2021年新高考数学全真模拟试卷（新高考地区专用）（解析版） (二)

2021年新高考地区综合模拟

数学命题卷（05）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知集合4={》|%2>1},则（）

A.（T1）B.[TJ]

C.（-oo,-l）U（l,+oo）D.（-oo,-l]U[l,+°°）

【答案】B

【解析】•••4=卜卜2，}={x|x<-l或X>1},

故选：B.

2.2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A、B、C三

个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（）

A.630种B.600种C.540种D.480种

【答案】C

【解析】把6名工作人员分成1,1,4三组，再安排到三个村有：爷支用=等3x3x2xl=90种；

等…种;

把6名工作人员分成2,2,2三组，再安排到三个村有:

1c3°6x5x4

把6名工作人员分成1,2,3三组，再安排到三个村有：C：C；C：A=-------x3x2xl=360种:

2x1

所以共有90+90+360=540种.

故选：C.

3.如图，直角三角形PQR的三个顶点分别在等边三角形ABC的边AB、BC、C4上，且

PQ=2G,QR=2,NPQR=T，则AB长度的最大值为（）

A

4幅

B.6C.D.半

3

【答案】c

【解析】设NHQC=e,则ZQRC丁氏

。。

△QRC中，由正弦定理

sinZQRC

2C=^sin(—-6>).同理6Q=4sin(二+6),

336

AB=BC=QC+BQ=—sin(——6)+4sin(-+0)

336

45/3..2"八2乃7i八7i.

-----(sin——cos6-cos——sin3n)+4(sin—cos0+cos—sin3n)

33366

=4cose+^^sin6=^^(Gcose+2sine)==^^^sin(e+8)，其中sin6=^'.cos^=-y=,

且0为锐角,

所以当e=5-夕时，A%X=华^

故选：c.

4.饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受到法律处罚.检测标准：“饮酒驾

车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml,小于80mg/100ml的驾驶行为；醉酒驾

车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100ml的驾驶行为.”据统计，停止饮酒后，血液中

的酒精含量平均每小时比上一小时降低20%.某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100mg/100ml,若经过

〃(〃eN*)小时，该人血液中的酒精含量小于20mg/100ml,则〃的最小值为(参考数据：lg2a0.3010)

)

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】经过小时，该人血液中的酒精含量为100x0.8"mg/100ml,

由题意得,100x0,8n<20)即0.8”<0.2,

„colg0.2lg2-llg2-l0.3010-1__

依是彳且.n>102..0.2=-----=-------=-------H----------------x7.2.

lg0.8lg8-l31g2-l

所以"的最小值为8.

故选：B.

5.如图，在平行四边形ABCD中，M是边CD的中点，N是A"的一个三等分点（|AN<M0］）,

若存在实数X和〃，使得丽=/1荏+〃而，则，+〃=（）

D例C

7

AB

一

A.—B.—C.——D.2

4224

【答案】c

【解析】因为N是4以的一个三等分点（|AN|<|M0|）,所以前=g初■.因为M是边CD的中点，所

以丽=_反=_丽.乂

22

丽=丽_丽=；砺—而=；（而+丽［丽=；（而T-AB\-AB=--AB+-AD,所以

2)63

.511

Z+//=1■—=—.

632

故选：C.

6.如图，点M、N分别是正四面体ABC。棱A&8上的点,设®0=x,直线MN与直线3c所成

的角为。，则（）

A

M

R

A.当ND=2CN时,。随着x的增大而增大

B.当ND=2CN时,。随着x的增大而减小

C.当CN=2ND时,。随着X的增大而减小

D.当CN=2NDW,夕随着X的增大而增大

【答案】D

【解析】当ND=2CN时，如下图作NF//BC交BD于F点、,所以百线MN与直线6c所成的角即为直线

与直线N户所成的角，即NMNr=8.

