动能定理和功能原理

导出：④导出：④动能定理和功能原理抛砖引玉指点迷津思维基础学法指要思维体操心中有数动脑动手创新园地.教法建议【抛砖引玉】在经典力学中，“动能定理”是“牛顿运动定律”的推论和发展，“功能原理”也是“牛顿运动定律”的进一步推导的结果。因此我们建议：教师不要把本单元的内容当作新知识灌输给学生，而是引导学生运用“牛顿运动定律”对下述的这个匀加速运动问题进行分析和推导，使学生自己获得新知识—“动能定理”和“功能原理”。具体的教学过程请参考下列四个步骤：第一步：说明物体的运动状态，并导出加速度计算式口如图疔一疔所示戈物体沿着不光滑的斜面匀加速向上运动，通过且处时的即时速度为训，通过E处时的即时速度为讥，由月处到B处的位移为肌通过提问引导学生根据呼_时论写出:第二步：画出物体的受力分析图，进行正交分解，说明物体的受力情况口图于一6是物体的受力分析图（这个图既可以单独画出，也可补画在上图的月、E之间），物体受到了重力用厂斜面支持力动力氏阻力斤由于重力既不平行于斜面，也不垂直于斜面，所以要对它进行正交分解，分解为平行于斜面的下滑分力鬥和垂直于斜面正压力鬥口然后说明：物体在垂直斜面方向的力N=Fq：物体平行斜面方向的力F＞尸近1（否则物体不可能加速上行）,荘合力为：F-f-F, ②第三步：运用牛顿第二定律和①、②两式导出“动能定理”。若已知物体的质量为m、所受之合外力为工月、产生之加速度为a。则根据牛顿第二定律可以写出：2F=沁③将①、②两式代入③式：若以W表示外力对物体所做的总功W=Fs-fe-F^s⑤若以E表示物体通过A处时的动能，以E表示物体通过B处时的动能kokt则：⑥

则：⑥盼柿⑦将⑤、⑥、⑦三式代入④式，就导出了课本中的“动能定理”的数学表达形式：W=E－Ektko若以AE表示动能的变化E-Ekktko则可写出“动能定理”的一种简单表达形式：W=^Ek它的文字表述是：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。这个结论叫做“动能定理”。第四步：在“动能定理”的基础上推导出“功能原理”。在推导“动能定理”的过程中，我们曾经写出过④式，现抄列如下：④为了导出“功能原理”我们需要对其中的下滑分力做功项FS进行分析推导。我们知道，当斜面的底角为0时，下滑分力F和重力mg的关系如下：1= （前面已有⑤、⑥、⑦式）⑧上式中如何表达呢？请看图5—7.物体在貝处时的高度为加，在E处时的髙度为尿，则根据中学数学中所学过的三角函数知识可以写出下式：将⑩式代入④式后进行推导就导出了一种“功能原理”的数学表达形式：若以代入（11）式,将⑩式代入④式后进行推导就导出了一种“功能原理”的数学表达形式：若以代入（11）式,将⑨式代入⑧式着进行推导:Fs—fs二+△EKP它的物理意义是：动力对物体做功Fs与物体克服阻力做功fs之差（不包括重力做的功），等于物体动能的变化量与势能的变化量之和。若在（式基础上进行移项变化可导出下式：(12)(12)=［枷r =丄哪：+淤叭若以 代入2式，就可以写为:Fs—fs=E—Et0再以%=氐-抿也=比-氏代入上式就可以导出“功能原理”的另一种数学表达形式：W=^E它的物理意义是：外力对物体对所做的总功（不包括重力做的功），等于物体机械能的变化量AE。（当FF〉0时，△〔＞（），机械能增加；当WV0时，AEVO，机械能减少。F

