初中数学《三角形》教学课件

初中数学课件之三角形目录01、三角形的概念02、命题与证明03、等腰三角形04、线段的垂直平分线05、全等三角形06、用尺规作三角形01三角形的概念■定义■分类■基本性质三角形的概念三角形的定义三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形。三角形ABC记作“△ABC”；组成三角形的每一条线段叫做三角形的边；相邻两边的交点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，记作∠A、∠B、∠C。三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角∠1，叫做三角形的外角。三角形有6个外角。ABC内角顶点边1三角形的概念■在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。■

在平面上三角形的外角和等于360°(外角和定理)。■

在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。■

一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。■

在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。■

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。三角形的基本性质三角形的概念三角形的分类1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。■其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。按角分按边分1、不等边三角形：三条边都不相等。2、等腰三角形：两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。3、等边三角形：三边相等，也称正三角形。等边三角形最稳定，特殊的等腰三角形。三角形的概念三角形的五线四心高与垂心■

高：从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三条高或其延长线交于一点，称为三角形垂心。△ABC中：AD、BE、CF分别是三角形边BC、AC、AB的高，D、E、F为垂足。三条高的交点O，叫做三角形的垂心。ABCDEFO∟∟∟三角形的概念三角形的五线四心角平分线与内心■

角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三条角平分线的交点叫做三角形的内心。ABCDEFO△ABC中：AD、BE、CF分别是三角形边内角∠A、∠B、∠C的角平分线。三条角平分线的交点O，叫做三角形的内心。三角形的概念三角形的五线四心中线与重心■

中线：连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线。三条中线相交的点叫做三角形重心。ABCDEFO△ABC中：D、E、F分别是三角形边BC、AC、AB的中点，则AD、BE、CF叫做三角形的中线。三条中线的交点O，叫做三角形的重心。三角形的概念三角形的五线四心垂直平分线与外心■三角形三条边的垂直平分线（定义见后面第四节）相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。ABCDEFO△ABC中：OD、OE、OF分别是三角形边BC、AC、AB的垂直平分线，垂足为：D、E、F，且三线交于O点，则O点叫做三角形的外心。这时：OA=OB=OC。三角形的概念三角形的五线四心中位线■

中位线：三角形的三边中任意两边中点的连线叫中位线。它平行于第三边且等于第三边的一半。ABCDEF△ABC中：D、E、F分别是三角形边BC、AC、AB的中点，则EF、FD、DE叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。《分式》三角形的概念经典例题例题1、已知三角形的一个外角等于60°，且三角形中与这个外角不相邻的两个内角中，其中一个比另一个大10°，则这个三角形的三个内角分别是多少？.解：设三角形中与这个外角不相邻的两个内角中较小的为x，则另一个为x+10。根据三角形关于外角的性质，可得方程：x+x+10=60°，解得x=25°所以三个内角分别是：120°、35°、25°。三角形的概念经典例题例题2、如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC于D，求∠DBC的度数。.解：∵∠C=∠ABC=2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，∴∠A=36°．∴∠C=∠ABC=2∠A=72°．∵BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣∠C=18°∟ABCD三角形的概念经典例题例题3、如图，∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°，求∠BDC的度数。.解：连接AD并延长AD至点E，∵∠BDE=∠BAE+∠B，∠CDE=∠CAD+∠C∴∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠CAD+∠C+∠BAD+∠B=∠BAC+∠B+∠C∵∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°，∴∠BDC=90°+21°+32°=143°。ACBDE∟02命题与证明■定义■四种命题■反证法命题与证明在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题。正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。■

数学命题通常由条件（题设）和结论两部分组成：条件（题设）是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。■

