腰长是6cm，底边长是9cm或腰长是8cm，底边长是5cm.类型3几何图形之间的位置关系不明确的分类讨论4．已知C、D两点在线段AB的中垂线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝80°，求∠CAD的度数．解：①如图1，当C、D两点在线段AB的同侧时，∵C、D两点在线段AB的垂直平分线上，∴CA＝CB.∴△CAB是等腰三角形．又∵CE⊥AB，∴CE是∠ACB的平分线．∴∠ACE＝∠BCE.∵∠ACB＝50°，∴∠ACE＝25°.同理可得∠ADE＝40°，∴∠CAD＝∠ADE－∠ACE＝40°－25°＝15°；图1图2②如图2，当C、D两点在线段AB的两侧时，同①的方法可得∠ACE＝25°，∠ADE＝40°，∴∠CAD＝180°－(∠ADE＋∠ACE)＝180°－(40°＋25°)＝180°－65°＝115°.故∠CAD的度数为15°或115°.类型4运动过程中等腰三角形中的分类讨论5．(下城区校级期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以2厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为eq\f(25,8)或5或8秒．解析：①当AD＝BD时，在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AD2＝AC2＋CD2，即BD2＝(8－BD)2＋62，解得BD＝eq\f(25,4)cm.则t＝eq\f(\f(25,4),2)＝eq\f(25,8)(秒)；②当AB＝BD时，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10(cm)，则t＝eq\f(10,2)＝5(秒)；③当AD＝AB时，BD＝2BC＝16cm，则t＝eq\f(16,2)＝8(秒)．综上所述，t的值可以是：eq\f(25,8)，5，8.6．(杭州期中)如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．(1)当t＝2秒时，求PQ的长；(2)求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．解：(1)BQ＝2×2＝4(cm)，BP＝AB－AP＝8－2×1＝6(cm)，∵∠B＝90°，∴PQ＝eq\r(BQ2＋BP2)＝eq\r(42＋62)＝2eq\r(13)(cm)．(2)根据题意，得BQ＝BP，即2t＝8－t，解得t＝eq\f(8,3).∴出发时间为eq\f(8,3)秒时，△PQB是等腰三角形．(3)分三种情况：①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∠A＋∠C＝90°.∴∠A＝∠ABQ.∴BQ＝AQ.∴CQ＝AQ＝5cm.∴BC＋CQ＝11cm.∴t＝11÷2＝5.5(秒)．②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC＋CQ＝12cm.∴t＝12÷2＝6(秒)．③当BC＝BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝eq\f(AB·BC,AC)＝eq\f(6×