直线和圆的位置关系+课件++【知识精讲+能力提升】人教版九年级数学上册

24.2.2

直线和圆的位置关系第二十四章

圆人教版九年级数学上第1课时

直线和圆的位置关系点和圆的位置关系有几种？d

<

rd

=

rd

>

r

用数量关系如何来判断呢？(设

OP

=

d

)知识回顾(1)点在圆内(2)点在圆上(3)点在圆外rdrrPPPOOOdd观赏视频点击视频开始播放问题1

如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？用定义判断直线与圆的位置关系问题2

请同学在纸上画一条直线

l，把圆块的边缘看作圆，在纸上移动圆块，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？l02●●●图形

公共点个数

直线与圆的位置关系

公共点名称

直线名称2个交点割线1个切点切线0个相离相切相交位置关系公共点个数填一填直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图中的直线

l），这个唯一的公共点叫做切点（如图中的点

A）.AlO知识要点

直线与圆最多有两个公共点.（

）②

若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.（

）③

若

A是☉O

上一点，则直线

AB

与☉O

相切.（

）④

若

C为☉O外一点，则过点

C的直线与☉O相交或相离.

（

）⑤

直线

a

和☉O

有公共点，则直线

a

与☉O

相交.（

）√××××判一判问题1

刚才同学们用圆块移近直线的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？相关知识：

点到直线的距离是指从直线外一点(A)到直线(l)的垂线段(OA)的长度.lAO用数量关系判断直线与圆的位置关系圆心到直线的距离在发生变化；首先距离大于半径，而后距离等于半径，最后距离小于半径.

怎样用圆心到直线的距离

d来判定直线

l与⊙O的位置关系呢？O思考：dl直线和圆相交d<r直线和圆相切d=r直线和圆相离d>rrd∟rd∟rd数形结合：位置关系数量关系用圆心

O到直线的距离

d

与圆的半径

r

的大小来判定：OOO直线与圆的位置关系的性质与判定的区别：位置关系

数量关系.公共点个数要点归纳1.已知圆的半径为

6cm，设直线和圆心的距离为

d.(3)若

d=8cm，则直线与圆______，直线与圆有____个公共点.

(2)若

d=6cm，则直线与圆______，直线与圆有____个公共点；(1)若

d=4cm，则直线与圆

，直线与圆有____个公共点；相交相切相离210练一练(3)若

AB

和⊙O

相交，则

.2.已知⊙O的半径为

5cm，圆心

O

与直线

AB

的距离为

d，根据条件填写

d的范围：(1)若

AB和⊙O

相离，则

；

(2)若

AB

和⊙O

相切，则

；d＞5cmd=

5cm0cm≤d＜5cm

例1

在Rt△ABC

中，∠C

=

90°，AC

=

3cm，BC

=

4cm，以

C

为圆心，r

为半径的圆与直线

AB

有怎样的位置关系？为什么？(1)r

=

2cm；(2)

r

=

2.4cm；(3)

r

=

3cm．BCA43分析：要判定

AB与⊙C

的位置关系，只要知道圆心

C

到

AB

的距离

d

与

r的大小关系.已知

r，只需求出

C

到

AB

的距离

d.D典例精析解：过

C作

CD⊥AB，垂足为

D.在△ABC中，根据三角形的面积公式有即圆心

C到

AB

的距离

d

=

2.4cm.(1)当

r=2cm时，有

d>r，因此⊙C

和

AB

相离；BCA43Dd注：斜边上的高等于两直角边长的乘积除以斜边长.(2)当

r=2.4cm时，有

d=r，因此⊙C和

AB相切；BCA43Dd(3)当

r

=

3cm

时，有

d<r，因此⊙C

和

AB

相交.BCA43Dd变式题：

1.Rt△ABC中，∠C

=

90°，AC

=

3

cm，BC

=

4

cm，以

C

为圆心画圆，当半径

r

为何值时，圆

C与线段

AB

没有公共点？当0cm＜r＜2.4cm

或r＞4cm时，⊙C

与线段

AB

没有公共点.ABCD45332.Rt△ABC

中，∠C

=

90°，AC

=

3

cm，BC

=

4

cm，以

C

为圆心画圆，当半径

r

为何值时，圆

C与线段

AB

有一个公共点？当半径

r

为何值时，圆

C与线段

AB

有两个公共点？当

r=2.4cm或3cm＜r≤4cm

时，⊙C

与线段

AB

有一个公共点；当2.4cm＜r≤3cm时，⊙C

与线段AB

有两公共点.ABCD4533直线与圆的位置关系定义性质判定相离相切相交公共点的个数d与

r的数量关系定义法性质法特别提醒：若图中没有

d要先作出该垂线段相离:0个;相切:1个;相交:2个相离：d>r相切：d=r相交：d<r0个：相离；1个：相切；2个：相交d>r：相离；d=r：相切；d<r：相交24.2.2

