2021年中考24 勾股定理逆定理-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）

专题24勾股定理逆定理

【常识要点】

勾股定理的逆定理内容：参加三角形三边长a,b,C满足/+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,

其中C为斜边

注重：

①勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的一种重要方式，它通过“数转化为形”来

确定三角形的大概形状，在运用这必然理时，可用两小边的平方和/+匕2与较长边的平方作对照,

若它们相等时，以。，b,C为三边的三角形是直角三角形：若"+从<。2,时，以a,b,C为三

边的三角形是钝角三角形；若储+b2>M,时，以a,b,C为三边的三角形是锐角三角形；

②定理中。，b,c及片+后=d只是一种表现形式，不可认为是独一的，如若三角形三边长a,b,

c满足/+C2=从，那么以匹b,。为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三

角形是直角三角形

勾股定理与勾股定理逆定理的区别和联系：

联系：

1、两者都与直角三角形三边有关，且都与直角三角形有关。

2、两者是互逆定理。

区别:

1、两者的前提与结论相反。

2、定理是直角三角形的性质，勾股定理逆定理是直角三角形的判断方式。

【考查题型】

考查题型一判断三边能够构成三角形

典例1.（2021•吉林长春市模拟）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形

的是（）

A.>/3,>/4,A/5B.1,72,73

C.6,7,8D.2,3,4

【答案解析】B

【试题解答】

试题解析:A.（Q）2+（"）年（石）2,故该选项错误;

B.12+（V2）2=（V3）2,故该选项正确;

C.62+72郑2,故该选项错误：

D.22+32彳42,故该选项错误.

故选B.

变式1-1.（2021•金塔县模拟）三角形的三边长为（。+8）2=。2+2外，则这个三角形是（）

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形

【答案解析】C

【提示】操纵完全平方公式把等式变形为a2+b2=c2,根据勾股定理逆定理即可判断三角形为直角三角

形，可得答案.

【详解】

（a+by=+2ab,

.\a2+2ab+b2=c2+2ab,

/.a2+b2=c2,

・♦.这个三角形是直角三角形，

故选：C.

变式1-2.(2021・洛阳模拟)已知“、b、c为△48C的三边，且满足a2c2-氏2="-〃，则4ABC

是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案解析】C

【提示】移项并分化因式，然后解方程求出心b、c的关系，再确定出ZVIBC的形状即可得解.

【详解】移项得,出&-h2c2-〃+〃=0,

c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2)=0,

(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,

所以，a2-b2=0或c2-〃-b2=0,

即a=b或a2+b2=c2,

是以，△ABC等腰三角形或直角三角形.

故选：C.

变式1-3.(2021.长沙市二模)AABC在下列前提下，不是直角三角形的是()

A.b2=a2-c2B.ZA：NB:NC=3:4:5

c.ZC=ZA-ZBD.a:b:c=1：y/3：y/2

【答案解析】B

【提示】操纵勾股定理的逆定理判断A、。选项，用直角三角形各角之间的关系判断夙C选项.

【详解】解：A、•.,按="2-/,/.Z?2+c2=a2,故本选项正确；

B、'：Z/1:NB:NC=3:4:5,.•.设NA=3x,贝lJ/B=4x,NC=5x,

VZ^+ZB+ZC=180o,即3x+4x+5ml80°,解得，尸15°,

.*.5A=5X15O=75O<90°,故本选项错误.

C、VZA=ZB-ZC,.*.NB=NA+/C,

VZA+ZB+ZC=180°,A2（ZA+ZC）=180°,即/A+NC=90。，故本选项正确；

D、'."a2:b2:/=1：3:2,...令〃=x,则从=2x,/=31，

\*x+2x=3x,c^+c^-b2,故本选项正确；

故选：B.

