数学建模之随机性模型与模拟方法课件

随机性模型与模拟方法数学建模之随机性模型与模拟方法

随机变量蒙特卡罗方法随机数的生成模拟数学建模之随机性模型与模拟方法一、随机变量

何谓随机变量？随机变量是一个其值不可预测的变量。虽然一个随机变量在个别试验中其结果不确定，但在大量重复试验中其结果是具有统计规律的。正是随机变量的这种规律性使我们可以利用它来建模。例如我们可以利用下述的数据：得出一个模型。时间t（秒）0123456789变量X1022120102数学建模之随机性模型与模拟方法

是一个离散的随机变量并取值于0，1和2。我们不可能给出与的确定的关系式，但是可以通过数的不同值出现次数来描述这随机型的规律列表如下：这个表给出了随机变量的变化规律，频率告诉某个特定的事件发生的频繁程度。如果我们需要构造一个含有随机变量的模型，可以假设这个规律总是成立的，模型的假设可以基于这几个数据之上。实际操作时可以把频率分布当作概率函数来处理，但应注意概率是频率的极限值，这两者是有差异的。在处理一个简单的理论模型时，对概率函数012频数334频率0.30.30.4数学建模之随机性模型与模拟方法必须作出合适的选择。例如，假设在上述问题中的随机变量取三个值时等于可能的，这样其概率函数为这个例子说明在处理随机变量的模型时有以下两种选择：（1）使用一个理论模型。这在任何一本概率统计的书上都可以找到一些标准的理论模型如二项分布等。每一个都基于一定的假设之下成立的，所以在选用时要特别注意其假设条件。（2）使用基于实际数据的频率表，并不去套用不准理论模型。012数学建模之随机性模型与模拟方法使用前者的好处在于能精确地叙述变量的概率，在处理问题时可以充分发挥数理统计的作用。但这一好处把所求模式制约在了处理简单情形。随着复杂性的增加，数学就变的太难。使用后者的好处在于模型时基于观测到的数据而不是基于假设之上。增加复杂性并不成为一大障碍，但我们不再能利用数理统计而得求助于模拟以及模型的统计结果。在建立随机性模型时，首先要注意，将要处理的是离散还是连续的随机变量。

1、离散随机变量离散随机变量的理论模型是由概率函数来刻画的。这个式子说明随机变量取值时的概率。对于离散型的随机变量有下面三种重要的分布数学建模之随机性模型与模拟方法（0－1）分布设随机变量只可能取0、1两个值，它的分布规律是

则称服从（0－1）分布。对于一个随机实验，如果它的样本空间只包含两个元素，即，我们总能在上定义一个服从（0－1）分布的随机变量来描述这个随机实验的结果。例如，对新生儿的性别进行登记，检查产品的质量是否合格等都可以用（0－1）分布的随机变量来描述。数学建模之随机性模型与模拟方法（2）二项分布设实验只有两个可能的结果，将独立地重复地进行次，则称这一串重复的独立实验为重贝努利实验。它是一重和重要的数学模型，有着广泛的应用。若用表示重贝努利实验中事件发生的次数，是一个随机变量，它服从如下的二项分布

特别，当时二项分布就是（0－1）分布。数学建模之随机性模型与模拟方法（3）泊松分布设随机变量所有可能的取值为而取各个值的概率为

其中，是常数，则称服从参数为的泊松分布。可以证明当很小时，以为参数的二项分布，当时趋于以为参数的泊松分布，其中数学建模之随机性模型与模拟方法2、连续的随机变量理论模型的连续型随机变量可以由概率密度函数来描述，对所有的存在，且，随机变量落在区间的概率可由来给出，在连续型随机变量中下述两种是重要的。数学建模之随机性模型与模拟方法(1)均匀分布设连续型随机变量具有概率密度则称在区间（a，b）上服从均匀分布。在区间（a，b）上服从均匀分布的随机变量，具有下述意义的等可能性，即它落在区间（a，b）中任意等长度的子区间内的可能性是相同的，或者说它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。（2）正态分布设连续型随机变量的概率密度为其中为常数，则称服从参数为的数学建模之随机性模型与模拟方法

