理学随机事件及其概率

第1章随机事件及其概率

第2章随机变量及其分布

第3章随机变量的数字特征第4章大数定律和中心极限定理

第5章抽样分布第6章参数估计第7章假设检验第8章数学实验上页下页第1章随机事件及其概率

1.1随机事件

1.2概率的定义及其性质

1.3条件概率与事件的独立性1.4全概率公式与贝叶斯公式1.5事件的独立性与贝努里概型上页下页1.1随机事件

1.随机现象2.样本空间本章上页下页3.事件的关系及其运算1.1随机事件

1.随机现象确定性现象:在一定条件下,重复进行某种试验或观察,其结果总是确定的.本节上页下页1.1随机事件

随机现象:在一定条件下,重复进行某种试验或观察,其结果事先不能确定.购买一张彩票可能不中奖(偶然现象)正面向上反面向上可能中奖本节上页下页1.1随机事件

2.样本空间

对随机现象的一次观察或试验,统称为试验.如果试验满足下列条件:(1)可以在相同的情况下重复进行,(2)试验的所有可能的结果是已知的,并且不止一个,(3)每次试验前不能准确预言该次试验会出现哪一个结果,则称该试验为随机试验

(简称试验).E在随机试验中,每一种可能的结果,称为随机事件(简称事件).A、B、C.本节上页下页例1

抛掷一枚骰子,观察其出现的点数,则“出现i点1.1随机事件

(i=1,2,3,4,5,6)”,“出现奇数点”,“出现小于6的点”等,都是该试验的随机事件,可分别记为A={出现奇数点},B={出现小于6的点}.本节上页下页例2

10个产品中含有2个次品,8个正品.从中任取3个,观察它1.1随机事件

所含的次品数:“恰有0个次品”,“恰有1个次品”,“恰有2个次品”,“至少有1个正品”,“最多有1个次品”,“至少有3个次品”等,都是该试验的随机事件,可分别记为B0={恰有0个次品},B1={恰有1个次品},B2={恰有2个次品},A={至少有1个正品},B={最多有1个次品},C={至少有3个次品}.必然事件

不可能事件

本节上页下页在随机试验中,不能再分解的事件称为基本事件.1.1随机事件

一个随机试验的全体基本事件组成的集合称为样本空间.每个基本事件称为样本点.Ieei

={出现点}(i=1,2,3,4,5,6),例1中本节上页下页例31.1随机事件

解从编号分别为1,2,3,…,9,10的10个球中任取一个观察其编号数,试写出该试验的样本空间和下列事件所包含的基本事件:A={取到6号球},B={取到偶数号球},C={取到编号数大于4的球}.本节上页下页1.1随机事件

3.事件的关系及其运算

(1)事件的包含与相等定义1

如果事件A发生必然导致事件B发生,则称事件B包含

事件A,或称事件A包含于事件B,记为本节上页下页1.1随机事件

定义2

从编号分别为1,2,3,…,9,10的10个球中任取一个观察其编号数:A={取到1号或2号球},B={取到编号数小于3的球},本节上页下页1.1随机事件

(2)事件的和定义3

“事件A与B至少有一个发生”的事件称为事件A与B的和(或并),记为本节上页下页1.1随机事件

事件和的概念可推广到n个事件的和的情形:的事件A称为这n个事件的和(或并),记为本节上页下页1.1随机事件

(3)事件的积定义4

“事件A与B同时发生”的事件称为事件A与B的积(或交),记为本节上页下页1.1随机事件

事件积的概念也可推广到n个事件的积的情形:的事件称为这n个事件的积,记为本节上页下页1.1随机事件

(4)互不相容事件定义5

如果事件A与B不能同时发生,即则称事件A与B为互不相容(或互斥)事件.本节上页下页1.1随机事件

互不相容事件的概念可推广到n个事件的情形.则称这n个事件为两两互不相容事件.本节上页下页1.1随机事件

(5)事件的差定义6

“事件A发生而事件B不发生”的事件称为事件A与B的差,记为本节上页下页1.1随机事件

(6)对立事件定义7

如果事件A与B满足则称事件A与B为相互对立事件(或逆事件).本节上页下页1.1随机事件

事件的运算满足以下规律:(1)交换律:(2)结合律:(3)分配律:(4)德摩根(DeMorgan)律:本节上页下页例41.1随机事件

解甲、乙、丙3人同时进行射击,设A={甲中靶},B={乙中靶},C={丙中靶}.试用事件A、B、C的关系表示下列事件:(1)3人都中靶;(2)至少有2人中靶;(3)最多有2人中靶.“最多有2人中靶”是“3人都中靶”的对立事件,本节上页下页例51.1随机事件