变式1-4.（2021•广西百色市模拟）在AABC中，内角A、B、C的对边分别为〃、b、c.若按+C2

=2b+4c-5Jia2=b2+c2-be,贝必/lBC的面积为（）

A.变B.3C.yf2D.V3

22

【答案解析】B

【提示】先用配方式对b?+c2=2b+4c-5变形配方，从而求得b,c的值，再将其代入a2=b2+c2-bc,求

出a,再由勾股定理的判断定理得出AABC为直角三角形，从而其面积易得.

【详解】:b2+c2=2b+4c-5

・・・（从-2>1）+（/-4。+4）=0

（。-1）2+（c-2）2=o,

1=0,c-2=0,

.,./?=1,c=2.

又•：岸=眇+&-be,

.•・〃2=1+4-2=3,

:・a=6或a=-6（舍）

Vl2+（^）2=4=22,

.♦.△A8C是以1和为直角边的直角三角形，

.♦.△A8c的面积为：-xlx^,

22

故选：B.

考查题型二图形上与已知两点构成直角三角形的点

典例2.（2021•福建漳州市二模）点A（2,〃?）B（2,m-5）在平面直角坐标系中，点。为坐

标原点.若AABO是直角三角形，则，〃的值不大概是（）

A.4B.2C.1D.0

【答案解析】B

【提示】分NOAB=90。，ZOBA=90°,/AOB=90。三种情况思量：当NOAB=90。时，点A在x轴

上，进而可得出m=0；当NOBA=90。时，点B在x轴上，进而可得出m=5；当NAOB=90。时,

操纵勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值.综上，对照四个选项即可得

出结论.

【详解】

解：分三种情况思量（如图所示）

当ZOAB=9(rB^,m=0；

当NOBA=90。时，m-5=0,解得：m=5；

当NAOB=90°时，AB2=OA2+OB2,即25=4+m2+4+m2-l（）m+25,

解得：mi=l,012=4.

综上所述：m的值可觉得0,5,1,4.

故选B.

变式2-1.（2021.海口市中考模拟）如图，在4X4方格中作以AB为一边的RtZXABC,要求点C也在

格点上，如许的RtZ\ABC能作出（）

A.2个B.3个C.4个D.6个

【答案解析】D

【试题解答】当AB是斜边时，则第三个极点所在的位置有:C、I）,E,H四个;

当AB是直角边，A是直角极点时，第三个极点是F点;

当AB是直角边，B是直角极点时，第三个极点是G.

因而共有6个满足前提的极点.

故选D.

变式2-2（2021•郑州市模拟）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A,B是两

格点，参加C也是图中的格点，且使得AABC为等腰直角三角形，则吻合前提的点C有

个.

【答案解析】6

【提示】根据题意，联合图形，分两种情况会商：①A8为等腰直角AA8C底边；②AB为等腰直角

△A8C其中的一条腰；分别找出吻合题意的点C即可.

【详解】解：如图，分情况会商：

①A8为等腰直角△ABC底边时，吻合前提的C点有2个；

②A8为等腰直角△ABC其中的一条腰时，吻合前提的C点有4个.

故答案为：6.

变式2-3.己知点A的坐标为（3,5）,点B在x轴上，且AB=13,那么点5的坐标为.

【答案解析】（—9,0）或（15,0）

【提示】设点8的横坐标为r,操纵两点间的间隔公式得到J（3—£）2+5?=13,从而可以求出t的

值.

【详解】解：设点B的横坐标为z,

根据题意得^（3-r）2+52=13,即（37）2=12.

所以3-t=12或3-t=-12.

/.t=-9或t=15.

故答案为（-9,0）或（15,0）.

【点睛】

本题考查了两点间的间隔公式：设有两点4（M,»）,8（X2,>-2）,则这两点间的间隔为

AB=Ja_/）2+（x—%）2•

考查题型三在网格中判断直角三角形

典例3.（2021•北京海淀区模拟）如图所示的网格是正方形网格，AABC是____三角形.（填“锐

角""直角''或"钝角”）

【答案解析】锐角

【提示】根据三边的长可作判断.

222222

【详解】解：：AB2=32+12=10,/IC=1+4=17,BC=3+4=25,

.,.AB2+AC2>BC2,

:.AABC为锐角三角形，

故答案为：锐角.

