2021年中考05 三角形中的最值问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练（全国通用）（解析版）

专练05三角形中的最值问题

1.几何探讨题

（1）发觉：在平面内，若AB=a,BC=b,其中b>a.

当点4在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为；

当点A在线段CB耽误线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为.

（2）应用：点A为线段8c外一动点，如图2,分别以AB、AC为边，作等边△AB。和等边△ACE,

毗邻CD、BE.

①证明：CD=BE:

②若BC=5,AB=2,则线段BE长度的最大值为.

（3）拓展：如图3,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0）,点8的坐标为（7,0）,点尸

为线A8外一动点，且P4=2,PM=PB,/BPM=90。.请直接写出线段AM长的最大值及此时

点尸的坐标.

【答案解析】（1）•••当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为BC-AB.

VBC=b,AB=a,

/.BC-AB=b-a,

当点A在线段CB耽误线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为BC+AB,

VBC=b,AB=a,

BC+AB=b+a,

故答案为：b-a,b+a；

(2)解:①CD=BE,来由：:△ABD与△ACE是等边三角形，；.AD=AB,AC=AE,

ZBAD=ZCAE=60°,AZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,即NCAD=/EAB,在△CAD与△EAB中,

AD=AB

{/.CAD=^EAB,.,.△CAD^AEAB(SAS),/.CD=BE；7

AC=AE

②•.•线段BE长的最大值=线段CD的最大值，

...由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的耽误线上，

最大值为BE=CD=BD+BC=AB+BC=5+2=7；

故答案为：7.

(3)解：最大值为5+2V2;

/.P(2-V2,V2)

如图1,毗邻BM,

图1

,/将4APM绕着点P顺时针旋转90。得至必PBN,毗邻AN,则4APN是等腰直角三角形,

，PN=PA=2,BN=AM,

TA的坐标为（2,0）,点B的坐标为（7,0）,

；.AO=2,OB=7,

AB=5,

.••线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，

...当N在线段BA的耽误线时，线段BN取得最大值，

最大值=AB+AN,

VAN=V2AP=2V2,

•••最大值为5+2V2;

如图2,过P作PEJ_x轴于E,

•••△APN是等腰直角三角形,

，PE=AE=V2,

.,.OE=OA-AE=2-V2,

.*.P(2-V2,V2).

2.阅读下列材料，解决提出的问题:

【最短路径问题】

如图（1）,点A,B分别为直线1异侧的两个点，若何在直线1上找到一个点C,使得点C到点

A,点B的间隔和最短？我们只需毗邻AB,与直线1订交于一点，可知这个交点即为所求.

如图（2）,参加点A,B分别为直线1同侧的两个点，若何在1上找到一个点C,使得这个点到点

A、点B的间隔和最短？我们可以操纵轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，，这时对于直线1上

的任一点C,都连结CB=CB:从而把问题（2）变为问题（1）.是以，线段AB，与直线1的交点C

的位置即为所求.

为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C，，毗邻AC,BC\B'C\

因为AB'WAC'+C'B',；.AC+CBWAC，+C，B,即AC+BC最小.

（1）【数学摸索】

材料中划线部分的依据是.

（2）材料中解决图（2）所示问题表现的数学思想是.（填字母代号即可）

A.转化思想B.分类会商思想C.整体思想

（3）【迁移应用】

如图3,在ABC中，ZC=90°,ZBAC=15°,点P为C边上的动点，点D为AB边上的动

点，若AB=6cm,求BP+DP的最小值.

【答案解析】（1）两点之间线段最短大概三角形任何两边的和大于第三边

（2）A

（3）解：如图，作点B关于点C的对称点B，，毗邻AB）作于H.

作点D关于AC的对•称点D：则PD=PD；

・・・PB+PD=PB+PD',

根据垂线段最短可知，当点D，与H重合，B,P,D共线时，PB+PD的最小值=线段BH的长,

VBC=CB；AC±BB；

.♦・AB=AB；

・・・NBAC=NCAB』15。，

AZBAH=30°,

在RSABH中，VAB=3cm,NBAH=30。，

BH=-AB=3cm,

2

・・・PB+PD的最小值为3cm

3.如图

(I)性质：角平分线上的点到角两边的间隔相等，如图1:OP平分/MON,PCJ_OM于C,PB±ON

于B,则PBPC（填“>”“〈”或“=”）；

⑵探索：如图2,小明发觉，在“BN,AD是NBAC的平分线，则黑蓝，请帮小明说

明缘故.