解在图1-7所示的电路中,记A={开关S1闭合},B={开关S2闭合},C={开关S3闭合},D={灯泡亮}.试用事件A、B、C表示事件D与“开关S1闭合”且“开关S2与S3至少有一个闭合”:“灯泡亮”.“开关S1断开”或“开关S2与S3同时断开”:“灯泡不亮”.本节上页下页1.2概率的定义及其性质

1.概率的统计定义

2.概率的古典定义

上页下页3.概率的加法公式

本章1.2概率的定义及其性质1.概率的统计定义定义1

设在n次重复试验中,事件A发生了k次,则称比值为n次试验中事件A发生的频率,简称为频率,记为k—A发生的频数.本节上页下页1.2概率的定义及其性质试验者抛掷次数(n)正面朝上的次数(频数k)

频率德·摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069费勒1000049790.4979皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998本节上页下页1.2概率的定义及其性质定义2

(概率的统计定义)如果事件A发生的频率总是稳定地在某个常数附近摆动,在不变的条件下,重复进行n次试验,则称常数为事件A的概率,记作P(A).在掷硬币试验中,若设A={正面朝上},则本节上页下页1.2概率的定义及其性质容易验证,频率有下述性质:(1)对任一事件A,有性质1(非负性)

对任一事件A,有性质2必然事件的概率等于1,即性质3不可能事件的概率等于0,即本节上页下页1.2概率的定义及其性质2.概率的古典定义例1

掷一枚均匀的硬币,观察“正面朝上”还是“反面朝上”,可能出现的基本事件只有2个.设则样本空间本节上页下页1.2概率的定义及其性质例2

从依次编号为1,2,…,100的100件产品中任取1件,检验产品的质量,可能出现的基本事件只有100个.设i={取得第号产品}(=1,2,…,5),则样本空间I={1,2,…,100}.

每次试验的样本空间只含有有限个基本事件;每次试验中,各基本事件出现的可能性是相等的(简称等可能的).具有这一特点的概率模型称为古典概型.本节上页下页1.2概率的定义及其性质定义3

(概率的古典定义)如果试验只有n个基本事件,即且每个基本事件出现的可能性相等,事件A包含个基本事件,则事件A的概率

集合的角度:事件A的概率是子集A的元素个数(记为card(A))与集合I的元素个数的比值，即本节上页下页例3解1.2概率的定义及其性质从编号分别为1,2,3,…,9的大小相同的9只球中任取1球,求取到的球是奇数号的概率.基本事件总数:设事件A={取得奇数号球},基本事件个数:本节上页下页例4解1.2概率的定义及其性质在200件产品中,有194件合格品,6件次品.从中任取3件,计算:(1)3件中恰有2件合格品的概率.(2)3件都是合格品的概率.从200件产品中任取3件的基本事件总数是设A={3件中恰有2件合格品},A包含的基本事件数:设B={3件都是合格品},B包含的基本事件数:本节上页下页(3)设C={3件中至少有2件合格品},C包括恰有2件合格品或恰有3件合格品两种情况,包含的基本事件数:从200件产品中任取3件的基本事件总数是例4解1.2概率的定义及其性质在200件产品中,有194件合格品,6件次品.从中任取3件,计算:(3)3件中至少有2件合格品的概率.本节上页下页1.2概率的定义及其性质3.概率的加法公式

