数模往届2013国赛符号计算

MATLAB的符号计算所谓符号计算是指在运算时,无须事先对变量赋值,而将所得到结果以标准的符号形式来表示。MathWorks公司以Maple的内核作为符号计算引擎（Engine），依赖Maple已有的函数库，开发了实现符号计算的两个工具箱：基本符号工具箱和扩展符号工具箱。一、符号计算基础一、符号计算基础（一）定义符号变量参与符号运算的对象可以是符号变量、符号表达式或符号矩阵。符号变量要先定义，后引用。可以用sym函数、syms函数将运算量定义为符号型数据。引用符号运算函数时，用户可以指定函数执行过程中的变量参数；若用户没有指定变量参数，则使用findsym函数默认的变量作为函数的变量参数。1、sym函数

sym函数的主要功能是创建符号变量，以便进行符号运算，也可以用于创建符号表达式或符号矩阵。用sym函数创建符号变量的一般格式为：

x=sym(‘x’)其目的是将’x’创建为符号变量，以x作为输出变量名。每次调用该函数,可以定义一个符号变量。一、符号计算基础（一）定义符号变量在MATLAB命令窗口，输入命令：

a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');d=sym('d');%定义4个符号变量w=10;x=5;y=-8;z=11;%定义4个数值变量A=[a,b;c,d]%建立符号矩阵AB=[w,x;y,z]%建立数值矩阵Bdet(A)%计算符号矩阵A的行列式det(B)%计算数值矩阵B的行列式比较符号常数与数值在代数运算时的差别。pi1=sym('pi');k1=sym('8');k2=sym('2');k3=sym('3');%定义符号变量pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3;%定义数值变量sin(pi1/3)%计算符号表达式值sin(pi2/3)%计算数值表达式值sqrt(k1)%计算符号表达式值sqrt(r1)%计算数值表达式值sqrt(k3+sqrt(k2))%计算符号表达式值sqrt(r3+sqrt(r2))%计算数值表达式值【例1】作符号计算：a,b,x,y均为符号运算量。在符号运算前，应先将a,b,x,y定义为符号运算量一、符号计算基础（一）定义符号变量a=sym(‘a’);

%定义‘a’为符号运算量，输出变量名为ay=2/bb=sym(‘b’);x=sym(‘x’);y=sym(‘y”);[x,y]=solve(a*x-b*y-1,a*x+b*y-5,x,y)%以a,b为符号常数，x,y为符号变量即可得到方程组的解：x=3/ay=2/b一、符号计算基础（一）定义符号变量【例2】已知一复数表达式z=x+i*y,试求其共轭复数,并求该表达式与其共轭复数乘积的多项式。为了使乘积表达式x^2+y^2非负，这里，把变量x和y定义为实数。x=sym(‘x’,’real’);y=sym(‘y’,’real’);一、符号计算基础（一）定义符号变量z=x+i*y;%定义复数表达式conj(z);%求共轭复数expand(z*conj(z))%求表达式与其共轭复数乘积的多项式ans=x^2+y^2若要去掉’x’的属性,可以使用下面语句

x=sym(‘x’,’unreal’)将’x’创建为纯格式的符号变量。一、符号计算基础（一）定义符号变量2、syms函数syms函数的功能与sym函数类似。syms函数可以在一个语句中同时定义多个符号变量，其一般格式为：

symsarg1arg2…argN用于将arg1,arg2,…,argN等符号创建为符号型数据。一、符号计算基础（一）定义符号变量一、符号计算基础（一）定义符号变量syms函数的一般调用格式为：symsvar1var2…varn

函数定义符号变量var1,var2,…,varn等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符(')，变量间用空格而不要用逗号分隔。一、符号计算基础（一）定义符号变量用两种方法建立符号表达式。在MATLAB窗口，输入命令：U=sym('3*x^2+5*y+2*x*y+6')%定义符号表达式Usymsxy;%建立符号变量x、yV=3*x^2+5*y+2*x*y+6%定义符号表达式V2*U-V+6%求符号表达式的值计算3阶范得蒙矩阵行列式的值。设A是一个由符号变量a,b,c确定的范得蒙矩阵。命令如下：symsabc;U=[a,b,c];A=[[1,1,1];U;U.^2]%建立范得蒙符号矩阵det(A)%计算A的行列式值（二）符号变量的确定在数学表达式中，一般习惯于使用排在字母表中前面的字母作为变量的系数，而用排在后面的字母表示变量。例如：

f=ax2+bx+c表达式中的a,b,c通常被认为是常数，用作变量的系数；而将x看作自变量。符号表达式中变量的确定MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为：findsym(S,n)函数返回符号表达式S中的n个符号变量，若没有指定n，则返回S中的全部符号变量。在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLAB将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用findsym(S,1)查找系统的缺省变量，事实上，MATLAB按离字符'x'最近原则确定缺省变量。例如，数学表达式

f=xng=sin(at+b)根据数学式中表示自变量的习惯，默认a,b,c为符号常数，x为符号变量。若在MATLAB中表示上述表达式，首先用syms函数定义a，b，n，t，x为符号对象。在进行导数运算时，由于没有指定符号变量，则系统采用数学习惯来确定表达式中的自变量，默认a,b,c为符号常数，x，t为符号变量。即：对函数f求导为：df/dx