(3)应用：如图3,在小区三条交叉的道路AB,BC,CA上各建一个菜鸟驿站D,P,E,工作人

员天天来回的路径为P-D-E-P,

①问点P应选在BC的那边时，才能使PD+DE+PE最小？

②若/BAC=30。，SAABC=10,BC=5,则PD+DE+PE的最小值是几？

【答案解析】(D•.,OP平分NMON,PCJ_OM于C,PBJ_ON于B,

(2)解：来由：过点D作DELAB于E,DF1AC于F

E

F

・・・AD是NBAC的平分线，

ADE=DF

-DE,AB.—

•rSAABDDn_2________AB.

♦・一］一;

SAADC-DFACAC

（3）解:①过点A作APLBC于P,分别作点P关于AB、AC的对称点Pl、P2,毗邻P1P2分别

交AB、AC于D、E,毗邻PD、PE,API、AP2,

由对称的性质可得AP1=AP=AP2,DP1=DP,EP2=EP,

/.PD+DE+PE=DP1+DE+EP2=P1P2,根据两点之间，线段最短和垂线段最短，即可得出此时

PD+DE+PE最小，即P1P2的长

即当AP1BCTP时，PD+DE+PE最小；

@VSAABC=IO,BC=5,

1

:.士BCAP=10

2

解得:AP=4

由对称的性质可得AP1=AP=AP2=4,DP1=DP,EP2=EP,ZDAPI=ZDAP,ZEAP2=ZEAP

ZDAPI+NEAP2=NDAP+NEAP=/DAE=30°

，NP1AP2=6O°

.♦.△P1AP2是等边三角形

；.P1P2=API=4

即PD+DE+PE的最小值是4.

4.如图

(1)探索1：如图1,点A是线段BC外一动点，若AB=2,BC=4,填空：当点A位于

线段AC长取得最大值，且最大值为、

(2)探索2:如图2,点A是线段BC外一动点，且AB=1,BC=3,分别以AB、BC为直角

边作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形CBE,毗邻AC、DE.

①请找出图中与AC相等的线段，并说明来由;

②直接写出线段DE长的最大值;

(3)如图3,在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)、B(5,0),点P、M是线段AB外

的两个动点，且PA=2,PM=PB,/BPM=90。，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标.

(提示：在图4中作PN±PA,PN=PA,毗邻BN后，操纵探索1和探索2中的结论，可以解决

这个问题)

【答案解析】(1)•••点A为线段BC外一动点，且AB=2,BC=4,

二当点A位于CB的耽误线上时，线段AC的长取最大值，最大值为2+4=6,

故答案是：CB的耽误线上，6；

(2)解:①：AABD和ACBE是等腰直角三角形，

二AB=DB,CB=EC,zABD=zCBE=90°,

二4ABD-ZABE=ZCBE-ZABE,即ZDBE=ZABC,

在△BAC和△BDE中，

BA=BD

{4ABC=ZDBE,

BC=BE

△BAC=△BDE(SAS),

二AC=DE；

②由(1)知AC的最大值是AB+BC=4,

DE=AC,

.♦•DE长的最大值是4；

类比应用：

(3)解：如图，过点P作PNJ_PA,PN=PA,毗邻BN,

根据(2)中的方式，同理可以证明AAMPmANBP,

/.AM=BN,

当点N在线段BA的耽误线上时，线段BN取最大值，也就是线段AM取最大值，最大值是AB+

AN,

•••A(2,0),B(5,0),

AB=3,

AAPN是等腰直角三角形,

,AN=V2AP=2V2,

，最大值是2衣+3,

如图，过点P作PElx轴于点E,

•；AAPN是等腰直角三角形，

PE=AE=夜，

OE=BO-AB-AE=5-3-V2=2-V2,

P(2-V2,V2),

如图，点P也有大概在x轴下方，与方才的点P关于x轴对称,

P(2-V2,-V2),

综上：点P的坐标是(2-V2,V2)或(2-V2,-V2).