本节上页下页1.2概率的定义及其性质定理1

(加法定理

)如果事件A与B是两个互不相容事件,则这两个事件之和的概率等于事件A的概率与事件B的概率之和,即证设基本事件总数为n,事件A包含了m1个基本事件,事件B

包含了m2个基本事件.A与B互不相容,加法公式

本节上页下页1.2概率的定义及其性质推论1

(有限可加性

)本节上页下页1.2概率的定义及其性质事件A的对立事件推论2

(对立事件的概率公式

)证本节上页下页1.2概率的定义及其性质推论3

证本节上页下页例5解法一1.2概率的定义及其性质

某班有学生40名,其中有男生15名,拟组建1个由5名同学参加的班委会.试求该班委会中至少有1名男同学的概率.本节上页下页1.2概率的定义及其性质设A={班委会中至少有1名男同学},则是两两互不相容的,本节上页下页例5解法二1.2概率的定义及其性质

某班有学生40名,其中有男生15名,拟组建1个由5名同学参加的班委会.试求该班委会中至少有1名男同学的概率.A的对立事件为={班委会全是女同学},且对立事件的概率公式

本节上页下页1.2概率的定义及其性质定理2

(一般加法公式

)设A、B为任意两个事件,则有证本节上页下页1.2概率的定义及其性质概率的一般加法公式可推广到n个事件的和的情形.本节上页下页例6解1.2概率的定义及其性质学校组织A和B两个课外活动小组,某班50名学生中,有20名学生参加A组,16名学生参加B组,其中同时参加两个小组的有6名学生.在该班任意抽取一名学生,问“该生是参设A={参加A组},B={参加B组},加课外活动小组”的概率是多少？则“参加课外活动小组”的事件可表示为A与B互不相容,本节上页下页例7解1.2概率的定义及其性质据统计资料表明,某镇居民拥有家用电器(这里指电视机、电冰箱、洗衣机)的情况是:有电视机的占居民户数的90%,有电冰箱的占30%,有洗衣机的占70%,有电视机又有电冰箱机的占10%,三样都有的占10%.若从该市居民中任选一户,的占30%,有电视机又有洗衣机的占62%,有电冰箱又有洗衣设A={有电视机},B={有电冰箱},C={有洗衣机},则A+B+C={至少有一种家用电器},没有家用电器的概率是多少?本节上页下页1.2概率的定义及其性质设A={有电视机},B={有电冰箱},C={有洗衣机},则本节上页下页1.3条件概率与事件的独立性

1.条件概率

2.乘法公式上页下页本章1.3条件概率与事件的独立性1.条件概率

例1

有16件产品,其中有甲厂生产的,也有乙厂生产的,均有合格品与废品,其情况如下表:厂家产品总数合格品数合格品率甲厂乙厂51137合计1610从这16个产品中任取1个,求事件A={抽得合格品}的概率.本节上页下页1.3条件概率与事件的独立性A={抽得合格品},B={抽到甲厂的产品},求在事件B已发生的条件下事件A也发生的概率.甲厂共有5个产品,其中有3个正品,所求的概率为本节上页下页1.3条件概率与事件的独立性定义如果事件A、B是同一试验下的两个随机事件,且则在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率叫做事件A的条件概率,记为例1中所求的条件概率:“抽得合格品”且“抽得甲厂的产品”的概率:本节上页下页1.3条件概率与事件的独立性条件概率计算公式:本节上页下页例2解1.3条件概率与事件的独立性有圆形零件100个,其中有98个直径合格,有96个光洁度合格,两个指标都合格的有92个.从这100个零件中,任意抽取1个:(1)如果此零件光洁度合格,求直径也合格的概率;(2)如果此零件直径合格,求光洁度也合格的概率.设A={直径合格},B={光洁度合格},则(1)在光洁度合格的条件下直径也合格的概率:本节上页下页1.3条件概率与事件的独立性设A={直径合格},B={光洁度合格},则(2)在直径合格的条件下光洁度也合格的概率:本节上页下页1.3条件概率与事件的独立性2.乘法公式定理

(乘法定理)设A、B为任意两个事件,则两事件积的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件已发生的条件下的条件概率之积,即本节上页下页例3解1.3条件概率与事件的独立性设在一盒子中装有10只晶体管,4只是次品,6只是正品.从中接连地取两次,每次任取一只,取后不再放回,问两次都取到正品的概率是多少？设A={第一次取得正品},B={第二次取得正品},则所以,“两次都取到正品”的概率是本节上页下页1.3条件概率与事件的独立性乘法公式可以推广到任意有限多个事件的情形.对三个事件A、B、C:对任意n个事件本节上页下页例4解1.3条件概率与事件的独立性7个人依次从7张彩票中抽一张,只有一张彩头,求第i个人抽到彩头的概率.本节上页下页{3次全抽得次品}:例5解1.3条件概率与事件的独立性10件产品中有7件正品和3件次品,不放回抽取3次,每次抽1件.求3次中至少抽到1件正品的概率.{3次至少抽得1件正品}:本节上页下页1.4全概率公式与贝叶斯公式1.全概率公式2.贝叶斯公式

