固体物理习题答案5

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一、固体电子论基础

1．已知金属铯的EF=1.55eV，求每立方厘米的铯晶体中所含的平均电子数。(提醒:常温下EF与EF相差不大，可以令EF?EF)

00解：由于常温下费米能级EF与绝对零度时的费米能级EF相差不大，可令EF≈EF。金属中的电子可近似地按自由电子气处理，在E～E+dE能量区间内的电子态数(计及自旋)为:

00dZ?4?V?2m?2h333311E2dE?CE2dE

1其中：C?4?V?2m?2h由于电子遵循费米分布，于是在能量区间E～E+dE中的电子数为：dN?f(E)dZ?Cf(E)EdE

式中f(E)是费米分布函数。由于在绝对零度时有：

0?1(E?E)?Ff(E)??

0??0(E?EF)因此电子总数为：

E2，V为金属的体积，m为电子的质量。

N???0?Cf(E)EdE?C?3EF000EdE3233h单位体积内的电子数为：V3h代入有关数据得到：n?8?3.143?(6.63?1021?27?3C(E)0F2?8?V3

(2mEF)2n?N?8?33(2mEF)2

30)3?(2?9.1?10?28?1.55?1.6?10?12)2

?8.7?10

(cm)02．证明：在T=0K时，费米能级EF处的能态密度为：N(EF)?为金属中的自由电子数。

03N2E0F，式中N

??证明：在K空间中，在周期性边界条件下，以K?K为半径的球内，电子的

数目为（记及自旋）：

4?3n?2V?K

32因此：dn?V?8?KdK（1）已知自由电子的能量为：E?3hK2m22，代入（1）式得：

dn?4?V(2m)231h因此电子依照能量分布的状态密度：

3E2dE（2）

N(E)?dndEh当T=0K时，全部电子处于费米球内。设费米球半径为KF，则电子总数为：

3?4?V(2m)231E2（3）

N?2V?

4?3K3F04??2mEF??2V?23?h?0?2???（4）

3h用（4）式除（3）式，并稍加整理便得到下式：

1?8?V?2mEF3?323N?E?2?0?N(E)?0?2EF?EF??上式是以电子的费米能级为参量的能态密度表达式。当E=EF时即得：N(E)?02E3．已知绝对零度时银的费米能为5.5eV，试问在什么温度下，银的电子摩尔比热和晶格摩尔比热相等？（银的德拜温度是210K）。解：一个电子对比热的贡献为：

2?kBT????kB?CV?0??2?EF?这个比热只是在低温条件下才重要。在低温条件下，依照德拜模型，晶格振动对比热的贡献为：

0F3N0F

4?T??kB????5??D?式中?D是晶体的德拜温度。由于1mol银中包含有N0=6.023×1023个原子,每个银原子贡献一个电子,因而,银的电子摩尔比热为:

???CV123?TR??C??5?D上式中,R?N0kB为气体常数.

eV???N0CV124????3令：CV?CV得：

11ea?5kB?3DT????24?2E0?F

?2?5?(8.62?10?5)?2103?2?????1.75K2?24?3.14?5.5???04．假使具有bcc结构的Li晶体的晶格常数为：a?3.5?，计算其费米能(EF)、费米温度及每个价电子的平均动能。

解：由习题1可知，在三维自由电子气系统中，系统内的总电子数为：

N?

?0?Cf(E)EdE?C?30EF00EdE（1）

?C(EF)23因此有：

2222222??3?N?3??3N?302?????3?n?3（2）EF?????2m?VC?2m?2C?对于具有体心立方结构的单价金属Li，每个立方晶胞内含有两个原子，每个原

2子有一个价电子，故自由电子的浓度为：n?3，a为晶格常数。将相应的数值

a代入（2）式中，得：

E0F??1.055?10?2m?3422?6?2?3?a??3??7.58?10?19J?4.74eV??平均动能：

30Ee?EF?2.84eV

504费米温度为：TF?EF/kB?5.46?10K

5．已知某种具有面心立方结构的金属中自由电子气的费米球半径为：

12?0(12?)3，其中a为晶格参数，每个原子的原子量为63.5，晶体的质量KF?a33密度为D?8.94?10kg/m，试求：（1）该金属的原子价???（2）

EF??eV

解，（1）由习题4可知，0K下的费米能为：

2222222?3??203??????3?nKF?2m2m?0??3?N?3N?30?EF????2m??2C??VC由此得费米球半径为：K0F?2

?3?n?2?13（1）

对于fcc结构，原子的体积密度为：??的体积密度为：n???4a3，假使原子价为：?，那么电子

4a3，代入（1）式，得：

1a与已知条件对照，可知??1，即每个原子的价电子数为1。（2）由于原子的体积密度为：??为：n????KF?(3?02?43??)3

DNMaA，Ma是原子量，自由电子的体积密度

?DNMaA，故0K下电场费米能为：

223E0F??22m?3?n?20?3??DN??2m?Ma???1822A?3???代入有关数据得：EF?1.14?10

J?7.12eV

二、金属的电导理论

1．已知金属铜的费米能EF?7.12eV,在273K温度下电阻率??1.58?10?8??cm，

求（1）铜中电子的费米速度，（2）平均自由时间?和平均自由程?。解：由于费米球半径为：

KF?1??2mEF?2

111故费米面上的电子速率为：vF??KFm*??KFme2?2EF???me??2?7.12?1.6?10?19?2?????31?9.1?10???2??1.58?106m/s??

（2）对于自由电子等能面为球的金属，其电导率表示为：

??ne?m*2?ne?m*vF?1?

式中?是KF的函数，即???(KF)。因此平均自由程为：

??m*vFne?0EF322

??2由于：

0F32m?3n??232323，因此有：

n??2m*E?3??2??2m*EF?23????2?9.1?10?312?7.12?1.6?10?19?323?3.14?31?1.055?10??343??8.6?1028m?3

那么电子的平均自由程为：

??mv2Fne??8.6?109.1?1028?1.58?10?1926?1.6?10???4.2?10?8?8m?4.2?102?

?1.58?10平均自由时间为：

?F??vF13?4.2?10?861.58?10?2.7?10?14s

2．证明对于具有球形费米面的金属，其电导率可以表示为：??evF?Fg?EF22?

D(EF)