对函数g求导为：dg/dt一、符号计算基础（二）默认符号变量用findsym函数查询默认的变量。该函数的引用格式为：

findsym（f,n）说明：f为用户定义的符号函数，

n为正整数，表示查询变量的个数。

n=i,表示查询i个系统默认变量。n值省略时表示查询符号函数中全部系统默认变量。一、符号计算基础【例3】查询符号函数

f=xng=sin(at+b)中的系统默认变量。symsabntx%定义符号变量f=x^n;%给定符号函数g=sin(a*t+b);findsym(f,1)%在f函数中查询1个系统默认变量ans=x表示f函数中查询的1个系统默认变量为x。一、符号计算基础（二）默认符号变量（三）符号表达式符号表达式由符号变量、函数、算术运算符等组成。符号表达式的书写格式与数值表达式相同。例如,数学表达式

其符号表达式为：1+sqr(5*x))/2注意，在定义表达式前应先将表达式中的字符x定义为符号变量。一、符号计算基础基本的符号运算1.符号表达式运算(1)符号表达式的四则运算例符号表达式的四则运算示例。symsxyz;f=2*x+x^2*x-5*x+x^3%符号表达式的结果为最简形式f=2*x/(5*x)%符号表达式的结果为最简形式f=(x+y)*(x-y)%符号表达式的结果不是x^2-y^2，而是

(x+y)*(x-y)(2)因式分解与展开factor(S)对S分解因式，S是符号表达式或符号矩阵。expand(S)对S进行展开，S是符号表达式或符号矩阵。collect(S)对S合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。collect(S,v)对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。例6对符号矩阵A的每个元素分解因式。命令如下：symsabxy;A=[2*a^2*b^3*x^2-4*a*b^4*x^3+10*a*b^6*x^4,3*x*y-5*x^2;4,a^3-b^3];factor(A)%对A的每个元素分解因式例6.8计算表达式S的值。命令如下：symsxy;s=(-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2);expand(s)%对s展开collect(s,x)%对s按变量x合并同类项(无同类项)factor(ans)%对ans分解因式(3)表达式化简MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：simplify(S)应用函数规则对S进行化简。simple(S)调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。例6.9化简命令如下：symsxy;s=(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2;simple(s)%MATLAB自动调用多种函数对s进行化简，并显示每步结果2.符号矩阵运算transpose(S)返回S矩阵的转置矩阵。determ(S)返回S矩阵的行列式值。colspace(S)返回S矩阵列空间的基。[Q,D]=eigensys(S)Q返回S矩阵的特征向量，D返回S矩阵的特征值。（四）生成符号函数将表达式中的自变量定义为符号变量后，赋值给符号函数名，即可生成符号函数。例如有一数学表达式：一、符号计算基础其用符号表达式生成符号函数fxy的过程为：

symsabcxy%定义符号运算量

fxy=(a*x^2+b*y^2)/c^2%生成符号函数生成符号函数fxy后，即可用于微积分等符号计算。一、符号计算基础（四）生成符号函数【例4】定义一个符号函数fxy=(a*x2+b*y2)/c2

，分别求该函数对x、y的导数和对x的积分。symsabcxy

%定义符号变量fxy=(a*x^2+b*y^2)/c^2；

%生成符号函数

diff(fxy，x)

%符号函数fxy对x求导数ans=2*a*x/c^2diff(fxy，y)

%符号函数fxy对y求导数ans=2*b*y/c^2

%符号函数fxy对x求积分int(fxy，x)

ans=1/c^2*(1/3*a*x^3+b*y^2*x)一、符号计算基础（四）生成符号函数二、微积分（一）微积分函数1.求极限函数limit用于求符号函数f的极限。系统可以根据用户要求，计算变量从不同方向趋近于指定值的极限值。该函数的格式及功能：二、微积分limit(f,x,a)：求符号函数f（x）的极限值。即计算当变量x趋近于常数a时，f（x）函数的极限值。

limit(f,a)：求符号函数f（x）的极限值。由于没有指定符号函数f（x）的自变量，则使用该格式时，符号函数f（x）的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，既变量x趋近于a。limit(f)：求符号函数f（x）的极限值。符号函数f（x）的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。limit(f,x,a,'right')：求符号函数f的极限值。'right'表示变量x从右边趋近于a。limit(f,x,a,'left')：求符号函数f的极限值。'left'表示变量x从左边趋近于a。二、微积分【例5】求极限symsx；%定义符号变量f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/sin(x)^3；%确定符号表达式w=limit(f)%求函数的极限w=-1/2二、微积分2.微分函数diff函数用于对符号表达式s求微分。该函数的一般引用格式为：

