基于广义误差分布扩展标准的多分形模型参数估计和波动率预测

基于广义误差分布扩展标准的多分形模型参数估计和波动率预测

1资产收益模型自20世纪90年代以来，中国的股市快速发展，规模不断扩大。但是,作为新兴市场,我国股市存在自由化程度较低、市场结构不够健全、市场投机性较强等不足。另外,正如爆发于2007年的全球金融危机表现出来的那样,随着金融全球化进程的推进,国外的各种政策变化和信息冲击对我国市场的影响力正在逐步增强。国内外因素共同加剧了我国金融市场的波动性。这迫切要求我们不断提高波动率预测能力,以更好地管理金融风险。综观波动率建模与预测的文献资料,标准GARCH模型能够刻画波动集聚性、时变性,在短期波动率预测中一般具有最好的表现,是目前最为常用的波动预测模型。但是,考虑更多资产收益典型事实(如长记忆性、区制转换等)的模型往往能够提高样本外预测能力。其中,多分形(multifractality)指数据的不同阶矩的标度行为的变异性,或者说是不同阶矩存在不同程度的长程相依(long-termdependence),近年来已经得到经济物理学家的广泛认可,可以说是资产收益的另一个典型事实。特别地,Mandelbrot等提出的资产收益多分形模型(multifractalmodelofassetreturns,MMAR)被认为是迄今为止最全面地刻画资产价格波动特征的模型。进一步地,Calvet和Fisher提出马尔可夫转换多分形模型(Markov-switchingmultifractalmodelofassetreturns,MSM),克服了MMAR的非平稳性,同时保留了MMAR的优良特性,是另一种波动建模的良好选择,如Idier利用MSM模型研究巴黎、法兰克福、伦敦和纽约四个市场的联动性,发现了MSM在解释资产价格共同变化与联系、经济周期判断、波动的长记忆性等方面具有重要作用。Chuang等在标普500指数波动率预测比较研究中发现,MSM模型相对历史波动率、隐含波动率和GARCH模型具有更强的波动率预测能力。Lux等通过基于不同数据生成过程的蒙特卡洛模拟研究验证了MSM模型相对较强的波动预测能力。尽管已经有少量研究通过实证研究证实了MSM的优势及其在资产定价、金融风险管理领域的应用前景,但相关的实证研究还很少,且集中针对发达金融市场的股票、汇率等数据集,缺乏来自新兴市场的经验证据。另一方面,标准MSM模型假定残差序列服从正态分布,这与金融资产收益序列普遍存在的尖峰厚尾现实不符。为了考虑收益率分布的厚尾特征,Lux和Morales-Arias将学生t分布引入MSM模型,实证结果表明MSM-t模型在总体上预测能力优于MSM、(FI)GARCH模型,且MSM和(FI)GARCH模型的联合预测能力高于任意单个模型。可见,更贴近资产收益分布实际的厚尾分布残差假定有助于改进MSM模型的波动预测能力。目前MSM模型的残差分布也仅限于正态分布和学生t分布。广义误差分布(generalizederrordistribution,GED)的自由度参数范围比学生t分布更大,能够更加灵活地描述收益率分布的尾部特征。借鉴GARCH模型的残差设定方案,在理论上,将GED引入MSM模型不仅能降低不恰当残差假定导致的模型设定误差,而且有助于探讨波动率长记忆性与收益分布厚尾特征的动态关系。因此,有必要利用GED扩展标准MSM模型。与已有研究相比,本文的主要工作是:第一,首次利用GED扩展标准MSM模型,并探讨相应的参数估计和波动预测问题;第二,应用MSM模型预测中国股市波动率,通过与GARCH、FIGARCH模型的比较,验证MSM模型在中国股市波动率预测中的适用性,为多分形波动建模提供来自新兴市场的经验证据。2基于ged的扩展标准msm模型假设瞬时波动率Mt由k个波动乘子(volatilitycomponents)组成,Mt=(M1,t;M2,t;…;Mk,t)∈,Mt的波动乘子Mi,t为独立同分布的随机变量,Mi,t的分布函数为M,要求满足M≥0,E(M)=1。Mi,t对应的转换概率γi,不同且独立。假设t-1时刻的波动率Mt-1已知,则在t时刻,Mt的波动乘子Mi,t以概率γi转换,并从M分布中取值;Mi,t以概率1-γi保持t-1时刻的取值Mi,t-1不变。与之对应的波动状态向量为Mt={(m1,…,md}∈(d=2k)。收益率和波动率的表达式分别为:其中,σ表示无条件波动率,μt为收益率残差,标准模型假定μt～N(0,1)。在Mt条件下,rt-E(rt)～N(0,)。下面利用GED扩展标准MSM模型。GED也称为广义正态分布,密度函数为:其中表伽马函数。Calvet和Fisher假设M服从二项分布,且Mi,t以相同概率分别取值m0和m1。由M的限制条件有:m0值反映了序列的不同波动状态,m0越大,MSM模型可以刻画的异常值越多,序列的长记忆和多分形特征越明显。当m0=1时,波动率为常数,此时序列不具有长记忆和多分形特征。收益率残差服从标准学生t分布或标准GED分布时,MSM的模型参数向量为其中,m0为波动乘子的分布参数,σ为无条件波动率,b和γk为波动乘子的转换概率参数,v表示自由度,也称形状参数。从参数化程度看,MSM模型与GARCH模型一样简单,但通过波动乘子的状态转换却能产生更为灵活多样的波动特征,以增强对真实波动率的拟合程度。