直线和圆的位置关系第二十四章

圆人教版九年级数学上第2课时

切线的判定与性质知识回顾图形

公共点个数

直线与圆的位置关系

公共点名称

直线名称2个交点割线1个切点切线0个相离相切相交位置关系公共点个数情境引入转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？都是沿切线方向飞出的.

生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.ABC问题：已知圆

O上一点

A，怎样根据圆的切线定义过点

A

作圆

O

的切线？观察：（1）圆心

O

到直线

AB

的距离和圆的

半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？切线的判定定理O

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为⊙O的半径BC⊥OA于ABC为⊙O的切线ABC切线的判定定理应用格式O要点归纳

在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？(1)不是，因为没有垂直.(2)(3)不是，因为没有经过半径的外端点

A.判一判注意O.AO.ABAO(1)(2)(3)判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即

d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.lAlOlrd要点归纳OO例1

如图，线段

AB是☉O的直径，直线

AC与

AB交于点

A，∠ABC=45°，且

AB=AC.求证：AC是☉O的切线.分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AC即可.证明：∵AB=AC，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°.

∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°，即

AB⊥AC.

∵AB是☉O的直径，∴AC是☉O的切线.AOCB例2

已知直线

AB

经过

⊙O

上的点

C，并且

OA

=

OB，

CA

=

CB.求证：直线

AB

是

⊙O

的切线.OBAC证明：连接

OC.∵OA

＝

OB，CA

＝

CB，∴OC

是等腰△OAB

底边

AB

上的中线.

∴OC⊥AB.

∵OC

是

⊙O

的半径，∴AB

是

⊙O

的切线.分析：由于

AB

过⊙O

上的点

C，所以连接

OC，只要

证明

AB⊥OC

即可.

当已知直线过圆上的一点时，连接圆心和该点得到圆的半径，然后证明直线与这条半径垂直，即可得出已知直线为圆的切线.方法总结例3

如图，在Rt△ABC

中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交

BC于

D，以

D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC是⊙O的切线．BCDAE证明：如图，过

D作

DE⊥AC于

E.∵∠ABC

=90°，∴DB⊥AB.又∵

AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE=DB=r.∴AC是⊙O的切线.

当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即可得出已知直线为圆的切线.方法总结(1)

有交点，连半径，证垂直；证切线时辅助线的添加方法要点归纳(2)

无交点，作垂直，证半径.例3例2思考：如图，如果直线

l是⊙O

的切线，点

A

为切点，那么

OA

与

l

垂直吗？AlO∵直线

l是⊙O

的切线，A

是切点，∴直线

l⊥OA.切线的性质定理切线的性质

圆的切线垂直于经过切点的半径．应用格式（1）假设

AB与

CD

不垂直，过点

O作

OM⊥CD，垂足为

M；理由是：直径

AB与直线

CD要么垂直，要么不垂直.（2）则

OM＜OA，即圆心到直线

CD

的

距离小于⊙O

的半径，因此，CD

与⊙O

相交.

这与已知条件“直线

与⊙O

相切”相矛盾；CDBOA（3）所以假设不成立，故

AB

与

CD

垂直.M证法：反证法性质定理的证明例4

如图，PA

是⊙O

的切线，切点为

A，PO

的延长线交⊙O

于点

B，连接

AB.若∠B

=

25°，求∠P

的度数.BOPA解：如图，连接

OA.∵PA

是⊙O

的切线，∵∠AOP=2∠B

=50°，∴∠P

=90°

-

50°

=40°.∴∠OAP=90°.1.如图①，在⊙O中，OA、OB为半径，直线

MN与⊙O相切于点

B.若∠ABN=30°，则∠AOB=

°.

2.如图②，AB为⊙O的直径，D为

AB延长线上一点，DC与⊙O相切于点

C，∠DAC=30°.

