2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（04）（解析版）

第第页共37页玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（04）一．选择题（共25小题）1．（2021•全国模拟）已知抛物线上三点，，，直线，是圆的两条切线，则直线的方程为A． B． C． D．【解析】解：把点代入抛物线方程可得，所以抛物线的方程为，又直线，是圆的两条切线， 设切线方程为，因为圆心到切线的距离等于半径，则有，解得，则直线的方程为，直线的方程为，联立直线和抛物线的方程可求得，同理可求得，由直线的两点式方程可得，直线的方程为．故选：．2．（2021•全国模拟）已知且，且，且，则A． B． C． D．【解析】解：根据题意，设，且，变形可得，即（a）（5），且，变形可得，即（b）（4），且，变形可得，即（c）（3），，其导数，在区间上，，则为减函数，在区间上，，则为增函数，其草图如图：则有，故选：．3．（2020•静安区期末）在平面直角坐标系中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点于、两点．若、两点的纵坐标分别为正数、，且，则的最大值为A．1 B． C．2 D．不存在【解析】解：角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，不妨假设在第一象限，则在第二象限，根据题意可得、，且，，，，，即，平方可得，，当且仅当时，取等号．，当且仅当时，取等号，故当时，取得最大值为，故选：．4．（2020•杨浦区校级期末）已知三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边、、的中点分别为、、，且三条边所在直线的斜率分别为、、，且、、均不为0．为坐标原点，若直线、、的斜率之和为1．则A． B． C． D．【解析】解：设，，，，，，把，两点代入椭圆方程可得：，，两式作差可得：，则，所以，同理可得：，，所以，故选：．5．（2020•大兴区期末）已知数列的前项和，若，恒成立，则实数的最大值是A．3 B．4 C．5 D．6【解析】解：由，得，当时，，验证时成立，，又，，，恒成立，，当时，有最小值为5．．则则实数的最大值是5．故选：．6．（2020•大兴区期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【解析】解：由题意可得以为直径的圆的圆心为原点，半径为，则圆心到直线的距离为：，解得，所以椭圆的离心率为，故选：．7．（2020•大通县期末）已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为A．2 B．3 C．4 D．5【解析】解：抛物线的焦点为，准线为且1过点，抛物线的准线方程是，则抛物线的方程为，点在抛物线内，过点做准线的垂线，垂足是，设点到直线的距离是，在抛物线上，是抛物线的焦点，，，的最小值，故选：．8．（2020•大通县期末）已知点，是双曲线的左、右顶点，，是双曲线的左、右焦点，若，是双曲线上异于，的动点，且直线，的斜率之积为定值4，则A．2 B． C． D．4【解析】解：设，，，则，所以，又因为，所以，又因为，所以，，所以，故选：．9．（2020•海淀区期末）数列的通项公式为，，前项和为给出下列三个结论：①存在正整数，，使得；②存在正整数，，使得；③记，2，3，则数列有最小项．其中所有正确结论的序号是A．① B．③ C．①③ D．①②③【解析】解：若存在正整数，，使得，则，即，令，解得（舍或，即，所以存在，，使得，故选项①正确；因为，即，即，且，，记，对称轴为，而，2，3，故只有，时，有，但此时不成立，故不存在正整数，，使得，故选项②错误；因为，2，3，，则，，，且当时，单调递增，所以当时，，而，故当时，，又，，所以数列有最小项，故选项③正确．故选：．10．（2020•海淀区期末）如图所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，，的半径分别为1，4，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达点的路线长与线段的长之和的最小值是A．6 B．8 C． D．【解析】解：如图所示，在椭圆上任取一点，连接交于，交于点，连接，，，，，在△与△中，，其中为半径，，为公共边，所以△△，所以，设沿圆锥表面到达的路径长为，则，当且仅当为直线与椭圆的交点时取等号，，故从点沿圆锥表面到达点的路线长与线段的长之和的最小值是6．故选：．11．（2021•福建模拟）已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于，两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解析】解：如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，，．取，点到直线的距离不小于，，解得．．椭圆的离心率的取值范围是．故选：．12．（2020•西青区期末）2015年07月31日17时57分，国际奥委会第128次全会在吉隆坡举行，投票选出2022年冬奥会举办城市为北京．某人为了观看2022年北京冬季奥运会，从2016年起，每年的1月1日到银行存入元的定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2022年的1月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（元的总数为A． B． C． D．