5.在等腰RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC=6&,D是射线CB上的动点，过点A作AF±AD

(AF始终在AD上方)，且AF=AD,毗邻BF

(1)如图1,当点D在线段BC上时，BF与DC的关系是.

(2)如图2,若D、E为线段BC上的两个动点，且NDAE=45。，毗邻EF,DC=3,求ED的长.

(3)若在点D的运动过程中，BD=3,则AF=.

(4)如图3,若M为AB中点，毗邻MF,在点D的运动过程中，当BD=时，MF的长最

小？最小值是.

【答案解析】(1)当点D在线段BC上时,

VAF=AD,ZBAF=90°-zBAD=ZDAC,AB=AC

FAB2DAC(SAS)

.1•BF=DC

(2)解：：AE=AE,4EAF=9(T-NDAE=45O=4EAD,AF=AD,

FAE三&DAE(SAS)

ED=EF=3

(3)BD=3,设AG为BC边上的高，G为垂足，

在等腰RtAABC中，G为BC的中点,

AF=AD=VAG2+DG2=762+(6-3)2=3式

(4)点F的轨迹是过点B,且垂直于BC的射线，根据垂线段最短的性质，当MF1BF时，线

段MF最短，

又因为BC1BF,Z.ABC=45°,ZFBD=90°

BFM为等腰直角三角形,

V2V2ABV2

MF=BF=—BM=—x—=—x6v2=3

2224

BD=BC-DC=12-3=9

此时MF=3.

(1)发觉

如图①所示，点A为线段BC外的一个动点，且BC=a,AB=b.填空：当点A位于时，线段

AC的长取得最大值，且最大值为(用含a、b的式子示意).

(2)应用

点A为线段BC外一个动点，且BC=4,AB=1.如图②所示，分别以AB,AC为边，作等边三角形ABD

和等边三角形ACE,毗邻CD,BE.

①找出图中与BE相等的线段，并说明来由；

②直接写出线段BE长的最大值

（3）拓展

如图③所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0）,点B的坐标为（6,0）,点P为线

段AB外一个动点，且PA=2,PM=PB,/BPM=90。.请直接写出线段AM的最大值________及此时点P

的坐标.

【答案解析】（1）;点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b,

当点A位于CB的耽误线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b,

故答案为：CB的耽误线上；a+b：

（2）解:①CD=BE；

来由：•/△ABD与△ACE是等边三角形，

.♦.AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,

二ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,

即/CAD=NEAB,

在△CAD与△EAB中，

AD=AB

{△CAD=4EAB,

AC=AE

.".△CAD^AEAB,

②•.•线段BE长的最大值=线段CD的最大值,

由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的耽误线上，

.••最大值为BD+BC=AB+BC=5

故答案为：5；

（3）；将△APM绕着点P顺时针旋转90。得到△PBN,毗邻AN,

则△APN是等腰直角三角形，

，PN=PA=2,BN=AM,

的坐标为（2,0）,点B的坐标为（6,0）,

AOA=2,OB=6,

二AB=4,

二线段AM长的最大值=线段BN氏的最大值,

...当N在线段BA的耽误线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN,

VAN=V2AP=2y/2,

，AM长的最大值为2V2+4：

如图2,当点P在第一象限时，过P作PELx轴于E.

图2

：△APN是等腰直角三角形,

PE=AE=V2,

.•.OE=OA-AE=2-V2,

，P(2-V2,V2);

如图3,当点P在第四象限时,

图3

根据对称性可知，P(2-V2,-V2)也吻合题意

综上：点P的坐标为(2-y/2,V2)或(2-V2,-V2)

故答案为：2夜+4；(2-V2,或)或(2-血，-&).

7.在等腰RtAABC中，Z.BAC=90°,AB=AC=6近，。是射线CB上的动点，过点A

作力F_L4。(4F始终在4。上方)，且=毗邻8F.

(1)如图1,当点。在线段BC上时，BF与CC的关系是；

(2)如图2,若点D,E为线段BC上的两个动点，且4ZME=45。，毗邻EF,DC=3,

求ED的长；

(3)若在点。的运动过程中，BD=3,则AF=；

(4)如图3,若M为4B中点，毗邻MF,在点。的运动过程中，当BD=吐

MF的长最小？最小值是.