若⊙O的半径长1cm，则

OD=

cm.60练一练

图①图②

利用切线的性质解题时，常需作辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.方法总结例5

如图，△ABC

为等腰三角形，O是底边

BC的中点，腰

AB

与⊙O相切于点

D．求证：AC

是⊙O的切线．分析：判定切线，无切点，则作垂直(OE)，证半径(OE=OD)；由

AB与⊙O相切于点

D，得

OD⊥AB；再根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质，即可得出结论.EBOCDA证明：如图，连接

OD，OA，过

O作

OE⊥AC于

E.∵⊙O与

AB相切于

D，∴OD⊥AB.又∵△ABC为等腰三角形，O是

BC的中点，∴AO平分∠BAC.∴OE=OD.∵OD是⊙O

的半径，∴点

O到AC的距离等于⊙O的半径.∴AC是⊙O的切线．EBOCDA有切线时常用辅助线添加方法见切点，连半径，得垂直.切线的其他重要结论(1)

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.要点归纳切线的判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d=r，则相切经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的性质证切线时常用辅助线添加方法：①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径.有

1个公共点d=r性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径有切线时常用辅助线添加方法：见切线，连切点，得垂直.24.2.2

直线和圆的位置关系第二十四章

圆人教版九年级数学上第3课时

切线长定理及三角形的内切圆情境引入

同学们玩过抖空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？

问题1

上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点

P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？切线长定理及应用互动探究POBAO.PABP1.切线长的定义：

经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．AO①

切线是直线，不能度量；②

切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是

圆外一点和切点，可以度量．2.切线长与切线的区别在哪里？知识要点问题2PA

为☉O的一条切线，沿着直线

PO

对折，设圆上与点

A

重合的点为

B．

OB

是☉O的一条半径吗？PB

是☉O的切线吗？（利用图形轴对称性解释）

PA、PB

有何关系？∠APO

和∠BPO

有何关系？OPAB切线长定理：

过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.PA、PB分别切

☉O于

A、BPA=PB∠OPA=∠OPB几何语言：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新

的方法.注意要点归纳BPOAO.P已知：如图，PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.证明：∵PA、PB

是☉O

的两条切线，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL).∴PA=PB，∠APO=∠BPO.推理验证AB∴OA⊥PA，OB⊥PB.

若连接两切点

A、B，AB交

OP于点

M.你又能得出

什么新的结论?请给出证明.解：OP垂直平分

AB.证明：∵

PA，PB是

⊙O的切线，点

A，B是切点，∴

PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.∴

OP垂直平分

AB.M想一想：OPAB例1

已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD

+BC.证明：∵AB、BC、CD、DA与

⊙O分别相切于点E、F、G、H，·ABCDOEFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，即

AB+CD=AD+BC.典例精析变式训练如图，四边形

ABCD

是☉O的外切四边形，且

AB

=

10，CD

=

15，则四边形

ABCD

的周长为______．50·ABCDO例4

为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为

30°

的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径.若三角板与圆相切且测得

PA

=

5

cm，求铁环的半径．OBC解析：取圆的圆心为O，连接

OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在

Rt△OPA

中由勾股定理易求得半径．在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，又∵∠BAC＝60°，∴∠PAO＝∠BAO＝60°.即铁环的半径为∴OA=2PA=10.解：设铁环的圆心为O，连接

OP、OA.∴OP⊥AP，∠PAO＝∠BAO.OBC5

∵AP、AB为

⊙O的切线，∴OP=∴∠POA＝30°.

切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，解题时应有选择地应用，它是证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据.方法归纳BPOA

PA、PB是

☉O的两条切线，A，B是切点，OA=3.（1）若

AP=4，则

OP=

；（2）若∠BPA=60°，则

OP=

.56练一练

小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？三角形的内切圆及作法互动探究问题1如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？

OOOO最大的圆与三角形三边都相切问题2如何求作一个圆，使它与三角形的三边都相切？

(1)如果半径为

r的☉I与△ABC的三边都相切，那么

圆心

I应满足什么条件？(2)在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心

I呢？

圆心

I到三角形三边的距离相等，都等于

r.为什么呢？三角形三条角平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等.三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？圆心

I应是三角形的三条角平分线的交点.已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆

O.做一做MND作法：1.作∠ABC和∠ACB的平分线

BM和

CN，交点为

O.2.过点

O作OD⊥BC，垂足为

D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.ABCO1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.BACI☉I是△ABC的内切圆，点

I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.知识要点三角形的内心的性质问题1如图，☉O是△ABC的内切圆，那么

AO、BO、CO有什么特点？互动探究AO、BO、CO分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA.BACOBACO问题2如图，☉O是△ABC的内切圆，过点

O分别作

AB、AC、BC的垂线，垂足分别为

E、F、G，那么线段

OE、OF、OG之间有什么数