理学解析函数的积分

自身不相交的连续曲线称为简单曲线；简单曲线也称为若尔当(Jordan)曲线.闭合的光滑或逐段光滑的曲线称为围线.围线的逆时针方向记为c,顺时针方向记为c–.对某一区域,当观察者沿边界c

前进时,区域内部始终在人的左侧,则此时的方向为围线的正方向.复连通区域的边界称为复围线,该围线的正向为：记,弧段的长度为,若当时,和式sn有唯一的极限,则称该极限为函数f(z)沿曲线c的积分.记作,即：二.复积分的定义定义2.1

设函数f(z)定义在由a到b的有向曲线c上.将c任意分成n小段,分点为.在弧段上任取一点并作和式：2.(a为复常数)若在c上连续,则存在,并且三.复积分的性质若c为围线,则记为.如果不加说明,总是沿围线c的正方向积分.3.4.即复变函数的积分可归结为两个实函数的线积分.7.如果f(z)=f[z(t)],其中t是参数,α≤

t≤β,当t从α变到β时,点z(t)沿光滑曲线c从起点到达终点,则6*.若f(z)沿曲线c连续,且|f(z)|≤M,L是c的长度则

其中是曲线c上弧长的微分.5.

其中,c

由c1

和c2

连接而成.曲线积分的计算可通过将曲线c的方程：或,参数方程:代入,将曲线积分化为对一个变量的积分.性质1.若在c上连续,则存在,并且

性质1给出了复变函数积分的计算方法,即化复积分为关于坐标x,y的曲线积分(第二类线积分).例2.1计算,c是从点1+i到原点的直线段解二：解一:

在此直线段上,可令x=t,y=t,

t∈[0,1],(2)从z=0经z=1到z=1+i折线段?若积分路径为从z=1+i

经z=1

到z=0折线段?习题2.2.1

计算,积分路径c分别是:(1)从z=0到z=1+i的直线段(2)从z=0经z=1到z=1+i折线段?复积分是否与积分路径有关？预备知识格林公式:设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数f(x,y)及g(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有：预备知识：格林公式的推论函数f(x,y)及g(x,y)在单连通区域D上有一阶连续偏导数,则以下4个条件等价：对沿D内有分段光滑的闭曲线c,有2.对沿D内分段光滑的曲线l,积分与路径无关,而只与起点和终点有关：3.D内有函数F(x,y),使得:4.在区域D内,有(格林公式)§2.2柯西积分定理定理2.1(柯西积分定理)

设f(z)是单连通区域D内的解析函数,c为D内任一围线,则：证明：严格的证明比较困难.但在假设f'(z)连续后,可利用复变函数积分的计算公式和二元实函数积分的格林公式进行证明.格林公式:设闭区域D由分段光滑的曲线l围成,函数f(x,y)及g(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有：假设f'(z)连续,证明：定义：由推论2.1,

记,则F(z)是D内的单值函数,F(z)

称为f(z)的一个不定积分(或原函数).推论2.1的证明:

1.由柯西积分定理证明.*2.通过格林公式的推论证明.推论2.1设f(z)在单连通区域D内解析,c为D内两点的简单曲线,则的值不依赖于曲线c,而只由起点z0和终点和z1决定.※f(z)的原函数不唯一,但它们只相差一个常数.定理2.3解析函数

f(z)的不定积分F(z)在D内解析,

并且F'(z)=f(z)以上积分结果与路径无关,可取路径为z

到z+Δz的线段.*证：f(z)在D内连续s.t.当时,有定理2.4

若f(z)在单连通区域D内解析,且

G'(z)=f(z),则有故当时,有这就证明了F(z)解析,且因此,F(z)的导数为：由定理2.1,在围线上定理2.2

(复连通区域柯西积分定理)

设f(z)是复连通区域内的解析,的边界围线c2含于围线c1的内部,则：证明：作割线ab连接c1和c2,则变为单连通区域.ab与ba是反向曲线,因此其中复围线,为的正向边界.一般的,若围线c2,c3,…,cn

互不相交,互不包含,且都在围线c1的内部.若f(z)在由c1,c2,c3,…,cn所围闭复连通区域上解析,则上式即为：例2.2试证明:若点α在围线c的内部,则有证明:

以点α为中心作一半径为R的圆c'包含于c的内部,由定理2.2,即复连通区域的柯西积分定理,知将圆周c'的方程代入积分中：当n＝－1时,当n≠－1时,证毕!证明思路：复连通区域柯西积分定理定理

+复积分的一般计算公式§2.3柯西积分公式定理2.5(柯西积分公式)设f(z)在曲线c所围的闭区域

内解析,α是D的任一内点,则证明：由例2.2为复常数因此，只需证明：作差：记圆c'半径为ρ;无论ρ取得如何小,上式总成立!取，则：(#)对包含于c内的圆c',(#)式总成立；f(z)在D内连续s.t.当时,有以α为圆心,作圆c'

包含于c内,则有

可取任意小,而上式左边为定值，因此：定理得证！※

a是D的任一内点,则可将a看做变数z,

因此,柯西积分公式写成：1.闭域上的解析函数在区域内点的值,可以由它在边界的值决定.2.柯西公式的右边是含有一个奇点的复变函数在围线上的积分.在γ上积分,由柯西积分公式得：推论2.2

(闭复连通区域上的柯西积分公式)设f(z)在闭复连通区域内的解析,的边界为复围线则对D的任一内点z,有证明:作包围点z的围线γ,γ及其内部均包含于D内.由复连通区域的柯西积分定理知：定理得证!定理2.6

(解析函数的无穷可微性定理)

解析函数f(z)在其解析的区域D内有各阶导数,其各阶导数仍在D内解析,且式中,c是位于D中并且包含z点在内部的围线.※形式上看,解析函数的微分是将柯西积分定理越过积分号求微分得到的.*证明：由柯西积分公式：因此设,{f(z)在D上连续};c的长度为L；对,设，则.6*.若f(z)沿曲线c连续,且|f(z)|≤M,L是c的长度，则

是曲线c上弧长的微分.M,L,d

均为常数,取Δz→0,则上式→0故当时因此对,f(z)的n阶导数是存在的,且值为由解析函数的定义,是解析的.由数学归纳法,即可证的情形.因此,即：M,L,d

均为常数,取Δz→0,则上式→01.如何理解例2.2？已知解析函数的实部/虚部,求解析函数的另一种方法.柯西积分定理

+柯西积分公式

+解析函数无穷可导公式定理2.3

解析函数f(z)的不定积分F(z)在D内解析,并且

F'(z)=f(z)证明：由假设条件知，积分与路径无关,

从而存在不定积分：用定理2.3证明中的同样推导,可知F(z)在D内解析，并且.定理2.7

(摩勒拉（Morera）定理)

设f(z)在区域D内连续,若对D内任一围线c均有,则f(z)在D内解析.2.单/复连通区域的柯西积分定理:

为函数解析区域内的围线或复围线.第二章解析函数的积分内容提要1.复积分的概念.3.单/复连通区域的柯西积分公式.4.解析函数的无穷可导公式:知识点：基本方法：复积分一般计算方法先化为第2型曲线积分,再将曲线方程代入,化为单个变量的积分

参考:

例2.1,2.2;习题2.2,第1题.2.解析函数的积分方法:

熟练应用a.柯西积分定理b.柯西积分公式

c.解析函数无穷可导公式.

参考：例2.2,习题2.2第2题,习题2.3第1,2题.3.辅助线：a.分割复连通区域为单连通区域

b.在奇点周围作围线,构成解析的复连通区域.

参考:

复连通区域柯西定理/公式的证明，以及例2.