【解析】解：由题意可知，可取出钱的总数为：，故选：．13．（2021•河南模拟）已知双曲线的左焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于不同原点的，两点，若四边形的面积为，则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．【解析】解：根据题意，，双曲线的焦点到的一条渐近线的距离为，则，所以，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为．故选：．14．（2020•辽宁一模）已知函数给出下列四个命题：①的最小正周期为；②的图象关于直线对称；③在区间上单调递增；④的值域为，．其中所有正确的编号是A．②④ B．③④ C．①③④ D．②③【解析】解：，则的最小正周期不是，①错，则排除选项；，的图象不关于直线对称，②错，排除选项在区间时，，在上单调递增，③对，排除选项；故选：．15．（2021•天津模拟）已知函数在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解析】解：在，递减，则，函数在上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在，上，有且仅有一个解，故在上，同样有且仅有一个解，当即时，联立，则△，解得或1（舍去），当时，由图象可知，符合条件，综上：的取值范围为，，故选：．16．（2020•石景山区期末）如图，是正方体对角线上一动点，设的长度为，若的面积为，则的图象大致是A． B． C． D．【解析】解：设正方体的棱长为1，连接交于，连，则是等腰的高，故的面积为，在三角形中，，，画出其图象，如图所示，对照选项，正确．故选：．17．（2020•成都期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过作轴的平行线交椭圆于、两点，为坐标原点，双曲线以、为顶点，以直线、为渐近线，则双曲线的焦距为A． B． C． D．【解析】解：由椭圆，得，，则，，，把代入，得，得，，，，则双曲线的渐近线方程为，又、为双曲线的顶点，双曲线的实半轴长为1，则双曲线的虚半轴长为，双曲线的半焦距，双曲线的焦距为．故选：．18．（2020•海原县校级期末）若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解析】解：对任意实数恒成立，①当，即时，不等式为，不是对任意实数满足，故不符合题意；②当，即时，由对任意实数恒成立，，解得，实数的取值范围是．故选：．19．（2020•济南期末）早在古希腊时期，亚历山大的科学家赫伦就发现：光从一点直接传播到另一点选择最短路径，即这两点间的线段．若光从一点不是直接传播到另一点，而是经由一面镜子（即便镜面是曲面）反射到另一点，仍然选择最短路径．已知曲线，且将假设为能起完全反射作用的曲面镜，若光从点射出，经由上一点反射到点，则A． B．3 C． D．7【解析】解：曲线的图象如图，椭圆的焦点坐标为，，由椭圆定义可知，曲线上任意一点与两焦点的距离和为定值，即，则，当、、共线时，最大为，的最小值为．故选：．20．（2020•南平期末）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是△的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是A． B．， C．， D．，【解析】解：设△的内切圆半径为，则，，，，，由双曲线的定义可知：，，，即．又，双曲线的离心率的范围是，．故选：．21．（2020•江岸区校级期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，设比赛停止时已打局数为，则A． B． C． D．【解析】解：依题意知，的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有，，，．故选：．22．（2020•江岸区校级期末）正方体的棱长为4，点在棱上，且，点是正方体下底面内（含边界）的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为16，则动点到点的最小值是A． B． C． D．【解析】解：如图所示，作，垂足为，则平面，过点作，则平面，所以即为点到直线的距离，因为，且，所以，所以点的轨迹是以为准线，点为焦点的抛物线，如图建立直角坐标系，则点的轨迹方程为，点，设点，，则．故选：．23．（2020•江岸区校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，，，在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【解析】解：由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，且，所以，在三角形中，因为，所以可设，则，由余弦定理可得：，所以，即，由椭圆的定义可得：，所以椭圆的离心率为，故选：．24．（2020•湖北二模）设为最接近的整数，如（1），（2），（3），（4），（5），，若正整数满足，则A． B． C． D．【解析】解：第一组：，，共2个，之和为2；第二组：，，，，共4个，之和为2；第三组：，，，，，，个，之和为2；第四组：，，，共8个，之和为2；第组：共个，之和为2；，故一共有2017组，则，故选：．25．（2020•东莞市期末）如图，四边形中，平分，，，若，则四边形周长的最大值为A．24 B． C． D．