设正四面体的棱长为3,则CN=BF=1,FN=2,

可求得Mb=y/x2-x+1,MN=Jf—3%+7-

5-X1/1«_7r

所以在口皿0中，有cos"/=_J1+---------(xe[0,3]),

2y/x2-3x+72\X2-3X+7

18—7x7X2-36X+5

令/(x)，则尸(x)=

x2—3x+7(X2-3X+7)2

7x~—36x+5

XG[O,3]时,/'(x)=有正有负,函数有增有减,

(%2—3X+7)2

所以故A与B错误;

当CN=2ND时,如下图作NE7/BC交班)于E点，所以直线与宜.线BC所成的角即为直线与

直线NE所成的角，即=

同样设正四面体的棱长为3,则CN=BF=2,FN=2,

可求得ME-yjx2-2x+4>

AN=BN=币,

9+7-73

在□ABN中，有cosNABN

2x3x77-2A/7

3

所以MN~x~+7—2xxx5/7x—-==—3x+7,即肱V=&-3x+7，

2V7

4—x1/9—5x

所以在口跖花中，有cose=/.=-A1+,(xe[0,3]),

2jf_3x+72\X2-3X+1

9—5x5X2-18X-8

令/(x)则/'(%)=<0

x~-3x+7，-3X+7>

所以/（X）在定义域内单调递减，即X增大，/（X）减小，即COS。减小，从而。增大，故D正确，C错误.

故选：D.

7.已知椭圆。与双曲线f-＞2=1有相同的左焦点6、右焦点鸟，点P是两曲线的一个交点，且

___________UUllUUU

「.过工作倾斜角为45。的直线交。于A,3两点（点A在X轴的上方），a.AB=AAF2，则2

的值为（）

A.3+V3B.3+0C.2+百D.2+72

【答案】A

尤2v2

【解析】不妨设P为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为$•+%■=1（。＞。＞0），

(-72,0),^(72,0),

由双曲线定义可知：|P6|-|PR|=2,又因为用.国=0,所以环工产入，忻闾=2c=2&,

所以|P耳「+(归闻—2『=|耳《「=8,所以归周=6+1,归用=6一1,

所以为=|P制+|PR|=2G，所以"百，所以力=>//_'2=1，所以椭圆方程为3+y2=i,

又因为/小y=x-0,所以卜2="f，所以4y2+20y-1=(),

Ix+3y—3

所以_—2±2^6_—y/2±^6rri>1戈-近5/6+V2

所以A，B

S'―8"4~V=-—V4

ULMUUUVx/6+\I2I—

又因为48=九4居，所以为一>A=-4%，所以］一丸=2=_厂L，解得X=3+G，

力J6-J2

故选：A.

8.若〃x)图象上存在两点A,3关于原点对称，则点对［AB］称为函数/(%)的“友情点对”(点对［4司

Xx〉0

与［氏可视为同一个“友情点对”)若〃司二炉’■恰有两个“友情点对”，则实数。的取值范围是

ax2,x<0

()

(n

B.0,-C.(0,1)D.(-1,0)

A.C。)\e7

【答案】A

【解析】根据题意,若要求“友情点对“，可把x<0时的函数图像关于原点对称，

研究对称过去的图像和x»0时的图像有两交点即可，

y=ox2(x<0)关于原点对称的解析式为y=-or2(x>0),

考查了=工的图像和y=-ax2(x>0)的交点,

e'

可得土=一依2,a=-^,令g(x)=一^

eee

g'(x)=^7^=0，

e

所以xw(0,l),g'(x)<0,g(x)为减函数,

1

XG(l,+oo),gf(x)>0,g(x)为增函数，g⑴

Y\

故若要。=一不有两解，只要一1＜。＜0即可,

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设复数z=-L+在i,则以下结论正确的是

22

232020

A.0B.z=zC.z=lD.z

【答案】BCD

1手1V3,Y1V3.31V3,-

【解析】vz=--+—

222242422

/

z3=z-z2=(」+乌］12=1..z"+3=z"(〃eN*),

2222441)

贝|J^2020_Z3X673+I

所以，A选项错误，B选项正确，C选项正确，D选项正确.

故选：BCD.