（请读者注意：“功能原理”中的WF与“动能定理”中的W是不相同的！我们将在后面的“指点迷津”中进行说明。）在上面所推导出的关于“功能原理”的各数学表达式中，虽以叮最为简练，但在实用解题中以（11）、⑫两式最方便，在后讲述的“学海导航”和“智能显示”栏目中将会看到。【指点迷津】1■有没有更简单的方法推导岀“动能定理”？有口可以采用“物体在水平拉力作用下沿光滑水平面匀加速运动”为例进行推导，具体过程如下： • TOC\o"1-5"\h\z如图5—8所示：质量为削的物体在一个水平 、动力F作用下，沿着光滑的水平面匀加速前进，通 二「 •・**** •*F *过A处简便方法，又何必在“抛砖引玉”中介绍用厂二J 」昭厠推导的比较复杂的方法呢？荘原因如下： “s①在平平闻推导法的过程中只有动能旳娶雀而没有势能的变化，这会使一些中学生谖认为籍动能定理”只适用于解答没有势能变化的单纯的动能变化问题，这显然是不对的！若采用斜面推导法，学生就一目了然，能全面正确地理解h h h h“动能定理"的适用范围了口|②采用水平闻推导法只能推导出“动能定理”,而不能推导出“功能原理”；采用斜面推导法能在导出“动能定理”的基础上继续导岀“功能原理”，从而使h h h h学生获得更多的知识，也有益于提髙学生的解题能力口③采用斜面推导法涉及的物理知识和数学方法较多，能够培养学生"运用数h h h h学解决物理问题的能力"O2「，重力对物体做功”和“物体重力势能的变化”有什么关系？重力对物体做功，可以使物体的重力势能发生变化.当重力对物体做正功时（重力是动力），物体的重力势能减少口例如：物体h h h h沿竖直方向下降：物体沿斜面下滑……属于这种情况口当重力对物体做负功时〔物体克服重力做功），物体的重力势能增加□例h h h h如：物体沿竖直方向上升；物体沿斜面上升……属于这种情况.下面我们推导“重力对物体做功”与“物体重力势能的变化”的数量关系：如图疔T所示：质量为廉的物体，在重力的作用下，由貝处下落到图59B处，距地面高度先后为Ha和hs□重力对物体所做的功为：图59W^GS物体重力势能的变化为：\EP=mghA-mghs=mg（hA-hs）・・・G=mg£=hA-hB:.%=AEP由此可知：重力对物体的所做的功等于物体重力势能的变化。上面推导出的这个结论是否只适用于竖直下落问题呢？不是的，它适用于重力对物体做功的各种情况，我们在后面的“学海导航”中还将通过例题说明其它情况。“动能定理”和“功能原理”有什么联系和区别？在运用它们解题时需要注意什么？研究“外力对物体做功”和“物体机械能变化”的关系是力学中的重要问题之一。“动能定理”和“功能原理”都是表达这种关系的规律，只是表达的形式不同，但它们的本质是相同的。

在“动能定理”中只提动能而不提势能；在“功能原理”中既提动能也提势能。在“动能定理”中包含重力所做的功；在“功能原理”中不包含重力所做的功。在“动能原理”中所包含的重力对物体所做的功与在“功能原理”中所提到的物体重力势能的变化是对同一物理现象的不同表述。某些力学问题，既可以用“动能定理”求解，也可以用“功能原理”求解。具体如何选择，往往要根据题意而定。选择恰当，不仅解题便捷，而且不易失误。（注：目前的高三物理课本只讲“动能定理”，但有关功能原理的思想也分布在课文之中了。如果学生的基础不太好，若为减轻负担，也可只学习和应用“动能定理”。）在运用“动能定理”解题时应当注意：在公式W=^E中不含势能的变化K（△E）,但是在W中包含着重力做功W。PG在运用“功能原理”解题时应当注意：在公式W=^E中既含动能的变化也含势能的变化，即^E=^E+AE，但FKP是在W中不包含重力做功W。（注：也不包括重力分解出的下滑分力做功！）FG总之必须明确：W与W的区别；AE与AE的区别。FK二.学海导航【思维基础】例题1•如图5—10所示：质量为m的物体沿着光滑的斜面由A处滑到B处。