2023-2024学年高一数学人教A版2019试题2.3二次函数与一元二次方程不等式（6大题型）

第二章一元二次函数、方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式（6大题型）分层作业题型目录考查题型一：解不含参数的一元二次不等式考查题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇考查题型三：含有参数的一元二次不等式的解法考查题型四：一次分式不等式的解法考查题型五：实际问题中的一元二次不等式问题考查题型六：不等式的恒成立问题考查题型一：解不含参数的一元二次不等式1．（2023·全国·高一专题练习）求下列不等式的解集：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】（1）由，可得或，故不等式的解集为或.（2）由，得，解得，故不等式的解集为.（3）由，可得，即，解得，故不等式的解集为.（4）由，可得，解得，故不等式的解集为.（5）由，可得，即，解得或，故不等式的解集为或.（6）因为恒成立，所以不等式的解集为.2．（2023·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考开学考试）解下列不等式：(1)(2)(3)(4)【解析】（1）由得：，解得：或，不等式的解集为或.（2），，不等式的解集为.（3）由得：，解得：，不等式的解集为.（4）由得：，解得：或，不等式的解集为或.3．（2023·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）解下列不等式：(1)；(2)；(3)【解析】（1）可化为，所以解为（2）当时，不等式可化为，此时不等式解为；当时，不等式可化为，此时不等式无解；当时，不等式可化为，此时不等式解为；综上：原不等式的解为或.（3）原不等式可化为，与同解，所以不等式的解为：或.4．（2023·高一课时练习）解下列不等式．(1)；(2)；(3)．【解析】（1）方程的两根分别为，，函数的图象是开口向上的抛物线，与轴有两个交点和，如图所示，观察图象可知，不等式的解集为或．（2）原不等式可化为；方程的两根分别为，，函数的图象是开口方向向上的抛物线，与轴有两个交点和，如图所示，观察图象可知，不等式的解集为.（3）原不等式移项整理得；，方程无实根，函数的图象是开口方向向上的抛物线，与轴无交点，如图所示，观察图象可知，不等式的解集为．考查题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇5．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集是，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】因为不等式的解集是，可得，且，所以，所以，所以A、C正确，D错误．因为二次函数的两个零点为，且图像开口向下，所以当时，，所以B正确．故选：ABC．6．（多选题）（2023·福建福州·高一校考开学考试）已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（

）A．B．不等式的解集为C．不等式的解集为或D．【答案】AD【解析】由的解集为或得，故故A正确，，故D正确，对于B，，解得，故B错误，对于C，为，解得，故C错误.故选：AD7．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由题意可知，方程的解为，且，则，，解得，，令；对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：ABC.8．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．的解集为或【答案】ABC【解析】由不等式和解集的形式可知，，且方程的实数根为或，那么，所以，所以，且，故ABC正确；不等式，即，解得:,所以不等式的解集为，故D错误.故选：ABC9．（多选题）（2023·江苏南通·高一校考阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集是或【答案】ACD【解析】由题意不等式的解集为或，则可知，即A正确；易知，和是方程的两个实数根，由韦达定理可得，则；所以不等式即为，解得，所以B错误；易知，所以C正确；不等式即为，也即，解得或，所以D正确.故选：ACD10．（多选题）（2023·浙江杭州·高一校考期末）已知关于x的不等式的解集为，则（