变式3-1.如图，每个小正方形边长为1,则△ABC边AC上的高BD的长为

Q

【答案解析】-

【提示】根据网格，操纵勾股定理求出AC的长，A8的长，以及A8边上的高，操纵三角形面积

公式求出三角形ABC面积，而三角形A8C面积可以由AC与8。乘积的一半来求，操纵面积法即可求

出的长.

【详解】解：根据勾股定理得：AC=732+42=5.

由网格得：S&ABC=-x2x4=4,且S>ABC=--AC・BD="x5BD,

222

，gx5BD=4,

Q

解得：BD=~.

5

o

故答案为：

变式3-2.（2021•辽宁鞍山市•九年级三模）如图，将NBAC放置在5x5的正方形网格中，参加极点

A、B、C均在格点上，那么/BAC的正切值为.

【答案解析】1

【提示】毗邻BC,先操纵勾股定理逆定理证AABC是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可

得.

【详解】解：如图所示，毗邻BC,

则AB=BC=#+32=M，AC=V?==26

AB2+BC2=10+10=20=AC2,

.'.△ABC是等腰直角三角形，JI./ABC=90,

/BAC=45°,

则tan/BAC=1,

故答案为1.

变式3-3.（2021•黑龙江哈尔滨市模拟）如图所示的网格是正方形网格，则NB4C-NZME=

°（点A,B,C,D,E是网格线交点）.

【答案解析】45

【提示】毗邻CG、AG,根据勾股定理的逆定理可得/CAG=90°,从而知△CAG是等腰直角三角形,

根据平行线的性质和三角形全等，可知，ZBAC-ZDAE=ZACG,即可得解.

【详解】解:如图，毗邻CG、AG,

由勾股定理得：AC^AG^12+22=5,CG2=12+32=1(),

AAC2+AG2=CG2,

：.ZCAG=90°,

•••△CAG是等腰直角三角形，

：.ZACG=45°,

\'CF//ABy

：.NACF=NBAC,

在△CFG和△AOE中，

,:CF=AD,NCFG=NADE=90。,FG=DEf

.,.△CFG^AADE(SAS),

・・・NFCG=NDAE、

，NBAC-NDAE=ZACF-ZFCG=ZACG=450,

故答案为：45.

考查题型四操纵勾股定理逆定理求解

典例4.己知M、N是线段AB上的两点，AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心，AN长为半

径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C,毗邻AC,BC,则aABC必然是

()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案解析】B

【提示】依据作图即可得到AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+l=5,进而得到AC?+BC2=AB2,

即可得出AABC是直角三角形.

【详解】如图所示，AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+l=5,

.*.AC2+BC2=AB2,

.•.△ABC是直角三角形，且NACB=90°,

故选B.

变式4-1.（2021•石家庄市一模）如图，在正方形ABC。中，AB=4,E是的中点，点F在

BC1.,且ECu’BC.则△4£下的

面积是（）

4

A.5B.6C.7D.8

【答案解析】A

【提示】根据正方形的性质和勾股定理，可得EF,AE,AF的长，再根据勾股定理的逆定理,

可知AAEF是直角三角形，进而即可求解.

【详解】•.•正方形ABCD中，AB=4,E是的中点，点F在8c上,且/C=，BC,

4

AFC=1,EC=2,DE=2,ADM,BF=3,ZB=ZC=ZD=90°,

•**EF=\/l2+22=V5»AE=，22+4?=V20»AF=+4?=5»

••EF2+AE1=AF\即：AAEF是直角三角形，ZAEF=90°,

•••AAEF的面积=；AEEF-gX石xV20=5.

故选A.

变式4-2.(2021•东明县二模)如图，。。和。。'订交于A、B两点，且OO'=5,OA=3,

O'B=4,贝l]AB=()

b_____/

A.5B.2.4C.2.5D.4.8

【答案解析】D

【提示】起首根据直角三角形的判断方式得出△AOO,是直角三角形，进而操纵订交两圆的性质以及

三角形面积公式进而得出即可.