10.某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况,

统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图:

40%

28%—

--8%——

本

一二本艺体不上线率

达

线率达线率达线率

2020年

则下列说法中正确的有（)

A.与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少

B.2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍

C.2010年与2020年艺体达线人数相同

D.与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加

【答案】BD

【解析】设2010年高考考生人数为m则2020年的高考考生人数是的1.5a,

A.2010年一本达线人数为0.28a,2020年一本达线人数1.5。x0.24=0.36故错误：

B.2020年二本达线率是40%,2010年二本达线率是32%,40%4-32%=1.25,故正确;

C.2010年艺体达线人数0.08a,2020年艺体达线人数0.08x1.5a=0.12a,故错误；

D.与2010年不上线的人数0.32a,相比，2020年不上线的人数0.28xl.5a=0.42a.故正确；

故选：BD

11.设x〉0,y>0,则下列结论正确的是()

f11、

A.不等式(x+y)—+—24恒成立

I》y)

B.函数/5)=3,+3-*的最小值为2

Y1

C.函数〃X)=一:一的最大值为一

x+3x+15

11

D.若x+y=2,则；；~~-+—；的最小值为6

2x+ly+1

【答案】AC

【解析】因为x>0,y>0,

由于x+yN2向，-+->2j—,当且仅当工=丁时，等号同时成立，

xy\xy

(11、

故(x+y)-+—24恒成立，所以A正确；

㈠yj

由3'+3-,22，当且仅当3*=3-*，即x=0时取等号，

由于0史(0,+oo),所以3*+3->2,所以B不正确;

因为x>0,所以x+’N2,当且仅当x=l时取等号，

X

又由/（*）=X2+3X+1=1.-2+3=5•

XH---十D

X

y1

即函数/（无）=-7---------的最大值为一，所以c正确;

厂+3x+15

因为x+y=2,则（2x+l）+（2y+2）=7,

11121（12、「小小7

-------H-------=--------+--------=—x-------+---------（2x+l）+（2y+2）

2x+ly+\2x+\2y+27（2x+l2v+2）LV'''，」

2y+2।2（2x+l）>3+20

—x3+，所以。不正确.

72x+l2y+2

故选：AC.

设数列｛%｝满足向(对恒成立，则下列说法正确的是(

12.0</<g,4,=a“+ln2—a.)）.

A.1<fl2<lB.｛。“｝是递增数列

133

。5</<WD.1<“2020<1

【答案】ABD

【解析】山为+]=%+ln（2—a〃），0<4<g,

设/（x）=x+ln（2-x）,则/==

所以当0<x<l时，r(x)>0,即/(X)在(0,1)上为单调递增函数,

所以函数“X)在(o，；

为单调递增函数,

即〃0）<小）<吗）,

所以即g<a“<l(〃N2),则g<%<l，故A正确；

由/(x)在(0,1)上为单调递增函数，所以｛《,｝是递增数列，故B正确；

]131J.113

**—v。2V1，所以%=4+In(2—2)>—bln—>—Fine"<—I—>一,故C错误；

22223

33

因此“2020>%>W。2020<1，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面

积的计算公式：弧田面积=，（弦x矢+矢2）.公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦

2

的距离.如图，弧田是由圆弧A8和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧48长为三，弧所在的圆的半

径为4,则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为.

【答案】8G+2-粤

3

8冗2jr

【解析】设圆弧AB所对圆心角的弧度为a，由题可知ax4=—,解得a=3-.

故扇形AQ8的面积为』x^x4=3兀，三角形A05的面积为Lxsin@x42=4x^,故弧田实际的面

23323

积为3—4G.

3

作分别交AB，于点。，C,则AB=46，OD=2,

所以利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积为gx（4Gx2+22）=46+2,

贝0所求差值为（4>/5+2）_1'^_4百］=8#+2_4^.

故答案为：8*75+2-----.

3

C

14.已知甲、乙、丙三位选手参加某次射击比赛，比赛规则如下：①每场比赛有两位选手参加，并决出胜

负；②每场比赛获胜的选手与未参加此场比赛的选手进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一位选手首先

获胜两场，则本次比赛结束，该选手获得此次射击比赛第一名.若在每场比赛中，甲胜乙的概率为g,甲胜

31

丙的概率为一，乙胜丙的概率为彳，且甲与乙先参加比赛，则甲获得第一名的概率为_____.