另外,收益率分布与残差分布假定和波动过程密切相关。与GARCH族模型不同,MSM模型的残差分布假定与波动过程会相互影响,这种交互作用最终共同决定了收益率分布。利用极大似然法估计MSM模型参数,在GED残差分布假定下,对数似然函数为:其中,rt代表第t天的收益率,ω(rt)=(g[rt;σ2(m1),],…,g[rt;σ2(md)])代表rt在不同波动状态下的概率密度组成的向量,A指状态转移矩阵,其元素为aij=P(Mt+1=mj|Mt=mi)i,j=1,…d,Πt为条件概率矩阵,它可以通过ω(rt-1)和A计算。获得参数估计值以后,波动率预测通过贝叶斯方法实现,即首先利用参数估计值预测波动状态空间{m1,…,md],那么,给定Πt的条件下,未来波动状态的概率分布为:最后结合波动状态空间和波动状态概率分布,预测未来波动率:3确认研究3.1描述性统计分析样本数据为上证综指2006年1月2日至2013年3月29日的每日收盘价,共计1758个交易日。日收益率通过相邻两个交易日的对数收盘价之差计算,共1757个收益率数据,其中前1045个样本数据用于模型样本内估计,后712个样本数据用于模型预测。数据来源于同花顺炒股软件。由表1所示的描述性统计结果及相关检验结果可以发现:上证综指日收益率序列不服从正态分布,存在明显的尖峰厚尾特征;序列平稳,存在ARCH效应,可以采用GARCH类模型进行波动率建模;Sattarhoff提出的多分形检验统计量M在99%置信水平下拒绝原假设,表明收益率序列存在显著的多分形性,有必要在波动率建模中考虑多分形特性。3.2fiearch模型简单模型往往展现出良好的波动预测能力,而长记忆性是多分形特性的一种最常见表现形式。因此,后文考虑标准GARCH和考虑长记忆性的FI-GARCH模型作为对比模型。由于FIGARCH模型存在对系数的限制,过多滞后项会增加参数估计误差,因而选择FIGARCH(1,d,1)模型。限于篇幅,GARCH模型和FIGARCH模型的参数估计结果不在文中列示,有需要可向作者索取。表2列示了不同残差分布假定下的MSM模型参数估计结果。MSM、MSM-t和MSM-GED的分布参数m0均显著不等于1,说明收益率序列存在长记忆性和多分形性。MSM-GED自由度显著小于2,说明表明收益率残差序列具有比正态分布更厚的尾部特征。值得注意的是,残差分布假定对MSM模型的参数估计具有显著影响:对于分布参数m0,MSM-t和MSM-GED的m0值比MSM模型小,这说明在学生t分布和GED假定下,为获得更好的拟合效果,必须在表征尾部厚度的自由度参数v和刻画分形特征的分布参数m0之间权衡;厚尾残差分布假定会影响MSM模型的分形参数,进而影响其波动预测能力。3.3残差假定对模型预测的影响为评价不同模型的波动预测能力,采用滚动窗口法进行动态预测,即设定时间窗口H=1045,利用t至t+1044(t=1,…712)估计模型参数,基于参数估计值分别进行向前1天、5天、10天和22天的波动率预测。以日内收益平方作为市场真实波动率的代理变量,采用常见预测误差指标,如MAE、RMSE、QLIKE、R2LOG、HMAE和HMSE等综合评价波动率预测精度,结果如表3、表4所示。HMAE和HMSE给出的结果与表4类似,这里不列出。首先进行同一模型在不同残差假定和不同预测期的预测误差分析。对于GARCH模型,当预测期相同时,改变残差假定对波动率预测能力基本没有影响;在相同的残差假定下,随着预测期延长,其预测误差随之增加,预测能力下降。FIGARCH模型的情形与之类似。对于MSM模型,在相同的残差假定下,随着预测期的延长,预测误差也会随之变大,这与GARCH和FIGARCH模型相似;当预测期相同时,根据QLIKE和R2LOG的结果,采用厚尾分布残差假定可以在一定程度上降低波动率预测误差,提高预测能力,其中尾部参数灵活度更高的GED表现最好。这与残差分布假定的作用机理有关,MSM模型的不仅可以通过参数估计值影响波动预测结果,还可以通过未来波动状态的概率分布实现影响,而(FI)GARCH模型残差假定只会影响模型参数估计,对样本内的拟合效果影响更显著,对样本外预测的影响不明显。因此,MSM模型在波动预测中可以更加充分地利用残差分布假定新息,从而获得更接近真实波动率的预测值,具有更强的波动率预测能力,尤其是尾部信息更丰富的MSM-GED模型。其次进行不同模型的横向比较。在相同残差分布假定下,根据MAE和RMSE,三个模型的短期(向前1天)预测能力无差异,但QLIKE和R2LOG显示MSM模型具有更强的短期预测能力。在中长期(向前一周、两周、一个月)波动预测中,无论在何种残差分布假定下,所有预测误差均表明MSM模型能够提供更精确的波动率预测。综合三种残差分布和三个波动模型组成的9种情形来看,在向前一天的短期预测中,MAE和RMSE显示所有模型的预测效果无差异,其他误差指标说明MSM-GED模型的预测效果最优。在中长期预测中,除了MAE和RMSE指示的极少数情形外,所有误差指标均说明MSM-GED模型具有最好的波动率预测效果。4多分形性模型分析本文在MSM模型中引入GED残差分布假定,并利用极大似然法估计模型参数,通过贝叶斯更新预测波动率。以上证综指日收益率为样本数据的实证研究表明,中国股市确