【详解】解：如图，设AB与OCX的交点为E,

；OO，=5,OA=3,O'BM,

...OCT2=OA2+O，B2,

.•.△AO(y是直角三角形，

•••©0和0O,订交于A、B两点,

AAB±OO;

:.AE=BE,

11

V-AOxAOr=-AExOO；

22

,11

・・—x3x4二一xAEx5,

22

解得：AE=2.4,

故选：D.

变式4-3.（2021•黑龙江双鸭山市模拟）如图，AABC的内切圆OO与BC、CA、AB分别相切于点

D、E、F,且AB=5,BC=13,CA=12,则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是

A

【答案解析】4

【提示】

先操纵勾股定理判断AABC为直角三角形，且NBAC=90。，继而证明四边形AEOF为正方形，设

。0的半径为r,操纵面积法求出r的值即可求得答案.

【详解】

VAB=5,BC=13,CA=12,

.\AB2+AC2=BC2,

.♦.△ABC为直角三角形，且NBAC=90。,

为△ABC内切圆，

ZAFO=ZAEO=90°,且AE=AF,

•••四边形AEOF为正方形，

设。O的半径为r,

；.OE=OF=r,

2

S四边aAEOF-r,

毗邻AO,BO,CO,

SAABC=SAAOB+SAAOC+SABOC,

：.­（AB+AC+BC）r=~ABAC,

/.r=2,

2

S内边形AEOF=r=4,

考查题型五操纵勾股定理逆定懂得决现实问题

典例5.（2021.老河口市模拟）如图，中俄“海上联合一2021”军事演习在海上编队演习中，两艘航

母护卫舰从同一港口0同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16

海里/小时速度航行，脱离港口1.5小时后它们分别到达A,B两点，相距30海里，则二号舰航行的

方向是（）

A.南偏东30°B.北偏东30°C.南偏东60°D.南偏西60°

【答案解析】C

【提示】由题意可知OA=18,OB=24,AB=3O,由勾股定理逆定理可知/AOB=90。，联合方位角即可确

定出二号舰的航行方向.

【详解】如图，由题意得:OA=12xl.5=18,OB=16x1.5=24,

VAB=3O,

.\OA2+OB2=182+242=900=302=AB?,

ZAOB=90°,

YZAOC=30°,

ZBOC=ZAOB-ZAOC=60°,

，二号舰航行的方向是南偏东60°,

故选C.

变式5-1.(2021•沐阳县模拟)如图1,园丁住宅小区有一块草坪如图所示.已知AB=3米,BC=4米,

CD=12米,DA=13米，且AB_LBC,这块草坪的面积是()

A.24米2B.36米2C.48米2D.72米2

【答案解析】B

【提示】毗邻AC,先根据勾股定理求出AC的长，然后操纵勾股定理的逆定理证明AACD为直角三

角形.从而用求和的方式求面积.

【详解】毗邻AC,则由勾股定理得AC=5米，因为AC2+DC?=AD2,所以NACD=90。.

这块草坪的面积=SRSABC+SRSACD=LAB・BC+LAC・DC=L(3X4+5X12)=36米2.故选B.

222

变式5-2.（2021•内蒙古巴彦淖尔市模拟）一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的

高，并按次序记录下数据，量完后，不警惕与其他记录的数据记混了，请你扶助这位师傅从下列数

据中找出等腰三角形工件的数据（）

A.13,10,10B.13,10,12C.13,12,12D.13,10,II

【答案解析】B

【提示】根据等腰三角形的三线合一，得底边上的高也是底边上的中线.根据勾股定理知：底边

的一半的平方加上高的平方应等于腰的平方，即可得出正确结论.

【详解】解：由题可知，在等腰三角形中，底边的一半、底边上的高以及腰正好构成一个直角三

角形，且（3）2+122=132,吻合勾股定理.