42

25

【答案】—

72

13

【解析】因为每场比赛中，甲胜乙的概率为一，甲胜丙的概率为一，

34

乙胜丙的概率为工，

2

131^3、11，1A(1^3125

所以甲选手获胜的概率是尸(A)=WX1+,x1--x-x-+1--xX7X0

25

故答案为：—

72

15.已知定义在R上的函数〃x),其导函数为/'(x),满足/'(力>2,42)=4,则不等式

?(%-1)>2f一2%的解集为.

【答案】(口,0)U(3,+oo)

【解析】构造函数g(x)=/(x)—2x,则g'(x)=/'(x)-2>0,即函数g(x)在R上为增函数，

且g⑵=〃2)-2x2=。

①当x<0时，由V(x_l)>2f_2x可得/(x_l)<2(x_l),即/(x_l)_2(x—l)<0,

即g(x—l)<0=g(2),可得兀一1<2,解得x<3,此时x<0：

②x>0时，由xf(x-1)>2X2—2.x可得/(x—l)>2(x—I),即./(x—1)—2(x—1)>0.

即g(x—l)>0=g(2),可得x—1>2,解得x>3,此时x>3.

综上所述，不等式必'(彳-1)>2%2-2%的解集为(-«),0"(3,+0)).

故答案为：(-OO,0)U(3,+8).

16.如图所示，一个圆锥的侧面展开图为以A为圆心，半径长为2的半圆，点。、M在8c上，且80的

TC

长度为亍，的长度为万，则在该圆锥中，点M到平面ABD的距离为.

M

【答案］2姮

5

【解析】由侧面转开图可得到圆锥，如图所示,

JT

由题可知，AB=2,OB=1,ZBOD=-

3

则30=03=1,DM=^^=BA0=65〃=；X1X,d坐

设点M到平面河的距离为h,

山匕t-M6D=L-ABD'得gxgxGx®=‘解得：h=

故答案为：2叵

5

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛%｝的前〃项和为Sn,q>1,若数列｛4｝满足an+l>an,且105„=(4+1)(4+2),

〃£N*.

(I)求数列｛4｝的通项；

(II)是否存在加，n,kwN；且加<〃<4，使得成立？若存在，写出一组符合条件的〃？，〃，

人的值：若不存在，请说明理由.

从①3(S“-§“)=&,②2(a,“+%)=%这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)a“=g(5”—1)；(II)答案见解析.

【解析】解：(I)由10q=(%+l)(q+2),得2a；-54+2=0,解得q=2或4=；.

由于q>1,所以4=2.

因为10szi=（2an+1）（%+2）,所以10S„=2a：+5a„+2.

故10。的=10S„+1-lOS,,=2a3+5%+2-2a；-54-2,

整理，得2（媒-4）-5（a„+l+a„）=0,即（%+«„）[2（a„+1-a„）-5]=0.

因为数列｛%｝满足用所以｛%｝是单调递增数列，且4=2,故。用+4#0,因此。川一%=|,

则数列｛%｝是以2为首项，1•为公差的等差数列，

所以a“=2+|（〃_l）=g（5〃_l）.

（H）若选①：满足条件的正整数〃，n,左存在，如m=1,〃=2,k=3.

假设存在加，〃，keN*，且加＜〃＜左，使得3（S“一S,"）=S…

fc523…「53＜535,23,

因为S”=—M+—〃，则3-n~2+—n-\2—m\=—k~+—k

n44L44U4JJ44f

整理，得3[5（/?—初2）+3（〃-m）]=5左2+3%,

3（n2-m2]=k2,j2

所以不妨设《17,所以根二一左，n=-k.

3（n-/?z）=k,33

所以取左=3,则〃2=1,n=2.

若选②：满足条件的正整数机，〃，上不存在.

理由如下：

假设存在打，“，kGN：且帆＜“＜%,使得2（4“+%）=4，

则5加一1+5〃-1=/（5左一1）,整理，得2m+2n—k=3,（*）

显然，左边为整数，所以（*）式不成立.故满足条件的正整数加，〃，%不存在.

18.在口钻。中，角A,B,C的对边分别为。，b,c.C=1,AB边上的高为由.

（1）若S3c=2石，求（0ABC的周长；

21

（2）求一+不的最大值.

ab

【答案】（1）2厢+4;（2）叵.