【解析】解：设，则由平分，可得：，，，设，由，可得：，可得：，在中，由余弦定理，可得：，可得：，①在中，由余弦定理，可得：，可得：，②由①②联立解得：，可得：，，在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理，可得：，当且仅当时等号成立，，解得：，当且仅当时等号成立，四边形周长，当且仅当时等号成立．故选：．二．多选题（共4小题）26．（2021•全国模拟）设函数，则A． B．的最大值为 C．在，单调递增 D．在单调递减【解析】解：对于：函数，所以满足，故正确；对于的几何意义为单位圆上动点与点连线的斜率的2倍，相切时，最大值为，故错误；对于：当时，动点在第二象限从左向右运动，斜率先增大后减小，故错误；对于：当时，动点在第一象限从左向右运动，斜率逐渐减小，故正确；如图所示：故选：．27．（2020•济南期末）汉代数学名著《九章算术》第九卷《勾股》章中提到了著名的“勾股容方”问题．如图，正方形内接于直角三角形，其中，，，，则下列关系式成立的是A． B． C． D．【解析】解：因为正方形内接于直角三角形，其中，，，所以，整理可得，①由①可得，可得正确；因为，由①可得，即，可得，故错误；由①可得，当且仅当时等号成立，可得，当且仅当时等号成立，故错误；因为，所以，故，故错误．故选：．28．（2020•济南期末）设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，则A．点坐标为 B．直线的方程为 C． D．【解析】解：抛物线的标准方程为，其准线方程为，点为，即选项正确；的，，设点的坐标为，则在点处的切线斜率为，，，解得，点的纵坐标为，直线的方程为，即选项正确；不妨取，，，，，，，，，即，故选项正确；，即选项错误．故选：．29．（2020•雁塔区校级期末）已知点，的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率分别为，，下列命题是真命题的有A．若，则的轨迹是椭圆（除去两个点） B．若，则的轨迹是抛物线（除去两个点） C．若，则的轨迹是双曲线（除去两个点） D．若，则的轨迹是一条直线（除去一点）【解析】解：不妨设点，选项，不妨设，则有，消去参数得，，所以不正确；选项，不妨设，则有，消去参数得，，，所以正确；选项，，整理得，所以正确；选项，，整理得，，所以正确．故选：．三．填空题（共21小题）30．（2021•全国模拟）对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量32次．（若，则．【解析】解：根据正态曲线的对称性知，要使得误差在的概率不小于0.9545，则，，且，，所以，解得，，即的最小值32．故答案为：32．31．（2020•静安区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，动点以每秒的角速度从点出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到，再以每秒的角速度从点沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点，则上述过程中动点的纵坐标关于时间的函数表达式为．【解析】解：当在大圆上半圆上运动时，，，由任意角的三角函数的定义，可得的纵坐标为，；当点在小圆下半圆上运动时，，，可得点纵坐标为，．动点的纵坐标关于时间的函数表达式为．故答案为：．32．（2020•新建区校级模拟）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若的最小值为，则双曲线的离心率为．【解析】解：由双曲线定义知，，则，，所以，过作双曲线一条渐近线的垂线垂足为，交右支于点，此时最小且最小值为，易求焦点到渐近线的距离为即，所以，即，，可求离心率．故答案为：．33．（2020•杨浦区校级期末）如果是椭圆上的动点，是椭圆上的动点，那么面积的最大值为12．【解析】解：面积，设，，，，可得，所以，由题意可设，，则，当时，即，时，取得最大值12．故答案为：12．34．（2020•杨浦区校级期末）已知方程有两个不等的实根，则实数的取值范围为．【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：表示一条直线，方程右边，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，解得：或（舍去），则当直线与半圆有两个公共点，即方程方程有两个不等的实根，此时的取值范围为．故答案为：．35．（2020•杨浦区校级期末）已知，，，为圆上的两点，且，设，为弦上一点，且，则的最小值为．【解析】解：由题设可得：，，，，，，即，，，，，为圆上的两点，且，，即，点的轨迹为圆，又，其几何意义为圆上一点到直线的距离的5倍，又圆的圆心到直线的距离，圆上一点到直线的距离的最小值为，，故答案为：．36．（2020•大兴区期末）如图，在四面体中，其棱长均为1，，分别为，的中点．若，则；直线和的夹角为．【解析】解：由，分别为，的中点可得，，，而，所以，，．连接、，在四面体中，其棱长均为1，所以，而，所以，取的中点，，所以即为直线和的夹角，在三角形中，，，所以，即直线和的夹角为．故答案为：，．37．（2020•大兴区期末）将一枚均匀的硬币连续抛掷次，以表示没有出现连续3次正面的概率．给出下列四个结论：①；②；③当时，；④．其中，所有正确结论的序号是①③④．