2

故选艮

变式5-3.（2021•广东梅州市模拟）如图所示的一块地，已知NADC=90。，AD=12m,CD=9m,

AB=25m,BC=20m,则这块地的面积为（）平方米.

>D

A.96B.204C.196D.304

【答案解析】A

【提示】毗邻AC,运用勾股定理逆定理可证△ACD,△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的

面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差.

【详解】毗邻AC,

C

则在RSADC中,

AC2=CD2+AD2=I22+92=225,

；.AC=15,在△ABC中，AB2=1521,

AC2+BC2=152+362-1521,

.,.AB2=AC2+BC2,

二ZACB=9O°,

ASAABC-SACD=—AC«BC--AD«CD=—x15x20--x12x9=150-54=96（平方米），

A2222

故选A.

变式5-4.（2021•辽宁辽阳市模拟）如图，在P港有甲、乙两艘船，若甲船沿北偏东60°的方向以

每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，2小时后甲船到A岛，乙船

到3岛，两岛相距34海里，则乙船的航行方向是（）

北T1

c7B

A.南偏东30°B.南偏东40。C.南偏东50。D.南偏东60°

【答案解析】A

【提示】由路程=速度x时间可得PA、PB长，根据勾股逆定理可知△R45是直角三角形，即

ZAPB=90°,易知乙船的航行方向.

【详解】解：如图

北木

由题意可得「4=8x2=16,P8=15x2=30,AB=34

R42=162=256,PB2=302=900,AB2=3<=1156

PA2+PB2=AB2

:.APAB是直角三角形，即N4PB=90°,

NBPC=180°-60°-90°=30°

所以乙船的航行方向是南偏东30。.

故选：A.

变式5-5.（2021•隆昌市模拟）如图，三个村庄A,B,C之间的间隔分别为AB=15km,BC=9km,

AC^nkm,已知A,B两村之间已修建了一条笔直的村级公路AB,为了实现村村通公路，此刻

要从C村修一条笔直公路CD直达AB,已知公路的造价为10000元/km,则修这条公路的最低造价是

几元？

【答案解析】72000元

【提示】起首得出AC2+5C2=12?+9?=225=15?=AB2,然后操纵其逆定理得到ZACB=90。,

根据垂线段最短确定最短间隔，然后操纵面积相等求得CD的长，终极求得最低造价.

【详解】解：：M=15k〃，BC=9km,AC=Ukm

AC2+JBC2=122+92=225=152=AB2

ZACB=90°

要使公路的造价最低，则CD_LAB

S.='ABxCO=』ACxBC

AABCr22

故这条公路的最低造价为：7.2x10000=72000（元）

变式5-6.（2021•江苏盐城市模拟）如图，在四边形ABCO中，A3=BC=4,8=6,

49=2,且NABC=90°,试求四边形A8CO的面积.

【答案解析】8+40

【提示】毗邻AC,根据题意求出AC,从而判断4ACD为直角三角形，由SABCD=SMBC+SAACD即可

求解.

【详解】如图，毗邻AC,

则在中，AC=VAB2+AC2=472>

又•：CD=6,AD=2,

AC?+心=32+4=36,CD2=36,

AAC2+AD1=CD2,4ACD为直角三角形，AC±AD,

SABCD=SABC+SAACD=--AB*BCH—AD*AC——x4x4H—x2x45/2=8+4>/2.

2222

考查题型六勾股定理逆定理的拓展

典例6.（2021•福建泉州市模拟）阅读：判断三角形的形状，有一个重要的方式：参加一个三角形有两

边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.这个方式称为“勾股定理的逆定理”,

范例：在AABC中，a、b、c是其三条边，已知a=有，b=J7,C=26,判断AABC

的形状.

解：在AABC中，因为a?+b2=（灼飞⑺：⑵C2=（2>/3）2=12,所以a?+b2=c2.所

以^ABC是直角三角形.

卖力阅读上述材料后，按此方式解答下列问题：

（1）填空：已知三角形的三边长分为5、12、13,因为,所以这个三角形是直角三

角形.