）A．B．C．不等式的解集为D．不等式的解集为【答案】ABD【解析】由于不等式的解集为，所以和是的两个实数根，所以，故，，故AB正确，对于C,不等式为，故，故C错误，对于D,不等式可变形为，解得，故D正确，故选：ABD11．（多选题）（2023·高一课时练习）若不等式的解集是，则a的值为（）A．－2 B．C．－ D．【答案】CD【解析】因为不等式的解集是，所以和2为方程的两根，所以根据根与系数的关系可得，所以.故选：CD12．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式的解集可以是B．不等式的解集可以是RC．不等式的解集可以是D．不等式的解集可以是【答案】BD【解析】在A中，若结论正确，依题意得，解得，则不等式为，解得，与解集矛盾，故A错误；在B中，取，，得，解集为R，故B正确；在C中，当时，，不等式成立，解集不为，故C错误；在D中，依题意得，且，解得，符合题意，故D正确．故选：BD考查题型三：含有参数的一元二次不等式的解法13．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式：（）；【解析】，当时，，无实数解，当时，，的无实数解，当时，，的解为，综上，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.14．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式：().【解析】不等式化为：，当，原不等式化为，解得，当，原不等式化为，解得或，当，原不等式化为，当时，解得，当时，不等式无解，当时，解得，所以当，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.15．（2023·山东枣庄·高一校考阶段练习）解关于的不等式:.【解析】原不等式可化为..（1）当时，有.（2）当时，式，∵，①当时，，∴.②当时，，，此时解集为.③当时，.∴.（3）当时，式，∵，∴.∴或.综上所述，原不等式的解集为:当时，为或；当时，为；当时，为；当时，为；当时，为.16．（2023·高一课时练习）求不等式的解集.【解析】可转化为①当时，原不等式可化为，解得.所以不等式的解集为；②当时，原不等式可化为，当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；③当时，原不等式可化为，所以不等式的解集为.综上：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.17．（2023·高一课时练习）解关于的不等式：．【解析】原不等式可化为，当时，，得，当时，由，得，解得，当时，，得，解得，当时，由，得，此时，，所以解得，或，当时，由，得，此时，所以解得，或，综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为或．18．（2023·浙江宁波·高一校联考期中）设函数(1)若不等式的解集为，试求的值；(2)若，求不等式的解集.【解析】（1）由题意知1和3是方程的两个根，且，即有，解得.（2），则不等式，即即，因为，方程的两根为和2，所以：①当，即时，不等式的解集为；②当，即时，不等式的解集为；③当且，即时，不等式的解集为.19．（2023·天津滨海新·高一校考期中）（1）当取什么值时，一元二次不等式对一切实数都成立?（2）解含参数的不等式.【解析】（1）因为一元二次不等式对一切实数都成立，所以，解得.即当时，一元二次不等式对一切实数都成立.（2）解方程得，当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.考查题型四：一次分式不等式的解法20．（2023·全国·高一专题练习）解不等式.【解析】因为，所以，即，所以，解得或，所以原不等式的解集为或.21．（2023·全国·高一课堂例题）不等式的解集为.【答案】/【解析】方法一：原不等式即，故.故答案为：.方法二：原不等式可化为，即.原不等式等价于或，解得.故答案为：.22．（2023·甘肃临夏·高一校考期中）不等式的解集为.【答案】【解析】不等式等价于，即，解得，所以不等式的解集为.故答案为：23．（2023·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式的解集是．【答案】或【解析】等价于，解得或，故解集为或.故答案为：或24．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为.【答案】【解析】原不等式可化为，即，即，即，解得，∴原不等式的解集为，故答案为：考查题型五：实际问题中的一元二次不等式问题25．（2023·全国·高一专题练习）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过万元，则每个床位的定价应为（元）.【答案】120或130【解析】设每个床位的定价应为元，则每晚上有张床位有人入住，所以，旅馆每晚的收入为元，因为要使该旅馆每晚的收入超过万元，所以，，即，解得，因为是10的整数倍，所以，每个床位的定价应为120或130元.故答案为：120或13026．（2023·高一课时练习）某商店的圆珠笔以每支3元的价格销售，每年可以售出6万支．根据市场调查，该圆珠笔的单价每提高元，销售量就减少1000支．设每支圆珠笔的定价为（且）元，要使得提价后的年总销售额比原来至少多2万元，则的最小值为．【答案】4【解析】当定价为元时，销售数量为所以总销售额而由题意得：（）解的：则的最小值为：4故答案为：4.27．（2023·上海奉贤·高一校考阶段练习）假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，在一般情况下，我们可以采用如下数学模型来描述某种型号的汽车在常规水泥路面上的刹车距离（单位：）与刹车前的车速（单位：）之间的关系：.试判断该汽车在刹车前的车速（填“超过”或“没有超过”）该水泥道路上机动车的限速.【答案】超过【解析】画出函数和的图像，如下：所以函数在上递增，而当时，所以该汽车在刹车前的车速超过该水泥道路上机动车的限速.故答案为：超过28．（2023·全国·高一专题练习）某商品在最近天内的价格与时间(单位：天)的函数关系是；销售量与时间的函数关系是，则使这种商品日销售金额不小于元的的范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由日销售金额为，即，解得.故选：B29．（2023·江苏·高一专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（

）A．20≤x≤30 B．20≤x≤45C．15≤x≤30 D．15≤x≤45【答案】B【解析】设该厂每天获得的利润为y元，则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)．由题意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45，所以日销量x的取值范围是20≤x≤45．故选：B．30．（2023·全国·高一专题练习）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40，则这辆汽车刹车前的车速至少为（

）（精确到1）A．76 B．77 C．78 D．80【答案】B【解析】设这辆汽车刹车前的车速为，根据题意，有，移项整理，得，解得．所以这辆汽车刹车前的速度至少为77．故选：B31．（2023·全国·高一专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】结合题意易知，,即，解得，因为，所以，这批台灯的销隹单价的取值范围是，故选：A.32．（2023·江苏连云港·高一校考阶段练习）某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题设且，整理得，可得.故选：B33．（2023·全国·高一专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】结合题意易知，，即，解得，因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是，故选：C.考查题型六：不等式的恒成立问题34．（2023·高一课时练习）已知.(1)如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；(2)是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】（1）由题意知：只有当二次函数与直角坐标系中的轴无交点时，才能满足题意；其相应方程此时应满足，解得：，实数的取值范围为.（2）若对任意，恒成立，则满足题意的函数的图象如图所示，由图象可知，此时应该满足，则，不等式组无解，不存在实数满足：对任意，恒成立.35．（2023·全国·高一课堂例题）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为.【答案】【解析】方法一