充分和必要条件：①“若p，则q”为真命题，叫做由p推出q，记作p=>q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。②充要条件：如果既有p=>q，又有q=>p，就记作p<=>q，并且说p是q的充分必要条件（或q是p的充分必要条件），简称充要条件。命题的定义数学命题■公理：经过人类长期反复实践的考验,不需要再加证明的命题。公理都是用来推导其他命题的起点。一个公理不能被其他公理推导出来。■基本事实：数学中，把少数真命题作为基本事实。■定义：数学中，对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫做这个概念的定义。■定理：把经过证明为真的命题叫做定理。证明定理是数学的中心活动。如果一个定理上午逆命题是真命题，那么它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理。■推论：把定理作为判断其他命题真假的依据，由某定理直接得出的真命题叫做这个定理的推论。命题与证明命题与证明四种命题■原命题：一个命题的本身称之为原命题。■逆命题：将原命题的条件和结论颠倒的新命题。■否命题：将原命题的条件和结论全否定的新命题，但不改变条件和结论的顺序。■

逆否命题：将原命题的条件和结论颠倒，然后再将条件和结论全否定的新命题。■

四种命题的相互关系：原命题与逆命题互逆，否命题与原命题互否，原命题与逆否命题相互逆否，逆命题与否命题相互逆否，逆命题与逆否命题互否，逆否命题与否命题互逆。■

四种命题的真假关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系(原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假）。命题与证明数学中的证明证明：在数学中，从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判定这个命题是真命题的过程。反证法：先假设命题不成立，然后利用命题条件或有关结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证命题是正确的方法。举出一个反例，它符合命题条件，但不符合命题结论，从而判定命题是假命题的方法叫做“举反例”。■

反证法是间接论证的方法之一，亦称“逆证”。基本思路是：否定结论，导出矛盾，肯定结论。■

在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。命题与证明经典例题例题4、证明命题“三角形的三内角和为180°”是真命题。.已知：∠A、∠B、∠C为△ABC的三个内角，求证：∠A+∠B+∠C=180°，证明：作射线BD，过C点作CE∥AB，如图，∵CE∥AB，∴∠1=∠A，∠2=∠B，而∠C+∠1+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°．所以命题“三角形的三内角和为180°”是真命题。

ABCDE12命题与证明经典例题例题5、请判断下列命题的真假性，若是假命题请举反例说明．（1）若a＞b，则a2＞b2；

（2）若三角形三边a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，则三角形是等边三角形；（3）若三条线段a，b，c满足a+b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形．.解：（1）假命题，例如：0＞﹣1，但02＜（﹣1）2；

（2）假命题，例如：a=b，b≠c时，（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，三角形是等腰三角形；（3）若三条线段a，b，c满足a+b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形，是假命题，例如：三条线段a=3，b=2，c=1满足a+b＞c，但这三条线段不能够组成三角形。

命题与证明经典例题例题6、请写出命题“等角的余角相等”的条件和结论；这个命题是真命题吗？如果是，请你证明；如果不是，请给出反例。.解：条件：两个角分别是两个相等角的余角；

结论：这两个角相等这个命题是真命题，已知：∠1=∠2，∠3是∠1的余角．∠4是∠2的余角，求证：∠3=∠4。证明：∵∠3是∠1的余角．∠4是∠2的余角∴∠3=90°﹣∠1，∠4=90°﹣∠2，又∠1=∠2∴∠3=∠4．03等腰三角形■定义■基本性质■经典例题等腰三角形等腰三角形的定义等腰三角形，至少有两边相等的三角形。底腰相等的等腰三角形叫做等边三角形。ABC顶角底角底角腰腰底在等腰△ABC：AB=AC,AB、AC叫做等腰三角形的腰；BC叫做等腰三角的底；∠A叫做等腰三角形的顶角；∠B、∠C叫做等腰三角形的底角。等腰三角形等腰三角形的性质等边三角形除了具有等腰三角形的所有性质外，还有一些特殊的性质：■

等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。■

等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。■

一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。但等边三角形（特殊的等腰三角形）有三条对称轴。每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。等腰三角形等边三角形的性质等腰三角形除了具有三角形的所有性质外，还有一些特殊的性质：■

等边三角形三边相等，三角都相等，且均为60°。■

等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合（三线合一）。■

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。■等边三角形重心、内心、垂心、外心重合于一点，称为等边三角形的中心。等腰三角形等腰三角形的判定等腰三角形的判定：■