物体通过A处时的速度为v、高度为h；物体通过B处时的速度为v、高度为h。则在此过程中重力对物体所做的功WA A B B G为：WG=mg^cosa%=吨gsiii*答：[] 闍讦10(P)WG=mghA-mghB答：[] 闍讦10思维基础：这是一个检查学生对概念规律的理解和应用能力的选择题，需掌握下列知识：功的定义及其计算式。“重力对物体做功”与“物体重力势能变化”的关系。“动能定理”的物理意义及其应用。建议：请学生阅读前面“教法建议”的内容后，参考其推理方法，先不看本题后面的解题思路和答案，自己进行解答，然后再进行核对，将会有较大的收获。解题思路：在本题中物体只受重力和斜面的支持力（弹力），又因斜面的支持力与物体的位移垂直而不做功，所以与解答本题无直接关系（因而在图中也未画出），因此只考虑重力做功与物体机械能的变化就可以了。根据功的定义及其计算式琢=Fs诧，在本题中F=mg，代入可得：%=mgscos住根据数学中的三角函数知识，可知在本题中costz=sin^,，代入可得:WG=mgssind（附：若将mg分解出下滑分力十吨乱然后据%"厂叱心,亦可得出同样结果。而重力的另一正压分力 因与位移垂直不做功，只是与斜面支持力平衡，使物体在垂直于斜面方向保持°）根据“重力对物体做功等于物体重力势能的变化”（当重力对物体做正功时，物体的重力势能减少），可以写出下式：=mghA-答案：[A、B、C、D]

解题后的思考：你想到了本题的四个答案都是正确的吗？这四个答案之间有什么联系？2•你能够运用功的计算式、匀变速运动公式及数学中的三角函数知识等推导出（C）、（D）两个答案吗？3•如果在本题中斜面是不光滑的（物体与斜面间存在着摩擦力f）,那么（A）、（B）、（C）、（D）四个答案中哪些是正确的？哪些答案是不正确的？【学法指要】例题2•原来以7米/秒速度在水平轨道上直线行驶着的火车，在关闭气门停止动力后，滑行100米，车速减为5米/秒。问：继续滑行100米,车速将减为多少？（火车在滑行过程中阻力始终保持不变。）启发性问题：1.火车在滑行过程中处于何种做功状态？2•你打算用什么物理规律解答本题？3•你会用图示法分析物理问题吗？分析与说明：1•在本题中，火车滑行时已停止了动力作用，所以只存在运动着的火车克服阻力做功火车将减速运动。2•解答本题可有几种不同方法，但是对于学过“动能定理”的学生，往往想到使用这个规律。我们以本题为例，用图示法进行分析，如图疔一11所示口图5H1在本题中,已知卩尸7米/秒,卩冃米/秒，St=Sh=100米口茨叱=?求解过程：根据“动能定理”用心蓝，我们可以写出下列展开式:=0、在本题中％=0、％=fs和W=fs、设火车的质量为m，=0、TOC\o"1-5"\h\zI 阻II对于s段可以写出下式：I0—fs= ①I对于s段可以写出下式：II0—fs= ②I在①、②两式中，已知s=S,所以两式的左方相等，因此两式的右方也应相等:II—m消去等式两边的2可得-谥=V2~V1迸=2甘-卩；匕=72v?~vo将v=7米/秒、V=5米/秒代入上式可得：10v2=^2x52-72=750-49=1（米/■秒）答：火车继续滑行100米（即火车一共滑行了200米）车速将减为1米/秒。

