2019届高考数学(文科)江苏版1轮复习练习第3章三角函数解三角形4第4讲分层演练直击高考含解析

π1．函数y＝sinxsin2＋x的最小正周期是________．12π[分析]由于y＝sinxcosx＝2sin2x，因此T＝＝π.2[答案]π1＋cos2α12.若sin2α＝2，则tan2α＝________．[分析]1＋cos2α2cos2α＝cosα1，由于sin2α＝2sinαcos＝αsinα2因此tanα＝2，因此tan2α＝2tanα442＝＝－.1－tanα1－43[答案]4－33．化简2＋cos2－sin21的结果是________．[分析]2＋cos2－sin21＝1＋cos2＋1－sin2122cos1＋cos1＝3cos1.[答案]3cos1π4．已知△ABC中，AB＝2，C＝3，则△ABC的周长为________．a243b243[分析]设三边分别为a，b，c，则sinA＝sinC，a＝3sinA，2π＝sinC，b＝3sin－A32πsin3－A，△ABC的周长l＝43432π－A＋23sinA＋3sin3π23sinA＋2cosA＋2＝4sinA＋6＋2.π[答案]4sinA＋6＋25．函数y＝3cos4x＋sin4x的最小正周期为________．[分析]y＝3cos4x＋sin4x＝2312cos4x＋2sin4xπππ2cos6cos4x＋sin6sin4x＝2cos4x－6，2ππ故T＝4＝2.π[答案]21sin35°－2sin20°＝________．212sin235°－1[分析]sin35°－2－cos70°＝－sin20°1.sin20°＝2sin20°＝＝－2sin20°2sin20°2[答案]1－2ππ7．函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx在区间4，2上的最大值是________．21－cos2x＋3sin2x＝311＝[分析]f(x)＝sinx＋3sinxcosx＝222sin2x－2cos2x＋2π1，当x∈ππ时，2x－ππ5π，因此当ππ13sin2x－6＋24，∈，62x－＝时，f(x)max＝1＋＝2.263622[答案]322sin2x－18．若f(x)＝2tanx－2，则fπ的值为________．xx12sin2cos21－2sin2x[分析]由于f(x)＝2tanx＋2＝2tanx＋2cosx＝2＝4，因此fπ＝1sinxsinxcosxsin2x122sinx4＝8.πsin6[答案]89．设α∈0，πsin3αcos3α，则＋的最小值为________．2cosαsinαsin3α3αsin4α＋cos4α[分析]＋cos＝＝cosαsinαsinαcosα（sin2α＋cos2α）2－2sin2αcos2α1－2sinαcosα.sinαcosα＝sinαcosα令sinαcosα＝t，则t＝1sin2α.2由于α∈0，π1.，因此t∈0，22令g(t)＝1t－2t，则g(t)在0，12上是减函数，1因此当t＝时，g(t)min＝2－1＝1.[答案]110．(2016·考江苏卷高)在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．[分析]由sinA＝sin(B＋C)＝2sinBsinC得sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，两边同时除以cosBcosC得tanB＋tanC＝2tanBtanC，令tanB＋tanC＝2tanBtanC＝m，由于△ABC是锐角三角形，因此2tanBtanC>2tanB·tanC，则tanBtanC>1，m>2.又在三角形中有tanAtanBtanC＝－tan(B＋C)tanBtanC＝－m·1m＝m2＝m－2＋4＋4≥212m－2m－21－2m（m－2）·4＋4＝8，当且仅当m－2＝4，即m＝4时获得等号，故tanAtanBtanCm－2m－2的最小值为8.[答案]811．(1)化简4cos4x－2cos2x－1；π2π＋xsin－xtan44(2)求值：4cos50°－tan40°.1＋cos2x）2－2cos2x－1[解](1)原式＝π＝πtan4＋xcos24＋x222cos2x＝2cos2x＝2cos2x＝2cos2x.πππcos2xsin4＋xcos4＋xsin2＋2xsin40°(2)原式＝4sin40°－cos40°4sin40°cos40°－sin40°cos40°2sin80°－sin40°cos40°＝2cos（40°－30°）－sin40°cos40°＝2（cos40°cos30°＋sin40°sin30°）－sin40°cos40°＝3cos40°＝3.cos40°ππ12．