判定定理：两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边）。■“三线合一”的逆定理：例如：在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角等。等边三角形的判定：■

三边相等的三角形是等边三角形（定义）。■

三个内角都相等的三角形是等边三角形。■有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。■三（两）个内角为60°的三角形是等边三角形。等腰三角形经典例题例题7、如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？

.解：∵∠ADB=30°，∠ACB=15°，∴∠CAD=∠ADB﹣∠ACB=15°，∴∠ACB=∠CAD，∴AD=CD=20，又∵∠ABD=90°，∴AB=1/2AD=10，∴树的高度为10米。等腰三角形经典例题例题8、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD。证明：在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，又∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∵∠C=30°∴CD=2AD，∠BAD=∠B=30°，∴AD=DB，∴BC=CD+BD=AD+DC=AD+2AD=3ADABCD∟等腰三角形例题9、已知：如图，D、E是△ABC中BC边上的两点，AD=AE，要证明△ABE≌△ACD，应该再增加一个什么条件？请你增加这个条件后再给予证明。解：本题答案不唯一，现增加∠B=∠C证明过程如下：证明：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED∴∠ADB=∠AEC∴△ABD≌△ACE（AAS）∴∠BAD=∠CAE∵∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE∴∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（AAS）ABCDE经典例题04线段的垂直平分线■定义■基本性质■尺规作法线段的垂直平分线垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。ABCO∟直线OC⊥线段，垂足为O,且O为AB中点，这时，直线OC叫做线段AB的垂直平分线。C为直线OC上任意一点，CA=CB，因此：垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，垂直平分线是线段的一条对称轴。线段的垂直平分线垂直平分线的性质■

垂直平分线垂直且平分其所在线段。■

垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。垂直平分线的判定与逆定理■

垂直平分线的判定：必须同时满足①直线过线段中点;②直线⊥线段。■逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。垂直平分线的尺规作法线段的垂直平分线ABCD作法：①分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点；②过C、D两点作直线CD，CD即为所求。■

尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。■另外，做垂直平分线还有度量法、折叠法等非尺规作图方法。线段的垂直平分线经典例题例题10、如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使DE=BD，已知AB+BD=DC。求证：E点在线段AC的垂直平分线上。证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，又∵BD=DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB=AE，∴AB+BD=AE+DE，又∵AB+BD=DC，∴DC=AE+DE，∴DE+EC=AE+DE∴EC=AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上。ABCDE∟线段的垂直平分线经典例题例题11、已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F。求证：∠BAF=∠ACF。证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵FE是AD的垂直平分线，∴FA=FD，∴∠FAD=∠FDA，∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，∴∠BAF=∠ACF。ABCDF∟E1205全等三角形■定义■基本性质■判定方法全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的定义BACA＇B＇C＇△ABC与△A＇B＇C＇全等，记作：△ABC≌△A＇B＇C＇。互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。全等三角形全等三角形的性质■

全等三角形的对应角相等。■

全等三角形的对应边相等。■

全等三角形的对应边上的高对应相等。■

全等三角形的对应角的角平分线相等。■

全等三角形的对应边上的中线相等。■

全等三角形面积和周长相等。■

根据全等转换，两个全等三角形经过平移、旋转、翻折后，仍旧全等。全等三角形■SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。■

ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。■

AAS（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。■SSS（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。■

HL(斜边、直角边)）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。全等三角形的判定全等三角形特别注意■