解题后的思考：你还能想到用茸它规律解答本题的方法吗？在本题中若不再施动力，火车二养滑行多远就会停住？（提示：设总滑行距离为缶再列出0-^=0-|w^与前面列出的①式解联立方程就可得答案口答案:s^204o）思维体操】例题3■如图疔一12所示：一辆车通过一根跨过滑轮的绳PQ提升井中质量为尬的物体.绳的P端拴在车后的挂钩、0端拴在的物体上口设绳的总长不变，绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计n开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳长为提升时，车加速向左运动，沿水平方向从貝经过E驶向O设貝到E的距离也是车过B点时的速度为加口求：在车由月移到£的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功口“准备活动”（解题所需的知识与技能）1•在本题中，由于汽车是加速运动，所以被提拉的物体也应是加速上升一这表明物体的动能和重力势能都增加了。2•根据“功能原理”J^=A^=^+A^?就可以求出绳的拉力对物体所做的功W。（注：因为本题只要求绳的F拉力对物体所做的功，所以就不必考虑汽车在运动过程中的牵引力和阻力等问题了。）3■根据数学的分析可知，物体上升的高度h=DO~DP.若设ADOP=9f贝［J00=总。已知DP=H?且OP=BA^H?所以为等腰直角三角形，因此如图5—13所示：汽车的速度泊是水平方向的，而此时物体上升的速度应等于VB在沿着绳子DO方向的分速讥（注：图中虚线表示绳子在兀位置的方向口—另一分速W与绳子垂直将使绳子继续改变倾斜程度口）根据三角函数知识可以写岀：V=vscosft“体操表演"（解题的过程） V罔弓_13■. ■.■ r, , r II ■ irrrr urrj — ■ . ■. . .■设：汽车开到B处时，物体上升的即时速度为v、上升的高度为h,据前面“准备活动”的分析，可以写下列二式：则：根据：“功能原理”，并将①、②两式代入进行推导，就可求出绳Q端拉力对物体做的功W，具体过程如F下：(注：物体的初速为零，初高定为零)“整理运动”(解题后的思考)1.在本题的做功过程中，物体受到的是恒力还是变力？物体是匀加速上升还是变加速上升？2•请你用“动能定理”再将本题解答一次，并进行比较一你喜欢用哪种方法求解。.智能显示【心中有数】1•功和能的关系：各种不同形式的能可以通过做功来转化，能转化的多少通过功来量度，即功是能转化的量度。1212-—mV-.2•动能定理：合力的功等于物体动能的增量，表达式为:W=合应用动能定理解题步骤：分析物体的受力情况和运动情况；分析各个力对物体做功的情况，计算时要把各已知功的正负号代入分式进行运算，若是未知功，则用代号W代入。变力(大小或方向改变)的功不要直接用W二FscosO来求，可以应用动能定理来求。在公式中变力的功只能用代号W表示。如果物体运动有几个过程时，可以分段运用动能定理，也可以对全过程运用动能定理，即各个力做功的代数和等于物体动能的增量：1212=片叫一—W+W+……W=21 2 n【动脑动手】(一)•选择题1•关于做功和物体动能变化的关系，下列说法中正确的是只有动力对物体做功，物体的动能一定增加只有物体克服阻力做功，物体的动能一定减少外力对物体做功的代数和等于物体末动能与初动能之差。动力和阻力都对物体做功，物体的动能一定变化下面关于物体所受的合外力、合外力做功和物体动能变化的说法中正确的是如果物体所受的合外力为零，合外力对物体做的功一定为零如果合外力对物体做的功为零，合外力一定为零如果物体的动能不变，所受的合外力一定为零如果物体的动能不变，合外力对物体做的功一定为零质点在恒力作用下，从静止开始做直线运动，则质点的动能与它通过的位移成正比与它通过位移的平方成正比与它运动的时间成正比与它运动时间的平方成正比4•一颗子弹以水平速率v射入固定的木块中，射入深度为s,设子弹在木块中所受阻力是恒定的。当子弹以％的水平速度射入固定的木块中，射入深度为C.

