数值分析第五版答案

本文格式为Word版，下载可任意编辑——数值分析第五版答案第一章绪论

1．设x?0,x的相对误差为?，求lnx的误差。解：近似值x*的相对误差为?=e?lnx*??lnx*?lnx?*er?e*x*?x?x*x*而lnx的误差为

1e*进而有?(lnx*)??x*

2．设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。解：设f(x)?xn，则

函数的条件数为C又?f'(x)?nxn?1p?|xf'(x)|f(x),

x?nxn?1?Cp?||?nn又??r((x*)n)?Cp??r(x*)且er(x*)为

??r((x*)n)?0.02n

3．以下各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最终一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

******x1?1.1021,x2?0.031,x3?385.6,x4?56.430,x5?7?1.0.解：x1?1.1021是**?0.031是二位有效数字；x3?385.6是四位有效数五位有效数字；x2**?56.430是五位有效数字；x5?7?1.0.是二位有效数字。字；x44．利用公式(2.3)求以下各近似值的误差限：(1)

********/x4x1x2x3,(3)x2.其中x1*,x2均为第,x3,x4***x1?x2?x4,(2)

3题所给的数。解：

121*?(x2)??10?321*?(x3)??10?1

21*?(x4)??10?321*?(x5)??10?12?(x1*)??10?4***(1)?(x1?x2?x4)***??(x1)??(x2)??(x4)111?4?3?3??10??10??10222?1.05?10?3***(2)?(x1x2x3)*********?x1x2?(x3)?x2x3?(x1)?x1x3?(x2)111?1.1021?0.031??10?1?0.031?385.6??10?4?1.1021?385.6??10?3222?0.215**(3)?(x2/x4)

?****x2?(x4)?x4?(x2)*x42110.031??10?3?56.430??10?322?56.430?56.430?10?5

5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为V4??R3则何种函数的条件数为3R?V'R?4?R2Cp???3

4V?R33??r(V*)?Cp??r(R*)?3?r(R*)又??r(V*)?1故度量半径

R时允许的相对

误差限为?r(R*)?1?1?0.33317831006．设Y0?28，按递推公式Yn?Yn?1?计算到Y100。若取多大误差？解：?Yn?Yn?1?783?27.982（5

（n=1,2,…）

位有效数字），试问计算Y100将有

111783?Y100?Y99?783Y99?Y98?7831001001001783100……Y1?Y0?1783100Y98?Y97?依次代入后，有Y100?Y0?100?若取1783即Y100?Y0?783，100783?27.982,?Y100?Y0?27.982

11*??(Y100)??(Y0)??(27.982)??10?3?Y100的误差限为?10?3。

227．求方程x2?56x?1?0的两个根，使它至少具有4位有效数字（783?27.982）。

783解：x2?56x?1?0，故方程的根应为x1,2?28?故

x1?28?783?28?27.982?55.982?x1具有

5位有效数字

5位有效

x2?28?783?128?783?11??0.017863x2具有

28?27.98255.982数字8．当

N

充分大时，怎样求?NN?11dx21?x？解

?N?1N1dx?arctan(N?1)?arctanN1?x2设??arctan(N?1),??arctanN。则tan??N?1,tan??N.

1?N1?x2dx????N?1?arctan(tan(???))tan??tan?1?tan??tan?N?1?N?arctan1?(N?1)N1?arctan2N?N?1?arctan

9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2？解：正方形的面积函数为A(x)?x2

1??(A*)?2A*??(x*).当x*?100时，若?(A*)?1,则?(x*)??10?2

2故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm2

10．设S?1gt2，假定g是确凿的，而对t的测量有?0.1秒的误差，

2证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。解：?S?1gt2,t?0??(S*)?gt2??(t*)

2?r(S*)??(S*)S*gt2??(t*)当t*增加时，S*的绝对误差增加?1g(t*)22?(t*)?2*t

当t*增加时，?(t*)保持不变，则S*的相对误差减少。11．序列?yn?满足递推关系yn?10yn?1?1(n=1,2,…),若y0?2?1.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？这个

计算过程稳定吗？解：?y0?12?1.41??(y0*)??10?2又?yn?10yn?1?1?y1?10y0?1

2??(y2*)?102?(y0*)??(y1*)?10?(y0*)又?y2?10y1?1??(y2*)?10?(y1*)

??(y10*)?1010?(y0*)

1?1010??10?221??1082

计算到y10时误差为12．计算f1?108，这个计算过程不稳定。2?(2?1)6，取2????，利用以下等式计算，哪一个得

到的结果最好？

1(2?1)6,(3?22)3,

1(3?22)3，99?702。

解：设y?(x?1)6，若x?计算y值，则

??y*????????????????1???x*?*7(x?1)1则??x*??1?10?1。若通过2，x*?1.4，

2(2?1)66**y??x?*7(x?1)

??????????????y*??x*?若通过(3?22)3计算y值，则

??y*???????(3?2x*)2???x*?6y*???x*?*3?2x????????????y*??x*???????????

若通过1(3?22)3计算y值，则

??y*??????????????????1*???x?*4(3?2x)1y*??x*?*7(3?2x)

????????????????y*??x*?通过1(3?22)3计算后得到的结果最好。

x2?1