【答案解析】(D长度相等

(2)5

(3)3V5

(4)9；3

【试题解答】(1),/AF1AD

ZDAF=90°

ZBAC=90°

ZCAD=ZBAC-ZBAD=ZDAF-ZBAD=ZBAF

即/CAD=NBAF

,/AB=AC,AF=AD

.".△ADC^AAFB,

...BF=DC

故答案为：长度相等；

(2)由(1)可知AADC/△AFB,

•/zDAE=45°,zBAC=90°

・♦・ZCAD+ZBAE=45°

•/ZCAD=ZBAF

/.ZBAF+ZBAE=45°

AZFAE=45°=ZDAE

VAD=AF,AE=AE

AAAED^AAEF,得至ljEF=DE,设DE=x,

丁ZBAC=90°,AB=AC=6V2,

：.BC=VAB2+AC2=12,NC=NABC=45。，

AZABF=ZC=45O

・・・ZFBE=90°

•••△BEF是直角三角形，

VEF=DE=x,CD=3

ABE=9-x,BF=CD=3

在RtABEF中，EF2=BF2+BE2,

即x2=32+(9-x)2,

解得x=5

即DE的长为5；

(3)如图，过A点作AHLBC于H点,

:△ABC为的等腰直角三角形

AAH是△ABC的中线，

/.AH=-BC=6

2

VBD=3,

/.DH=BH-BD=3

二AD=VAH2+DH2=3V5

，AF=3V5

故答案为：3圾:

(4)如图，取AC中点M，，故BM=CM，

F

■:NFBM=NC,BF=CD

AMF=M'D,

故当M，D最短时，则MF最短,

作M'DLBC于D，点,

则AChM，是等腰直角三角形,M'C=iAC=3V2

设CD，=D，M，=a

a2+a2=(3V2)2

解得a=3(负值舍去)

，CD，=3

故此时BD=12-3=9,MF=D'M'=3

故答案为：9；3.

8.如图1,已知直线1的同侧有两个点A,B,在直线1上找一点P,使P点到A,B两点的间隔之和

最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线1的对称点,对称点与另一点的连线

与直线1的交点就是所要找的点，通过这种方式可以求解无数问题

（1）如图2,在平面直角坐标系内，点A的坐标为（1,1）,点B的坐标为（5,4）,动点P在x

轴上，求PA+PB的最小值；

（2）如图3,在锐角三角形ABC中，AB=8,ZBAC=45°,/BAC的角平分线交BC于点D,M、N

分别为AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为

（3）如图4,ZAOB=30°,0C=4,OD=10,点E,F分别为射线OA,0B上的动点，则

CF+EF+DE的最小值为

【答案解析】（1）解：如图2:作点A关于x轴的对称点A'（l,-1）,连A'B交x轴于点P,

APA+PB的最小值就是A'B的长,

,:二（1,-1）,点B的坐标为（5,4）,

'A，B=J(1-5。+(-1-4尸=V41,,

...PA+PB的最小值为"I；

(2)：AD平分NBAC,

:.NCAD=NBAD,

；•直线AB与直线AC关于直线AD对称，

如图3,作点N关于直线AD的对称点N，,毗邻MN，,

MN=MN',

BM+MN=BM+MN',

当点B,点M,点N'三点共线，且BM垂直AC时，BM+MN的值最小,

，此时，BN'_LAC,

•••ZCAB=45°,

NABN'=45°,

AN'=BN',

vAB—8,

由NZA2+NZB2=AB2=64,

N'B2=32,

BN，=4V2(负根舍去)

所以此时：BM+MN=BN，=4或，

.♦.BM+MN的最小值为4A/2,

故答案为4A/2;

(3)如图4,过作点C关于OB的对称点C,作点D关于OA的对称点D',毗邻C'D，交OA

于点E,交OB于点F,

,CF+EF+DE=C'F+EF+D'E,

由两点之间，线段最短，可得CF+EF+DE的最小值为C,D,,

毗邻CU交0B于点G,毗邻D。交OA于点N,

过点D'作D'P10B于P,作D'H1CCZ于点H,

ZAOB=30°,OC=4,OD=lO,CC'1OB,DD'1OA,

CG=|OC=2=UG,OG=V42-22=2®

DN=DfN=|OD=5,NODN=60。,

:.DD'=10/PD'D=30°,

1/

•••PD=扣》=5=OP,DZP=V102-52=5V3,

D'H=PG=OP-OG=5—2V3,

C'H=C'G+GH=C'G+PD'=2+573,

­•C'D'=

所以CF+EF+DE的最小值为2的.

