勾股定理证明-初中数学常见的模型方法专题

勾股定理证明方法1商高证明法证明：∵，，∴，∴．方法2赵爽弦图2、以、为直角边，以为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于．把这四个直角三角形拼成如图所示形状．∵，∴．∵，∴，∴是一个边长为的正方形，它的面积等于．∵，．∴是一个边长为的正方形，它的面积等于．∴．∴．方法3刘徽证明方法——青朱出入图3、勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方才幂．开方除之，即弦也．——《九章算术注》方法4加菲尔德方法——梯形面积法4、以、为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于．把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使、、三点在一条直线上．∵，∴．∵，∴．∴．∴是一个等腰直角三角形，它的面积等于．又∵，，∴．∴是一个直角梯形，它的面积等于．∴．∴．方法55.张景中证明方法1——对角线垂直的四边形方法66.张景中证明方法2——悬挂模型矩形方法7欧几里得证明7、做三个边长分别为、、的正方形，把它们拼成如图所示的形状，使、、三点在一条直线上，连结、．过作，交于点，交于点．∵，，，∴．∵的面积等于，的面积等于矩形的面积的一半，∴矩形的面积．同理可证，矩形的面积．∵正方形的面积矩形的面积矩形的面积∴，即．注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ方法8杨作玫证明8、做两个全等直角三角形，设它们的两条直角边长分别为、，斜边长为．再作一个边长为的正方形．把它们拼成如图所示的多边形．过作，交于，交于．过作，垂足为．过作与的延长线垂直，垂足为，交与．∵，，∴．又∵，，，∴．∴，．由作法可知，是一个矩形，所以．即，，从而．∵，，∴，∴，．有∵，方法9陈杰证明9、设直角三角形两直角边的长分别为、，斜边的成为，做两个边长分别为、的正方形，把它们拼成如图所示的形状，使、、三点在一条直线上．用数字表示面积的编号（如图）．在上截取，连结、，则．∵，，∴．又∵，，，∴．∴，．∵，，∴．∴作，，则是一个边长为的正方形．∵，∴．连结，在和中，∵，，，∴．∴，．∴点、、、在一条直线上．在和中，∵，，∴．∵，，，，∴∴．方法10李锐证明10、设直角三角形两直角边长分别为、，斜边的长为．做三个边长分别为、、的正方形，把它们拼成如图所示形状，使、、三点在一条直线上．用数字表示面积的编号（如图）．∵，∴．又∵，，∴．∴．∴．又∵，，∴．∵，，∴．即．过作，垂足是．由，可知，而，∴．又．所以．即．由，有得，．∵，，，∴．又∵，，∴．即．∵，，，又∵，，，∴，即．【拓展】1.如图所示，在正方形的四边，，，上分别取点，，，，使得，求证：四边形是正方形．【答案】见解析【解析】【分析】根据正方形的性质证明，然后证明即可得到答案.【详解】解：∵四边形ABCD是正方形∴，∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴四边形是正方形．【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.2.如图所示，在正方形的四边，，，上分别取点，，，，使得，此外，，，，求证：四边形是正方形．【答案】见解析【解析】【分析】根据已知条件得到四边形、四边形、四边形、四边形均为长方形，在根据三角形全等证明即可；【详解】∵，，，，且，∴四边形、四边形、四边形、四边形均为长方形，∴，∴，，∴，且，∴四边形为正方形．【点睛】本题主要考查了正方形的判定，结合三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质证明是解题的关键．3.如图所示，在正方形的四边，，，上分别取点，，，，使得，此外，，，．求证：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的性质证明，然后证明即可得到答案；（2）先证明，然后同理可以得到，然后证明四边形ORQP是正方形，即可得到结论；（3）根据（1）（2）的结论求解即可.【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴四边形是正方形．∴（2）∵四边形是正方形∴，∵，∴四边形AERF是平行四边形∵∠A=90°∴四边形AERF是矩形∴∴同理可以得到，，∴∴，，∴∵∴∴四边形ORQP是正方形∴（3）∵，，又∵∴∴【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.例题4.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为A.9 B.6 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】已知ab＝8可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.【详解】故选D.【点睛】本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．变式15.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（）A.8 B.6 C.4 D.5【答案】B【解析】【详解】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可．解：∵AB=10，EF=2，∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4×ab=96，∴2ab=96，a2+b2=100，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，∴a+b=14，∵a﹣b=2，解得：a=8，b=6，∴AE=8，DE=6，∴AH=8﹣2=6．故选B．变式26.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】小正方形、大正方形的面积可以分别用a、b表示，进而两式相减即可求出ab的值．【详解】由勾股定理，得大正方形的面积为：，又小正方形的面积为即∴∴ab=6故选：B．【点睛】本题是以弦图为背景的计算题，考查了勾股定理，图形的面积，关键是用a、b表示大小正方形的面积．巩固练习7.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D．【详解】解:A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积，故，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积，，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、四个小图形面积和等于大正方形面积，，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】C【解析】【分析】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案．【详解】解：∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG•DG＝GF2+2CG•DG，S2＝GF2，S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG•NF，∵S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2，∴S2的值是：7．故选：C．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2是解决问题的关键．9.如图，在中，，则三个半圆面积S1，S2，S3的关系为___________．【答案】【解析】【分析】分别用、和表示出、、，然后根据即可得出、、的关系．【详解】解：在中，，，，，，，即．故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用．解题的关键是勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．10.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止己有多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中，点在线段上，点在边两侧，试证明：．【答案】见解析．【解析】【分析】首先连结，作延长线于，则，根据，易证，再根据，，两者相等，整理即可得证．【详解】证明：连结，作延长线于，则即，∴∴即有：∴【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ADFB的面积是解本题的关键．11.（1）如图１是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；

（2）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试证明过程．说明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据正方形面积计算公式解答；（2）利用面积法证明即可得到结论．【详解】（1）；（2）如图，∵Rt△DEC≌Rt△EAB，∴∠DEC=∠EAB，DE=AE，∵，∴，∴△AED为等腰直角三角形，∵，∴，即，∵，∴，∴．【点睛】此题考查勾股定理的证明，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解各部分图形之间的关系，正确分析它们之间的面积等量关系是解题的关键．培优12.阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为；（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三