正态分布。连续型随机变量的值如同离散的一样可以用频率表给出，但不同的是离散的随机变量每个频率对应于随机变量的一个值，而对于随机变量每一个频率对应于随机变量的一个取值范围。数学建模之随机性模型与模拟方法二、蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法是计算模拟的基础，其名字来源于世界著名的赌城——摩纳哥的蒙特卡罗。其思想来源于著名的蒲丰投针问题。1777年法国科学家蒲丰提出了下述著名问题：平面上画有等距离的一些平行线，取一根长度为的针，随机地向有平行线的平面上掷去，求针与平行线相交的概率。我们用几何概型来解决这一问题。设M为针落下后的中点，表示中点M到最近一条平行线的距离，表示针于平行线的交角，如图2.18所示。那么基本时间区域数学建模之随机性模型与模拟方法图2.18数学建模之随机性模型与模拟方法它为平面上的一个矩形，其面积为。为使针与平行线（与最后的一条平行线）相交，其充要条件是

的面积为，这样针与平行线相交的概率为

设一共投掷次（是一个事先选好的相当大的自然数），观察到针和直线相交的次数为。数学建模之随机性模型与模拟方法

从上式我们看到，当比值不变时，值始终不变。取为的近似值，我们可以算出的近似值。可以想象当投掷次数越来越多时计算的结果就越来越准确。下表时这些实验的有关资料(此处把折算为1）：

实验者年份针长投掷次数相交次数

的实验值pulf18500.8500025323.1596Smith18550.632041218.53.1554DeMorggenC18601.0600382.53.137Fox18840.7510304893.1595Lazzerini19010.83340818083.141592Reina19250.541925208593.1795数学建模之随机性模型与模拟方法

由此可以看出蒙特卡罗方法的基本步骤：首先，建立一个概率模型，使它的某个参数等于问题的解。然后按照假设的分布，对随机变量选出具体的值（这一过程又叫着抽样），从而构造出一个确定性的模型，计算出结果。再通过几次抽样实验的结果，的到参数的统计特性，最终算出解的近似值。蒙特卡罗方法主要用再难以定量分析的概率模型，这种模型一般的不到解析的结果，或虽然又解析结果，但计算代价太大以至不可用。也可以用在算不出解析结果的定性模型中。用蒙特卡罗方法解题，需要根据随机变量遵循的分布规律选出具体的至，即抽样。随机变量的抽样方法很多，不同的分布采用的方法不尽相同。在计算机上的各种分布的随机数事实上都是按照一定的确定性方法产生的伪随机数。数学建模之随机性模型与模拟方法三、随机数的生成我们知道对于丢硬币的随机结果可以用以下的离散随机变量的改里函数来描述

如果我们需要模拟随机变量的以个值或一个集合，可以用丢硬币然后记录其其结果的方法来得到，然而这具又相当的局限性，这里我们用数学程序来产生拟随机变量。即看上去是随机出现的，但并非真正的随家便朗，它们产生于一个梯推公式。不过这些拟随机数并没有明显的规律，当给于适当的伸缩之后，它们非常接近于在区间的均匀分布。X01P(x)0.50.5数学建模之随机性模型与模拟方法这种方法的思想是，设计一个把和之间的整数映射到它们自身上的函数，然后从开始，依次计算例如通过下面的公式可以产生这样的一组随机变量给定任意一个初值，如代入公式得，然后用去除得；同样代入公式，可以得，重复这一过程可以得到我们所需要的一组随机变量。在程序设计和软件包中通常用来表示由这样，我们用它来表示从上的均匀分布所产生的随机变量。数学建模之随机性模型与模拟方法