∵当时，不等式恒成立，∴只需求出函数的最小值，令最小值大于0即可.二次函数的图象的对称轴为.当，即时，函数在处取得最小值，则，，∴.当，即时，函数在处取得最小值，∴，解得，∴.综上，实数a的取值范围为.方法二:∵，∴由得.∵，当且仅当，即时等号成立，∴的最大值为，∴.故a的取值范围为.故答案为：36．（2023·四川·高一校考阶段练习）已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，若对任意﹣1≤x≤0，不等式2x2+bx+c+t≤4恒成立.则t的取值范围是.【答案】【解析】因为不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，所以，解得，因为对任意﹣1≤x≤0，不等式2x2+bx+c+t≤4恒成立，所以为对任意﹣1≤x≤0，不等式恒成立，令，，所以，故答案为：37．（2023·江苏·高一专题练习）若时，恒成立，则a的取值范围为.【答案】【解析】时，恒成立，即恒成立，即恒成立.令（），则，，当且仅当，即，等号成立，故，即a的取值范围为.38．（2023·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）设，若关于x的不等式对任意的恒成立，则的最大值为．【答案】3.【解析】因为对任意的恒成立，所以，或，，①若对任意的恒成立，则即，当时，不成立，②若对任意的恒成立，则，即，若对任意的恒成立，则，得，所以的最大值为，故答案为：3.39．（2023·黑龙江大庆·高一大庆市东风中学校考阶段练习）已知当时,不等式恒成立.求a的取值范围（集合形式作答）.【答案】【解析】转化为当时,恒成立,设,则.函数的对称轴为,函数的最小值为.a的取值范围为.故答案为:.40．（2023·河南郑州·高一校考阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围为．【答案】【解析】当时，，因此，当时，不等式恒成立，即恒成立，而当时，，当且仅当，即时取等号，于是得，所以实数m的取值范围为.故答案为：1．（2023·江苏泰州·高一兴化市周庄高级中学校考开学考试）已知函数（其中b是实数）中，y的取值范围是，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（

）A．16 B．25 C．9 D．8【答案】A【解析】因为y的取值范围是，则，且，解得，因为不等式的解集为，则令，即，两根，则，即，且判别式，解得，故选：A.2．（2023·全国·高一专题练习）设a是实数，则成立的一个必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，反之不一定成立，所以是成立的一个必要条件；同理是成立的一个充分条件；由是成立的一个充分条件；由是成立的一个充分条件；故选：A3．（2023·全国·高一专题练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由不等式的解集为，知是方程的两实数根，由根与系数的关系，得，解得：，所以不等式可化为，解得：或，故不等式的解集为：.故选：D.4．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】原不等式可以转化为：，当时，可知，对应的方程的两根为1，，所以不等式的解集为：.故选：A.5．（2023·高一单元测试）不等式，对于任意及恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，则不等式两边同时乘以不等式可化为：，令，则不等式转化为：，在上恒成立，由可得即，又，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值，故可得.故选：A．6．（2023·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】不等式恒成立，所以，则，令，，则，当时，取得最大值，最大值为1，所以，解得或.故选：C.7．（2023·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）在上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为在上定义运算：，所以，所以不等式对任意实数x恒成立，即对任意实数x恒成立，则对任意实数x恒成立，令，则即可.，所以，解得.所以实数a的最小值为.故选：A.8．（2023·全国·高一专题练习）已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（

）A．2 B．1 C．1 D．2【答案】A【解析】的解集为，故为方程的两个根，且（当且仅当时等号成立）.故选：A.9．（多选题）（2023·福建福州·高一校考开学考试）已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（

）A．B．不等式的解集为C．不等式的解集为或D．【答案】AD【解析】由的解集为或得，故故A正确，，故D正确，对于B，，解得，故B错误，对于C，为，解得，故C错误.故选：AD10．（多选题）（2023·云南昆明·高一昆明一中校考开学考试）如图，二次函数的图象与x轴交于A､B两点，与y轴交于点C，且，则下列结论正确的为（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】对于A，根据图象，可知，又对称轴，则，则，故A错误；对于B，当时，，不能说明y的值是否大于0，故B错误；对于C，设，，将点B代入函数，得，故，故C正确；对于D，当时，，方程的两个根，所以，则D正确.故选：CD.11．（多选题）（2023·江苏南通·高一校考阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集是或【答案】ACD【解析】由题意不等式的解集为或，则可知，即A正确；易知，和是方程的两个实数根，由韦达定理可得，则；所以不等式即为，解得，所以B错误；易知，所以