故答案为：2回.

9.发觉规律:

（1）如图①，4ABe与△ADE都是等边三角形，直线BD,CE交于点F.直线BD,AC交于点

H.求乙BFC的度数

（2）已知：AABC与△ADE的位置如图②所示，直线BD,CE交于点F.直线BD,AC交于点

H.若AABC=AADE=a,4ACB=^AED=0,求乙BFC的度数

E

图②

（3）如图③，在平面直角坐标系中，点。的坐标为（0,0）,点M的坐标为（3,0）,N为y轴上

一动点，毗邻MN.将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK,毗邻NK,OK,求线

段OK长度的最小值

【答案解析】（D解：:AABC与4ADE是等边三角形

，AB=AC,AD=AE,zBAC=zDAE=4ABe=zACB=60°

，ZBAD=ZCAE

・・・△BAD=△CAE(SAS)

・・・4ABD=NACE

•/ZABD+ZDBC=ZABC=60°

/.ZACE4-ZDBC=60°

/.ZBFC=180°-ZDBC-zACE-zACB=60°；

(2)解：ZABC=ZADE=a,zACB=zAED=0

**•△ABCADE

ABAC

，ZBAC=ZDAE,=—

ADAE

AB_AD

：.zBAD=zCAE,

AC-AE

**•△ABDACE

/.ZABD=ZACE

丁zBHC=4ABD+zBAC=zBFC+4ACE

・♦・zBFC=zBAC

•:ZBAC+4ABe+ZACB=180°

:.zBFC+a+0=180°

:.ZBFC=180°-a-p；

应用结论：

(3)解：•・•将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK

:.MN=MK,ZNMK=60°

・・・AMNK是等边三角形

・•・MK=MN=NK,ZNMK=zNKM=ZKNM=60°

如下图，将AMOK绕点M顺时针旋转60。，得至IJ/kMQN,毗邻OQ

/.△MOK=△MQN,ZOMQ=60°

AOK=NQ,MO=MQ

・・・AMOQ是等边三角形

・•・ZQOM=60°

・•・ZNOQ=30°

VOK=NQ

，当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当QN^y轴时，NQ有最小值

•・•点M的坐标为(3,0)

・♦.OM=OQ=3

,:QN_Ly轴，Z.NOQ=30°

1a

NQ=|OQ=|

二线段OK长度的最小值为|.

10.如图1,在等腰三角形4BC中，〃=120。,48=40点。、E分别在边48、4c上，AD=

AE,毗邻BE,点、M.N、P分别为DE、BE、BC的中点.

图2

(1)察看料想

图1中，线段NM、NP的数量关系是,AMNP的大小为:

(2)探讨证明

把△力DE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，毗邻MP、BD、CE,判断△MNP的形状,

并说明来由;

(3)拓展延伸

把&ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1,AB=3,要求出△MNP面积的最大值.

【答案解析】⑴由题意知：AB=AC,AD=AE,且点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点,

ABD=CE,MN〃BD,NP〃CE,MN=|BD,NP=gEC

；.MN=NP

又：MN〃BD,NP〃CE,ZA=120°,AB=AC,

AZMNE=ZDBE,ZNPB=ZC,ZABC=ZC=30°

根据三角形外角和定理,

得NENP=NNBP+NNPB

丁NMNP二NMNE+NENP,NENP=NNBP+NNPB,

ZNPB=ZC,ZMNE=ZDBE,

JZMNP=ZDBE+ZNBP+ZC

=ZABC+ZC=60°.

（2）解：△MNP是等边三角形.

来由如下:

如图，由旋转可得ZBAD=ZCAE

在△ABD和△ACE中

AB=AC

{△BAD=ZCAE

AD=AE

•••△ABD^AACE(SAS)

.•・BD=CE,Z.ABD=ZACE.