在写三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为解题找对应角、对应边提供方便。■

一般只要三角形三边确定，那这个三角形的形状与大小也固定，这个性质叫做三角形的稳定性。■

解题时，有时需要画辅助线，常用的辅助线有：中线倍长，截长补短等。■

“边边角”即“SSA”和“角角角”即："AAA"是错误的证明方法。全等三角形经典例题例题12、如图，已知△ACF≌△DBE，AD=9厘米，BC=5厘米，求AB的长。解：∵△ACF≌△DBE，∴CA=BD，∴CA﹣BC=DB﹣BC，即AB=CD，∴AB+CD=2AB=AD﹣BC=9﹣5=4（cm），∴AB=2cm．ABCDFE全等三角形经典例题例题13、如图，在△ABC中，BE，CF分别是边AC，AB上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD，AG，则AG与AD有何关系？试给出你的结论的理由。解：AG=AD，AG⊥AD，理由是：∵在△ABC中，BE，CF分别是边AC，AB上的高，∴∠BFP=∠CEP=∠AFO=90°，∴∠ABD+∠FPB=90°，∠ACG+∠EPC=90°，∵∠FPB=∠EPC，∴∠ACG=∠ABD，在△ABD和△GCA中，∴△ABD≌△GCA（SAS），∴AG=AD，∠AGC=∠BAD，∵∠AFO=90°，∴∠BAD+∠AOF=90°，∴∠AGC+∠AOF=90°，∴∠GAD=180°﹣90°=90°，∴AG⊥AD。ABCDFEG∟∟全等三角形经典例题例题14、如图：已知BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上。证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．ABCDFE∟∟全等三角形经典例题例题15、如图1，点A是线段DE上一点，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥DE，CE⊥DE，（1）求证：DE＝BD+CE。（2）如果是如图2这个图形，BD、CE、DE有什么数量关系？并证明。证明：（1）∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAB+∠CAE＝90°，∴∠DBA＝∠CAE，且AB＝AC，∠D＝∠E＝90°，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝AD+AE＝CE+BD；（2）BD＝DE+CE，∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，且AB＝AC，∠ADB＝∠AEC＝90°，∴△ADB≌△CEA（AAS）∴BD＝AE，CE＝AD，∵AE＝AD+DE，∴BD＝CE+DE．06用尺规作三角形用尺规作三角形其具体作法是：①作线段BC=a；②以点B为圆心，线段。为半径作弧，以点C为圆心，线段b为半径作弧，且两弧相交于点A；③连结AB,AC，则△ABC即为所求。1、已知三边作三角形已知线段a,b,c，求作△ABC，使BC=a,CA=b,AB=c。abcBCAabc用尺规作三角形其具体作法是:①作线段BC=a;②做线段BC的垂直平分线MN交BC于点D;③在MN上截取DA,使得DA=a；④连结AB,AC，则△ABC即为所求等腰三角形。2、已知底边及底边上的高做等腰三角形已知线段a,h,，求作△ABC，使AB=AC,BC=a,高AD=h。ahBCAahMND∟用尺规作三角形其具体作法是：①在OA、OB上分别截取OD、OE,使OD=OE；②分别以D、E为圆心，以大于DE一半的长度为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③做射线OC，则OC即为所求角的角平分线。3、做角的角平分线已知∠AOB,求作该角的角平分线。CBAOBAODE用尺规作三角形其具体作法是：①作射线O＇A＇；②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA、OB于点C、D；③以点O＇为圆心，以OC为半径作弧，交O＇A＇于点C＇；④以点C＇为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于点D＇；⑤经过点D＇作射线O＇B＇，则∠A＇O＇B＇就是所求的角。4、作一个角等于已知角已知∠AOB，求作∠A＇O＇B＇，使∠A＇O＇B＇=∠AOB。CABODC＇A＇B＇O＇D＇用尺规作三角形其具体作法是：①作∠MBN=∠α；②在射线BM、BN上分别截取BC=a，BA=c；③连接AC,则△ABC为所求作三角形。5、已知两边及其夹角作三角形已知∠α和线段a、c，求作△ABC,使∠B=∠α,BC=a；BA=c。αacBCAMNacα用尺规作三角形其具体作法是：①作线段BC=a；②在BC的同旁，做∠DBC=∠α,∠ECB=∠β，BD与CE相交于点A,则△ABC为所求作三角形。6、已知两角及其夹边作三角形已知∠α、∠β和线段a，求作△ABC,使∠B=∠α,∠C=∠