(2018合·肥模拟)已知cos＋α·cos－α＝63－1，α∈ππ，432.(1)求sin2α的值；1(2)求tanα－的值．π·cosπ[解](1)由于cos＋α－α63ππ＝cos6＋α·sin6＋α＝1π1，＝－2sin2α＋341因此sin2α＋3＝－2.πππ4π由于α∈3，2，因此2α＋3∈π，3，因此cosπ32α＋3＝－2，ππ因此sin2α＝sin2α＋3－3＝sin2α＋πππsinπ3cos－cos2α＋3＝1.332ππ，因此2α∈2π(2)由于α∈3，23，π，13又由(1)知sin2α＝2，因此cos2α＝－2.1sinαcosαsin2α－cos2α－2cos2α－3因此tanα－＝2－＝sinαcosα＝sin2α＝－2×＝23.tanαcosαsinα121＝4，则sin2θ＝________.1．若tanθ＋tanθ2θ[分析]法一：由于tanθ＋tanθtanθ因此4tanθ＝1＋tan2θ，因此sin2θ＝2sinθcosθ2sinθcosθ2tanθ2tanθ1.＝22＝2＝＝sinθ＋cosθ1＋tanθ4tanθ2法二：由于tanθ＋1＝sinθcosθ1＝2，因此4＝21tan＋＝sin2，故sin2θ＝.θcosθsinθcosθsinθsin2θθ2[答案]122．设α为锐角，若cosα＋π＝4，则sin2α＋π的值为________．6512[分析]由于α为锐角，cosα＋π＝4，65因此sinα＋π6＝35，sin2α＋π6＝2425，cos2α＋π＝7，因此sin2α＋π62512＝sin2α＋ππ＝sin2α＋πcosπ6－46－4ππ2α＋6cos2sin450.172[答案]503.(2018南·通调研)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为________．[分析]法一：在三角形ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，由余弦定理可得cos∠BAC＝－1，tan∠BAC＝－15，4tan∠BAC－tan45°8＋15tan∠CAD＝tan(∠BAC－45°)＝1＋tan∠BACtan45°＝7.法二：同上得tan∠BAC＝－15，再由tan(45°＋∠CAD)＝－15，解之得tan∠CAD8＋15.78＋15[答案]74．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈－π，π，则α＋β＝________．22分析：由已知得tanα＋tanβ＝－3a，tanαtanβ＝3a＋1，因此tan(α＋β)＝1.ππ，tanα＋tanβ＝－3a＜0，tanαtanβ＝3a＋1＞0，因此又由于α，β∈－2，2πtanα＜0，tanβ＜0，因此α，β∈－，0，2因此α＋β∈(－π，0)，3π因此α＋β＝－.答案：－3π45．已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．(1)求f(x)的分析式；(2)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．[解](1)由于由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)·cosα－3cos(α＋β)sinα，因此sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)·sinα，tanα＋tanβ因此tan(α＋β)＝2tanα，于是＝2tanα，即x＋y＝2x，因此y＝x2，即1－xy1＋2x(2)由于角α是一个三角形的最小内角

xf(x)＝2.1＋2x，π因此0＜α≤3，则0＜x≤3，x1≤1f(x)＝2＝11＋2x21·2x＋2xxx＝2当且仅当x＝2，42时取“＝”故函数f(x)的值域为20，4.6．(2018江·苏省四星级学校联考)已知向量a＝(2，cos2x)，b＝cos2π－x，－3，4函数f(x)＝a·b.1ππ(1)若f(α)＝2，α∈0，2，求fα＋6的值；π3，3]，务实数a，b的值．(2)若函数g(x)＝af(x)＋b的定义域为0，，值域为[1－22ππ＋1－3cos2x＝2sin2x－π解：由题意知f(x)＝2cos－x－3cos2x＝cos－2x3421.1(1)由于f(α)＝2sin2α－3＋1＝2，因此sin2α－π＝－1.又α∈0，π，324ππ，2π，则cosπ15因此2α－∈－α＝33342－3π＝2sin2ππ＋1＝2sin2α＋1，由于fα＋α＋－366ααπ＋π1＋15×3＝35－1，sin2＝sin2－3＝－1×342428π35－135－1＋