我们可以从它构造出另外的随机变量。例如，可以从给出区间上的连续均匀分布的随机变量。如果我们要生成带参数的指数分布，可以用。如果我们要生成平均值未零，标准差为1的正态分布，可以用下列公式和

来给出的两个值，令或可以生成型的正态分布。数学建模之随机性模型与模拟方法

为了得到离散的随机变量，我们把分成若干部分。例如设计一个离散的随机变量有下列的概率函数。取一个RND值：如果，则；如果，则；如果，则。对于连续的随机变量除了取生成的随机变量是每类的中点外，我们可以用同样的思想进行列表分类。如

0120.30.30.40-1010-1515-20频率0.20.50.3数学建模之随机性模型与模拟方法

的一个值将平移到。一个更细致的方法是用线性插值而不是取中点，即

给出。从已知的模拟一个连续随机变量的理论分布，可以用以下方法：

数学建模之随机性模型与模拟方法（1）逆累积分布函数法如果随机变量的是，则累积分布函数是。如果把它作为一个随机变量，是上的均匀分布。从上的均匀分布取一个值，解方程得对应得的值，例如，设

累积分布函数为解得。这就是我们所要的由这个分布所生成的的值数学建模之随机性模型与模拟方法(2)排除法对于这种方法我们需要用两个值来生成一个值。设的值在区间外为，而的最大值是。我们可以通过如下的步骤生成的值。从上的均匀分布生成和；用计算；计算；用算出；如果，则接受，否则排除回到。对于上面的例子，我们取数学建模之随机性模型与模拟方法四、模拟模拟是现象的模型所产生的再现。所谓数学模拟就是用模型使现象再现。因此，表示现象的部分或总体的基本方程和表示自然规律的数学模型全是数学模拟。然而，狭义地讲主要指的是数字模拟。它是将复杂现象作出可以用数字计算机表达的数学模型，从数值上进行各种实验。各种方法随着计算机的进步已广泛地应用起来。因此我们所说的模拟主要是指数学模拟。数学建模之随机性模型与模拟方法例2.18一列火车大约在下午1点离开站其规律如下；火车从到途中所需要的平均时间为分，由分钟的标准差。如果你要赶的是这趟火车的下一站,而你到达的站的时间分布为问你能赶上这列火车的概率是多少？离站时间13.0013.0513.10

概率0.70.20.1时间13.2813.3013.3213.34概率0.30.40.20.1数学建模之随机性模型与模拟方法为了回答这个问题，我们需要一些随机数。这里我们将采用上面给出的那些随机数，即等。而我们所要模拟的是火车离站的时间；火车途中的时间；你到达车站的时间。这样你赶上火车的条件是。为模拟这个问题只需要生成，和的值，然后检验这条件。但如何得到的值是不明显的，因并不知道这个分布。这样，假设一个模型，取平均值为30，标准差为2的正态分布，由所给的条件知，为离散的，而为连续的随机变量。数学建模之随机性模型与模拟方法以分为时间单位，从的下午以点起算，构造的模型如下其中。计算结果为，和，这样。在这种场合你比火车提前到达4分钟。但需要指出，这并不是说我们已经回答了这个问题，要回答这个问题我们要作多次这样的模拟，记下这些结果，算出能赶上火车的频率。通过足够多次的模拟之后我们就可以看出能赶上火车的概率。数学建模之随机性模型与模拟方法