diff(s,’v’,n)二、微积分说明：

应用diff（s）没有指定微分变量和微分阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶微分。应用diff（s，‘v’）或diff（s，sym（‘v’））格式，表示以v为自变量，对符号表达式s求一阶微分。应用diff（s，n）格式，表示对符号表达式s求n阶微分，n为正整数。应用diff（s，‘v’，n）diff（s，n，‘v’）格式，表示以v为自变量，对符号表达式s求n阶微分。【例6】求导数：x=sym('x');%定义符号变量t=sym('t');diff(sin(x^2))%求导运算ans=2*cos(x^2)*x二、微积分3．积分函数积分函数int（s，v，a，b)可以对被积函数或符号表达式s求积分。其引用格式为：

int（s，v，a，b)说明：应用int（s）格式，表示没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求一阶积分。应用int（s，v）格式，表示以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求一阶不定积分。应用积分函数时，如果给定a、b两项，表示是进行定积分运算。a、b分别表示定积分的下限和上限。不指定积分的下限和上限表示求不定积分。二、微积分【例7】求下述积分。求积分：symsxint(1/(1+x^2))ans=atan(x)二、微积分数值积分。先建立一个函数文件fx.m：functionfx=fx(x)fx=6+0.3*x;再在MATLAB命令窗口，输入命令：m=quad('fx',0,10,1e-6)函数的泰勒级数MATLAB中提供了将函数展开为幂级数的函数taylor，其调用格式为：taylor(f,v,n,a)例6.23求函数在指定点的泰勒展开式。命令如下：x=sym('x');f1=(1+x+x^2)/(1-x+x^2);f2=sqrt(1-2*x+x^3)-(1-3*x+x^2)^(1/3);taylor(f1,x,5)%求(1)。展开到x的4次幂时应选择n=5taylor(f2,6)%求(2)。例6.24将多项式表示成x+1的幂的多项式。命令如下：x=sym('x');p=1+3*x+5*x^2-2*x^3;f=taylor(p,x,-1,4)例6.25应用泰勒公式近似计算。命令如下：x=sym('x');f=(1-x)^(1/12);%定义函数，4000^(1/12)=2f(96/2^12)g=taylor(f,4)%求f的泰勒展开式g，有4000^(1/12)≈2g(96/2^12)b=96/2^12;a=1-b/12-11/288*b^2-253/10368*b^3%计算g(b)2*a%求4000^(1/12)的结果4000^(1/12)%用MATLAB的乘方运算直接计算4.级数(级数求和)级数求和运算是数学中常见的一种运算。例如：

f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn函数symsum可以用于此类对符号函数f的求和运算。该函数的引用时，应确定级数的通项式s，变量的变化范围a和b。该函数的引用格式为：

symsum(s,a,b)二、微积分【例8】求级数的和:键入：1/12+1/22+1/32+1/42+……symsksymsum(1/k^2,1,Inf)%k值为1到无穷大ans=1/6*pi^2其结果为：1/12+1/22+1/32+1/42+……=π2/6二、微积分三、简化方程表达式1.因式分解factor函数的功能为：把多项式S分解为多个因式，各多项式的系数均为有理数。格式为：

factor(s)三、简化方程表达式【例9】将表达式(x^9-1)分解为多个因式。symsxfactor(x^9-1)ans=(x-1)*(x^2+x+1)*(x^6+x^3+1)2.嵌套将符号多项式s用嵌套形式表示，即用多层括号的形式表示。Horner函数可以实现此功能。该函数的格式为：

horner(s)三、简化方程表达式【例10】将表达式x^3-6*x^2+11*x-6用嵌套形式表示。symsxhorner(x^3-6*x^2+11*x-6)ans=-6+(11+(-6+x)*x)*x四、解方程解方程函数的格式为：solve(expr1,expr2,...,exprN,var1,var2,...varN)或solve(expr1,expr2,...,exprN)其功能为：求解代数方程组expr1,expr2,...,exprN的根，未知数为var1,var2,...varN。说明：若不指明符号表达式expr1,expr2,...,exprN的值，系统默认为0。例如给出一个表达式x^2-3*x-8,则系统将按x^2-3*x-8=0进行运算；四、解方程【例11】解代数方程：a*x2-b*x-6=0symsabxsolve(a*x^2-b*x-6)ans=[1/2/a*(b+(b^2+24*a)^(1/2))][1/2/a*(b-(b^2+24*a)^(1/2))]即该方程有两个根:x1=1/2/a*(b+(b^2+24*a)^(1/2))；

x2=1/2/a*(b-(b^2+24*a)^(1/2))

四、解方程四、解方程例6.28解方程。命令如下：x=solve('1/(x+2)+4*x/(x^2-4)=1+2/(x-2)','x')%解方程(1)f=sym('x-(x^3-4*x-7)^(1/3)=1');x=solve(f)%解方程(2)x=solve('2*sin(3*x-pi/4)=1')