C.■5-14王质量为用的小球，用长为2的轻绳悬挂于O点，如图疔一14所示，小球在水平力F作用下，从平衡位置卩点缓慢地移到0点，Og与OF间的夹角为S则力F所做的功为■5-14mglcostzFlsinamgl(l-cosa)Fla6.两个物体的质量分别为m和m，已知m=4m，当它们以相同的初动能在动摩擦因数相同的水平面上运动时，1212它们的滑行距离之比和滑行1时间2之比分别1为2A.ss=12,t:t=2:11212B.ss=41,t:t=1:21212C.ss=21,t:t=4:11212D.s1s=124,t:1t=1:22如图5—15所示，质量为廉的物体被用细绳经过光滑小孔而牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动口当拉力为F时转动半径为Ec■若拉D■零力逐渐减小到%时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2&那么在半径从E增加到2E的过程中，外力对物体所做的功的大小是D■零如图5—16所示，质量为即的物体在光滑水平桌面上处于静止状态，系在物体上轻绳跨过光滑的定滑轮，另一端由地面上以速度vo向右匀速走动的人拉着，人从桌子的边缘开始向右行至绳和水平方向成30。角处，在此过程中人所做的功为A吆mVgD.3W2Wo/D.3W/O9■如图5—17所示，木板长为打在板的H端放有质量为阳的小物体只物体与木板间的动摩擦因数为山口开始时木板水平，若以且端为轴让木板缓慢转过一个小角度「物体保持与木板相对静止，在这个过程中A.摩擦力对物体做功为pmgcos^/(l-cosa)|B摩擦力对物体做功为mgsin^J(l-cost7)弹力对物体做功为mgcosaJ或no木板对物体做功为mglsina10.质量为10kg的物体以4m/s的速度在光滑水平面上向左滑行，从某时刻起在物体上作用一个向右的水平力，经过一段时间，物体的速度方向变为向右，大小为4m/s，在这段时间里水平力做的功为0B.8JC.16JD.32J11•在水平面上有一质量为m的物体，受到水平力F的作用从静止开始运动，通过距离s撤去力F,这以后又通过距离s停止下来，则在这个过程中

它所受的摩擦力大小为F它所受的摩擦力大小为咲力F对物体做的功为Fs力F对物体做的功为零12.被竖直上抛物体的初速度与回到抛出点时速度大小之比为k,空气阻力在物体运动过程中大小不变，则重力与空气阻力的大小之比等于〔疋+1)/ 3+1)/B.C.k13•两辆汽车在同一平直路面上行驶，它们的质量之比m:m=1：2,速度之比v:v=2：1。当两车急刹车后，甲车滑行的最大距离为s，乙车滑行的最大距离为s。设两车与路面间的动摩擦因数相同，不计空气阻力，则12s:s=1:2,12s:s=1:1,12s:s=2:1,12s:s=4:1汽车拉着拖车在平直的公路上匀速行驶，拖车与汽车突然脱钩，而汽车的牵引力不变，各自受的阻力不变，在拖车停止前它们的总动能不变它们的总动能增加它们的总动量不变它们的总动量增加质量为m的汽车在平直公路上以速度v开始加速行驶，经过时间t前进距离s后，速度达到最大值v。设在这一过程中汽车发动机的功率恒为P，汽车所受的阻力恒为f。在这段时间内汽车发动机所做的功为m00".如图5—18所示，一个粗糙的水平转台以角速度®匀速转动，转台上有一质量为朋的物体，物体与转台轴心口间用长为2的细绳相连，此时物体与转台处于相对静止口设物体与转台间的动摩擦因数为口口现突然使转台停止转动，则A.物体在转台上运动一周的过程中，摩擦力对物体做功为零物体在转台上运动一周的过程中，产生的热量为知洛・2皿U物体在转台上运动直至停止的过程中转化的内能为D.物体在转台上通过的总路程为吟焜(二)•填空题L7■如图5—19所示，一个质量为m的物体静止在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为庄，在跟水平方向成卫角的拉力F作用下物体移动距离左时的速度是 ■18-颗子弹以700m/s的水平速度射入一块固定不动的木板，射出后的速度变为500m/sf设木板对子弹的阻力恒定不变，则这颗子弹还再射穿 块同样固定的木板口一人坐在雪橇上，从静止开始沿着高度为15m的斜坡下滑，到达底部时速度为10m/s。已知人和雪橇的总质量为80kg，g取10m/s2。下滑过程中克服阻力做的功是 如图5—20所示，质量为m的物体，从弧形面底端A点以速度v往上滑行，达到某一高度后，又沿原路返回，且继续沿水平面滑行至B点而停止。在整个过程中物体克服摩擦力做的功是 。质量为m的小球，以初速度v从倾角为6的斜面底端向上滑行，上滑的最大距离为s,则小球滑回到原出TOC\o"1-5"\h\z发点时的动能为 。一个单摆小球的质量为m，摆球经过最低点时的速度为v，由于摆球受到大小不变的空气阻力f作用而最终静止。则摆球通过的最大路程是 。 023•如图5—21所示，物体A放在倾角为6的斜面上，向下轻轻一推，它刚好能匀速下