一般用在模拟建模时，一次模拟的成功并不能说明什么问题，更不能说我们的主要工作已经完成。你必须多次的进行模拟，然后分析其结果。分析的种类要看模型的对象，而这在模拟的一开始就应该清楚的。在实验的模拟模型的对象是在变化的，但常常包括一下几种：对系统的长期性态作出统计；比较系统的可选择对象的安排；研究参数变化的影响；研究模型假设的影响；找出系统最优方案；上面的例子是相当平凡的，根本不能作为用模拟解决问题的例子。下面我们仅举两个简单的例子以理顺模拟模型的思路。数学建模之随机性模型与模拟方法例2.19某个理发店中有两名理发员和，顾客随机地来理发，据统计的顾客仅需要剪发，化时分钟；而有的顾客即需要剪又需要又需要吹风，许花时分。对任意一个模拟，首先要作的是找出能完全描述任意时刻的系统的状态变量的集合。给出能从时刻的状态变量算出时刻的新的状态变量的程序。这个例子中有三个状态变量：在等待的顾客的人输（离散的非负整数）；是否正在工作（是或否）；是否正在工作（是或否）。数学建模之随机性模型与模拟方法一次模拟式由始于，结束于的状态变量的值的一系列演算组成的。一个事件是时间中的一点，在这个时刻一个随机变量改变了它的值。在这个例子中的事件有:

一个顾客到达；开始服务；结束服务；开始服务；结束服务。一个元素是一个离散，或者是系统的长期部分，或者是进入和离开，这里的元素是顾客和两个理发员。对研究一个模拟模型来说，有两种程序类型：（1）时间切片考察状态变量和在时间切片中（通常是等时间的切片）元素的位置。在每一个时间切片中状态变量可变可不变。数学建模之随机性模型与模拟方法

（2）事件序列考察在每一事件的系统，并不考虑时间之间的时间。这两种途径我们有时称为“时间传动”和“事件传动”模型。一般我们用时间传动模型于连续的的确定型系统，事件传动模型于离散的概率模型，但这不时绝对。在这个例子中我们将用“事件传动”。对于时间切片模型，我们必须决定时间切片的大小，为简单计我们将取分钟。问题的描述并不包括任何有关顾客到达率的信息。假设在任何一分钟顾客到达的概率是。实际上有两种不同类型的顾客，取决于是否要吹风。我们通过取服务时间的平均值，即分，构造一个粗糙的模型。数学建模之随机性模型与模拟方法

为了描述一个顾客是否到来这个随机变量，我们用一个硬币将作为一个随机数的生成器，用表示反面，表示正面。设扔出的序列是。用表示一个顾客到达，且取初始状态为顾客，运行前分钟，就有下表的结果：时间（分）到达？A在工作B在工作排队

0否否否01是是否02否是否03是是是04是是是05否是是0数学建模之随机性模型与模拟方法

到这里，人们将要为我们希望知道什么。通常我们感兴趣的是平均队伍的长度，最长的队伍，顾客等待的平均时间以及两个理发员的忙闲程度等，注意到这里有两种不同的平均，即一个是关于时间，而另一个是关于顾客的平均，为回答上述为她我们设是任意时刻的排队的顾客数。顾客和时间的关系通常可由图给出。6是是是0

是是是0

是是是0

否是是010否是是0数学建模之随机性模型与模拟方法

它是一个右连续的阶梯函数是合理的，这是由于只有新顾客到来或有顾客完成服务后离去，函数值才发生变化，关于时间的平均是，其中图下额面积，设表示一个时间区间，在其上保持常数（这里本身是变量）。当我们进行模拟时我们累积其和。用记在进行模拟期间到达的顾客数。这样我们所要的两个平均分别为数学建模之随机性模型与模拟方法

队长平均等待时间的平均

下面是用来说明累积排队时间的记录（注意这里仅给出变化的时间）：数学建模之随机性模型与模拟方法时间Q0000011.584100012.93501.3511.3511.35117.29014.35501.35117.93500.6450.6451.99618.67610.74101.99623.15604.4804.4806.47625.21712.06106.47625.32720.1100.1106.58625.93510.6081.2167.80227.43121.4061.4069.208数学建模之随机性模型与模拟方法这里所执行的总时间。在这期间。队伍的最长长度。累计排队时间队伍的平均长度。平均等待时间。在我们结束模拟时还有两个顾客，一个是排队的，而另一个是新来的。服务的总时间是分。因此忙碌的概率是。服务的总时间是分或忙碌时间为。数学建模之随机性模型与模拟方法