••,点M、N分别为DE、BE的中点,

MN是△EBD的中位线,

1

•••MN=-BD且MN//BD

同理可证PN=1CE且PN//CE

••.MN=PN,ZMNE=ZDBE,ZNPB=zECB

•・,zMNE=zDBE=zABD+zABE=4ACE+乙ABE

ZENP=ZEBP+ZNPB=ZEBP+ZECB

・•・ZMNP=ZMNE+ZENP=zACE+zABE+zEBP+zECB

=ZABC+ZACB=60°.

在^NINP中

•rNMNP=60°,MN=PN

/.△MNP是等边三角形.

(3)解：根据题意得：BDWAB+AD

即BD44,从而MN<2

△MNP的面积TMN《MN号MV•

•，.△MNP面积的最大值为V3.

11.在平面直角坐标系xoy中，等腰直角△ABC的直角极点C在y轴上，另两个极点A,B在x

轴上，且48=4,抛物线经由A,B,C三点，如图1所示.

(1)求抛物线所示意的二次函数表达式.

(2)过原点任作直线/交抛物线于M,N两点，如图2所示.

①求△CMN面积的最小值.

②已知Q(l,-|)是抛物线上必然点，问抛物线上是否存在点尸，使得点P与点。关于直线/

对称，若存在，求出点尸的坐标及直线/的一次函数表达式；若不存在，请说明来由.

【答案解析】(1)解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

在等腰Rt△ABC中，0C垂直平分AB,且AB=4,

二OA=OB=OC=2.

:.A(-2,0)B(2,0)C(0,-2)

4a+2b+c=0

{4a—2b4-c=0,

c=-2

1

a=-

解得：｛b=i

c=-2

，抛物线的解析式为y=；x2-2

(2)解:①设直线I的解析式为y=kx,交点M(X1,y2),N(x2,y2)

.y=-1xz2—2n

由｛r,2

y=kx

可得|x2—kx-2=0,

/.Xj+x2=2k,Xj-x2=—4.

22

:.(xx-x2)=&+x2)-4x62=4k2+16,

**•|xi-x2|=2Vk2+4.

2

••SMMN=SA0CM+SA0CN=I,OC-(X!—x2|=2Vk+4.

・・・当k=0时，2V1匹百取最小值4.

S4cMN的最小值是4.

②假定抛物线上存在点P(m,im2-2),使得点P与点Q关于直线1对称,

解得：m1=V5,m2=—V3,m3=1,m4=-1

;m3=1,m4=-1,(不合题意，舍去.)

当m1=旧时，点，线段PQ的中点为(等1).

二k=-隗=1一遍.

直线1的表达式为：y=(l-V3)x.

当m1=—V3时，点P(—V3,—1),线段PQ的中点为(与£—1).

k=-&=1+75.

二直线1的表达式为：y=(1+V3)x

M

综上：点P（V3,—,y=（1—V5）x或点P（—V3,—1）,y=（1+V3）x.

12.如图，在平面直角坐标系中，XAOB的极点0是坐标原点，点A的坐标为（4,4）,点B

的坐标为（6,0）,动点P从O最先以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间

为t秒（0<t<4）,过点P作PN/x轴，分别交40,48于点M,N.

（1）填空：AO的长为AB的长为

（2）当t=1时，求点N的坐标：

（3）请直接写出MN的长为（用含t的代数式示意）；

（4）点E是线段MN上一动点（点E不与点M.N重合），△40E和A4BE的面积分别示意

为Si和52,当t=g时，请直接写出S「Sz（即Si与52的积）的最大值为.

【答案解析】（1）•••点A的坐标为（4,4）,点B的坐标为（6,0）

AO=7平+42=4V2,AB=742+(6-4)2=2>/5,

故答案为：4V2,2V5;

(2)解：设直线AB的解析式为y=kx+b(kR0),将A(4,4),B(6,0)代入得：

[4=4k+b解得卢=—2

[0=6k+b'喇(b=12'

/.y=-2x+12,

由题意可知点N的纵坐标为1,

•••令y=l得l=—2x+12,解得x=羡，

•••衅,1）；

（3）♦.•动点P从O最先以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，运动的时间为t秒,

MN到OB的间隔为t,

二△AMN的高为4-t,

二△AMN与AAOB的高之比为—,

4

•/MN//OB,

△AMNAOB,

.MN4-t12-3t

>•-----=------即MN