（2）已知AABC三边分为a=n2+l、b=n2-l.c=2n,求证：△ABC是直角三角形.

（3）已知。、b、c是AABC的三边，且满足a2c2—b2c2=a4—b'试判断AABC的形状.

【答案解析】（1）52+12・132（2）见解析（3）等腰三角形或直角三角形，来由见解析

【提示】

（1）根据勾股定理的逆定理即可判断.

（2）根据勾股定理的逆定理即可证明；

（3）根据整式的乘法公式变形化简，即可判断出三角形的形状.

【详解】

1）+（2〃）-="4—+1+4〃2=+2"?+1=（/I?+1）=/

变式6-1.（2021・景县模拟）勾股定理是一个根基的几何定理，尽在我国西汉期间算书《周髀算经》

就有“勾三股四弦五”的记载.参加一个直角三角形三边长都是正整数，如许的直角三角形叫“整数直角

三角形”,这三个整数叫做一组“勾股数如3,4,5;5,12,13;7,24,25;8,15,1勾9,40,41：等等都是勾股

数.

（探讨1）

（1）参加a、b、c是一组勾股数，即满足片+〃=。2,则依、幼、kc（k为正整数）也是一组勾

股数.如；3,4,5是一组勾股数，则________________也是一组勾股数；

（2）另外操纵一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出

a=2〃+l力=21+2〃,，=2〃2+2〃+1（〃公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的

。力,c是一组勾股数；

（3）值得自豪的是，天下上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书

中提到：当a=，（加?一〃B，b=mn,c=—[ivr〃为正整数，相＞〃）时，a,A,c构成一组

22

勾股数；请根据这一结论直接写出一组吻合前提的勾股数.

（探讨2）

察看3,4,5;5/2,13;7,24,25；...,可以发觉这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并

且勾为3时股4=；x（9—1）,弦5=gx（9+l）：勾5为时，股12=；x（25—1）,弦

13=1x（25+l）：

请仿照上面两组样例，用发觉的规律填空：

（1）参加勾为7,则股24=；弦25=；

（2）参加用23,且〃为奇数）示意勾，请用含有〃的式子示意股和弦，则股=；弦

=.

（3）察看4,3,5;6,8,10;8,15,/7;...;以，）,82；…,可以发觉各组的第一个数都是偶数，且从4起也

没有间断过.

①人=_；

②请你直接用加（加为偶数且，〃24）的代数式示意直角三角形的另一条直角边；和弦

的长_______________

【答案解析】探讨1(1)6,8,10；(2)详见解析；(3)a=6,h=8,c=l()；探讨2⑴

；（49一1）,；（49+1）；（2）那+i）：⑶①80,②⑶,!弦图】

【提示】

探讨1：(1)根据勾股定理/+。2=/,令k=2即可求解(答案不独一)

(2)根据完全平方公式求出/+〃、02根据勾股定理逆定理即可求证;

(3)根据勾股定理逆定理计算，证明结论，根据题意写出勾股数；

探讨2:(1)根据规律即求解；

(2)参加勾用n(nN3,且n为奇数)示意时，则股=((〃2一弦=g(〃2+])；

(3)根据规律可得股比弦小2,根据规律可得，参加"C是吻合同样规律的一组勾股数,

a=mQn为偶数旦利》4),根据所给3组数据找出规律即可得结论.

【详解】

探讨1:(1)6,8,10(答案不独一)；•

(2)证明:

2

(2〃+1)2+(2/+2〃y=4/+4〃+1+4〃2+8/+4/=而+8/+8«+1

:.(2rr+2〃+1)?=4n4+8/+8n2+l,

(2〃++(2n2+2n)2=(2n2+2〃+1)2,

满足以上公式的仇c是一组勾股数;

(3)Va2+b2--(m2-H2)"|+(mnY--n/一•-m2n2+—n2+m2n2=—m4+—m2n2+—n2

_2V〃''424424

「12

1/22\I2

=~^yn+〃)=c

...满足以上公式的a