评注1模拟一个系统的目的不是为了模仿一个现实系统，而是通过解决问题达到优化系统的目的。例如在这个例子中可以分析诸如增雇一个理发员或改变服务时间等对系统的影响。评注2在我们的模型中，为使问题简单我们已经作了一些假设：（1）假设了在任何一分钟有一个顾客到达的概率是。（2）默认在同一分钟内的顾客数。（3）如果两个理发师均空闲，顾客可以任意选。（4）排队的原则是安先后的秩序。如果有预约可以先服务。数学建模之随机性模型与模拟方法（5）我们的模型中允许一下情形出现，一个顾客的来到，发现有很多人在等就走啦。也可能是一个顾客在等了一段时间之后等不及了就离开了。意味这允许其中的一个理发员有短暂的休息。

例2.20倒媒台的操作方案某煤矿公司有一个大型煤台，用于向运媒列车装煤。该倒煤台的容量是列标准列车。装满一个空的倒煤台需要一个小组个小时的时间，费用是。为提高装煤速度可以以的代价动用第二个小组。铁道部门每天向这个倒煤台发三列空的标准车。这些列车可在上午点倒下午点之间的任何时刻到达。给一列标准车装满煤需要小时，向倒煤台装煤和从倒煤台向列车装煤不能同时进行。如果列车到达后因等待装煤二停滞，铁道部门将征收每车的滞费。数学建模之随机性模型与模拟方法此外，每星期四上午点到下午点之间还有一列大容量列车到达，其容量为标准的列车的倍，滞期费为。请问（1）安标准规则操作可使装煤费最低？费用使多少？（2）如果标准列车能在指定的时间到达，什么样的调度安排最经济？这个问题中列车的到达时间使随机因素，适合于建立概率模型，同计算机模拟加以解决。首先，模型中需要考虑的费用由两部分组成。一部分使装煤小组向倒煤台装煤的费用，记为，另一部分使列车等待装煤的滞期费。因每天要装的煤数量使固定的，的大小只受是否使用大二小组影响。数学建模之随机性模型与模拟方法

通过使用第二小组，有可能减少。模型的主要任务是将总费用降到最低。故是模型的目标函数。其次，由于理论上的困难，很难得到最优方案。考虑到这是一个每天重复发生的为她，重要的的是提供一组简单明确的规划，使煤矿公式可以根据规则方便地获得接近最优的解。因此，我们将在方案的优化程度和简明性之间做一个折中。设：为装满列车所需的煤量；为倒煤台中剩下煤量；表示当前时间。其中和均以小时向列车装的煤量为单位。数学建模之随机性模型与模拟方法

根据题意写出下面一些应该遵循的规则：有列车等待时，用两个小组装煤节省的滞期费大于增加的装煤费用，此时应使用第二个小组。当同时有两列或三列标准列车等待装煤时。应将已装煤量最多的车排在前面先装，已装煤量最少的车排到最后面。可以证明，这样安排滞期费最少。当同时有大容量车和标准车等待时，先装后装的滞期费

先装时的滞期费为

当时，先装，否则先装。数学建模之随机性模型与模拟方法

设当前待装的车为，则用两个小组装倒煤台直到或为止，然后装列车。周四时，装标准车和大容量列车共需要小时。即便是倒煤台在周四上午点以前就已提前装满，当天用两个小组装倒煤台仍需小时，合计小时故最快也要到周五早上点才能完成周四的任务，且此时倒煤台为空。为保证周五正常工作，应马上开始装倒煤台。由以上分析知，周时间最紧张，就始终用两个小组。非周四，在此刻无列车等待，设已知下一列车到达时间为。若，则时间充足，可以用一个小组装倒煤台至满或下一列车来。否则用两个小组。数学建模之随机性模型与模拟方法