上页下页本章1.4全概率公式与贝叶斯公式1.全概率公式例1

某汽车公司下属三个汽车制造厂,全部产品的40%由甲厂生产,45%由乙厂生产,15%由丙厂生产,而甲、乙、丙三厂生产的不合格品率分别为1%、2%、3%.求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率.解

设A1={抽到甲厂的产品},A2={抽到乙厂的产品},A3={抽到丙厂的产品},B={抽到不合格品},则A1,A2,A3两两互不相容,且本节上页下页1.4全概率公式与贝叶斯公式BA1、BA2、BA3两两互不相容.本节上页下页1.4全概率公式与贝叶斯公式定理1则对任意一事件B,有满足条件(1)和(2)的事件组称为完备事件组.全概率公式

本节上页下页1.4全概率公式与贝叶斯公式求事件B的概率,必须已知各原因的概率及条件概率原因概率(或先验概率)本节上页下页1.4全概率公式与贝叶斯公式例2

某工厂有四条流水线生产同一种产品,该四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%,35%.又这四条流水线的不合格品率分别为0.05,0.04,0.03及0.02.现从出厂产品中任取1件,问恰好抽到不合格品的概率是多少？解

设B={任取1件是不合格品},Ai={任取1件,恰好取到第i条流水线生产的产品}本节上页下页1.4全概率公式与贝叶斯公式2.贝叶斯公式定理2

则对任一事件B

证

贝叶斯(Bayes)公式

逆概率公式

本节上页下页1.4全概率公式与贝叶斯公式例3

市场供应的某种商品中,甲厂、乙厂和丙厂的产品分别占市场总量的40%,35%和25%.已知甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为95%,92%和90%,求买到的一件合格品恰是甲厂生产的概率.解

设事件B表示“买到的一件是合格品”,A1={甲厂的产品},A2={乙厂的产品},A3={丙厂的产品},本节上页下页1.4全概率公式与贝叶斯公式本节上页下页1.4全概率公式与贝叶斯公式例4

甲箱中有5个正品和3个次品,乙箱中有4个正品和3个次品.从甲箱中任取3个产品放入乙箱,然后从乙箱中任取一个产品.(1)求这个产品是正品的概率.解

B={从乙箱中取得正品},则本节上页下页1.4全概率公式与贝叶斯公式本节上页下页1.4全概率公式与贝叶斯公式例4

甲箱中有5个正品和3个次品,乙箱中有4个正品和3个次品.从甲箱中任取3个产品放入乙箱,然后从乙箱中任取一个产品.(2)若已知从乙箱中任取一产品是正品,求从甲箱中取出的3个解

产品中所含正品数的最大可能是多少？本节上页下页1.4全概率公式与贝叶斯公式本节上页下页1.5事件的独立性与贝努利概型

1.事件的独立性

2.贝努利概型

上页下页本章1.5事件的独立性与贝努利概型

1.事件的独立性

?袋中有5个球,其中3个白球,2个黑球,有放回地从袋中随机抽取两次,每次取1个球,令A={第一次取得白球},B={第二次取得白球},由于抽取是有放回的,所以有定义1若事件A与B满足则称事件A与B独立.本节上页下页1.5事件的独立性与贝努利概型定理1若事件A与B独立,则A与的每一对事件都相互独立.证

同理可证本节上页下页1.5事件的独立性与贝努利概型例1

甲、乙二人射击,甲击中的概率是0.9,乙击中的概率是0.8.若二人同时射击一个目标,求目标被击中的概率.设A={甲击中},B={乙击中}.解

事件{目标被击中}可表示为甲是否击中目标与乙无关,事件A、B是相互独立的.本节上页下页1.5事