【解析】解：对于①，将一枚均匀的硬币连续抛掷次，以表示没有出现连续3次正面的概率，，故①正确；对于②，又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，，故②错误；对于④，共分三种情况：如果第次出现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，这个时候不出现连续三次正面的概率是；如果第次出现正面，第次出现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，这个时候不出现连续三次正面的概率是；如果第次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，这时候不出现三次连续正面的概率是，综上，，故④正确；对于③，由④知，时，单调递减，又，时，数列单调递减，即当时，，故③正确．故答案为：①③④．38．（2020•大通县期末）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，，分别为的，中点，是边靠近的三等分点，则直线与平面所成角的正切值为；异面直线与所成角的余弦值是．【解析】解：由，，两两垂直，分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示：不妨设，则，0，，，0，，，4，，，3，，所以，其中平面的一个法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以；又同量与所成角的余弦值为，且，所以异面直线与所成角的余弦值是．故答案为：，．39．（2020•海淀区期末）已知圆，直线，点，点．给出下列4个结论：①当，直线与圆相离；②若直线圆的一条对称轴，则；③若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为；④为圆上的一动点，若，则的最大值为．其中所有正确结论的序号是①②④．【解析】解：当时，直线，故圆的半径小于点到直线的距离，所以当，直线与圆相离，故选项①正确；因为圆的对称轴过圆心，故直线过点，又直线，所以，故选项②正确；考虑极限情况：，为切点时比，为割点时的更大，故直线的斜率最大时，点，均应为切点，过作圆的切线，则，所以，故选项③错误；设，，则的中点，，而，则点为以为直径的圆上，设半径为，，则，所以最大时应该是点的纵坐标加半径，即，令，，，令，得，，，当时，，所以的最大值为，故选项④正确；故答案为：①②④．40．（2020•丰台区期末）如果数列满足为常数），那么数列叫做等比差数列，叫做公比差．给出下列四个结论：①若数列满足，则该数列是等比差数列；②数列是等比差数列；③所有的等比数列都是等比差数列；④存在等差数列是等比差数列．其中所有正确结论的序号是①③④．【解析】解：根据题意，数列满足，则，所以数列是等比差数列，故选项①正确；对于数列，则不是常数，所以数列不是等比差数列，故选项②错误；由等比数列的定义可知，，所以，所以所有的等比数列都是等比差数列，故选项③正确；设等差数列为，公差为，所以，当时，则，所以存在等差数列是等比差数列，故选项④正确．故选：①③④．41．（2020•西青区期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，，．①抛物线焦点到准线的距离为2；②若，则；③；④过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点，则直线抛物线的对称轴；⑤绕点旋转且与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条．以上结论中正确的序号为①②④．【解析】解：由抛物线的方程可得：，且焦点，准线方程为：，对于①：由抛物线的焦点坐标以及准线方程可得焦点到准线的距离为2，故①正确，对于②：由抛物线的定义可得：，故②正确，对于③：设直线的方程为：，代入抛物线方程可得：，所以，故③错误，对于④：由点的坐标可设直线的方程为：，令，则，所以，又因为由③知：，，所以点的坐标为，而点满足方程，即，所以，所以轴，即直线抛物线的对称轴，故④正确，对于⑤：当时，显然与抛物线只有一个公共点，设过的直线的方程为：，代入抛物线的方程可得：，令△，解得或，故绕点旋转且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条．，故⑤错误，故答案为：①②④．42．（2020•天津期末）已知实数，，，则的最小值是．【解析】解：，，且，，，当且仅当，即时取等号，的最小值是．故答案为：．43．（2020•天津期末）已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是；最小值是．【解析】解：以为原点，以为轴建立平面直角坐标系，设，则，，，，，，即．，在上，，当时，取得最大值．，，，．，．当时，取得最小值．故答案为：，．44．（2020•石景山区一模）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，若为的中点，则3．【解析】解：抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，可知的横坐标为：，则，．故答案为：3．45．（2020•成都期末）已知圆的圆心为，为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为16．【解析】解：由已知，圆心坐标是，半径是2，如图，，又是切点，在方向上的投影就是线段代表的数量，故是个定值，故当取到最小值时，取到最小值，即是圆心到直线的垂线段时取到最小值又直线，故圆到直线的距离是，所以的最小值是，故答案为：16．46．（2012•上海）在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范