【解析】解：（1）依题意5。8o=；。左皿。=；5百=26，可得c=4，

77

因为C=§,所以"=8.由余弦定理得/+。2一加,=。2,

因此(a+b)2=<?+3"=40,即°+/?=2屈.

故□A3C的周长为2M+4.

（2）由（1）及正弦定理可得,

-A

212b+a2/7+。2sinB+sinA2sin

----1----=----------V?sin(A+。),

F（其中。为锐角,

abah2c~1T~F

且tan8=—)

2

27r7r2]/oi

由题意可知0<A</，因此，当A+6=2时，一+:取得最大值*1.

32ab3

19.到2020年年底，经过全党全国各族人民共同努力，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个

贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务.在

接下来的5年过渡期，为巩固脱贫成果，将继续实行“四个不摘”，某市工作小组在2021年继续为己脱贫群

众的生产生活进行帮扶，工作小组经过多方考察，引进了一种新的经济农作物，并指导一批农户于2021年

初开始种植.已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，由于天气、市

场经济等因素的影响，近几年该经济农作物的亩产量与每千克售价具有随机性，且互不影响，其具体情况

如下表：

该经济农作物市场价格（元/kg）1015该经济农作物每年亩产量（kg）400600

概率0.40.6概率0.250.75

（1）设2021年当地某农户种植一亩该经济农作物的纯收入为X元，求X的分布列；

（2）己知当地某农户在2021年初种植了3亩该经济农作物，假设各亩地的产量相互独立，求该农户在2021

年通过种植该经济农作物所获得的纯收入超过12000元的概率.

（注：纯收入=种植收入-种植成本）

【答案】（1）答案见解析；（2）0.9375.

【解析】（1）由题知一亩地的种植收入可能为4000,6000,9000,故X的所有可能取值为3000,5000,

8000

P(X=3000)=0.4x0.25=0.1,P(X=5000)=0.4x0.75+0.6x0.25=0.45,

P(X=8000)=0.6X0.75=0.45

X的分布列为:

X300050008000

P0.10.450.45

（2）纯收入超过12000元，即3亩地种植收入超过15000元，

若价格为10元/kg,则3亩地的总产量超过1500kg,

因为400x2+600<1500，

所以符合条件的概率为（C；x0.752x0.25+0.753）x0.4=0.3375.

若价格为15元/kg,则3亩地的总产量超过1000kg,3x400>1000,

：.P（纯收入超过12007t）=0.6+0.3375=0.9375

20.如图，三棱锥A—中，平面ABC,AC=CB=、CD,ZACB=90°,点E,F分别是AB，

2

AO的中点.

（1）求证：AC_L平面BCD；

（2）求直线AO与平面C£尸所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析：（2）1.

15

【解析】解：（1）因为。平面ABC，ACu平面A8C,

所以AC_LCD.

因为NACB=90。，

所以ACJ.CB.

因为CDcC5=C,

所以4。，平面8。£）.

（2）因为CD平面ABC,

所以CB_LC£).

以点C为坐标原点，分别以直线CB,CD,G4为x,y,z轴建立空间直角坐标系C一町z.

设AC=8C=2,则OC=4.

因为点E，R分别是AB，的中点，

所以A(0,0,2),5(2,0,0),C(0,0,0),D(0,4,0),£(1,0,1),F(0,2,l).

所以Ab=(0,4,-2)，&=(1,0,1)，CF=(0,2,1)■

—y

设平面CEF的法向量为„=(x,y,z)，

nCE=0,fx+z=0,

则4一即c八

[n-CF^O,[2y+z=0.

令y=1,则z=-2,x=2.

所以7=(2,1,-2)•

设直线AO与平面CEF所成角为，.

所以sin。=Icos(n,=—，475

1'〃同A。3x2石一记,

所以直线AD与平面CEF所成角的正弦值四5

If

21.在平面直角坐标系x0y中，已知点A(l,2),8是一动点，直线OA,OB,AB的斜率分别为K，J

111

%且港片短记B点的轨迹为E.

(1)求E的方程；

(2)过C(l,0)的直线与E